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Somatórios 
 
Seja um conjunto com duas operações satisfazendo às leis básicas da aritmética. 
Se é uma sequência em , definimos o somatório dos seus primeiros termos como sendo 
 
 
Proposição 1 Sejam duas sequências de elementos do conjunto e seja . Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração 
Para , temos que: 
 
 
Suponhamos que a fórmula seja válida para algum número natural . Temos então que: 
 
 
 
 
 
mostrando assim que a fórmula é válida para . Por Indução Matemática, temos que a fórmula é válida para todo . 
 
Para provar que faremos, também, por indução. Para temos 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também é válida. 
 
 
 
Vamos provar, também por indução sobre , esta fórmula. Para , temos que 
 
 
Suponhamos que a fórmula seja válida para algum natural . Logo, 
 
 
 
 
Mostrando que a fórmula vale para e, portanto, vale para todo . 
 
O somatório de representa a soma de parcelas iguais a , e, portanto, é igual a . 
 
Exemplo 1: Calcular o valor da soma 
 
 
Com a notação de somatório, podemos escrever 
 
Aplicando o item da proposição acima, temos: 
 
 
 
 
Exemplo 2: Vamos deduzir a expressão do termo geral da recorrência da Pizza de Steiner: 
 
 
Reescrevendo a expressão acima, temos: 
 
 
Tomando somatórios de ambos os lados, obtemos: 
 
 
O primeiro membro da igualdade acima é uma soma telescópica e vale , enquanto o segundo membro é conhecido 
por nós e vale . Portanto, temos que 
 
 
Exemplo 3: Seja e considere a seguinte identidade: 
 
 
Daí, segue-se que: 
 
 
Tomando os somatórios de ambos os membros da igualdade acima e notando que o lado esquerdo é uma soma telescópica, 
obtemos 
 
 
Usando agora as propriedades e dos somatórios enunciados na Proposição 1 e os resultados anteriores, obtemos 
 
 
 
 
 
Daí , segue-se que: 
 
 
 
 
 
Obtemos, assim, o resultado de: 
 
 
 
 
 
Exercícios sobre Somatórios 
 
1. Calcule fórmula fechadas para as seguintes somas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Considere, para , a seguinte identidade: 
 
 
Efetue o somatório de ambos os lados para variando de até . Utilizando problemas anteriormente resolvidos, determine 
uma fórmula para . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Demonstre a identidade das colunas: 
 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
Usando a relação de Stiefel temos: 
 
 
4. Demonstre a identidade das diagonais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que seja válida para algum . 
Provaremos que também será válida. 
 
 
 
 
Usando a relação de Stiefel temos: