análise matemática completa nota 100

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Questão 1/10 - Análise Matemática 
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal 
conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um 
dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18. 
Considere o conjunto A={1,2,3,4}A={1,2,3,4} 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à relações entre conjunto assinale a 
única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto dado: 
 
Nota: 10.0 
 A R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R,∀x∈A(x,x)∈R,∀x∈A. É simétrica pois 
para cada par (x,y)(x,y) que pertence à RR o seu simétrico (y,x)(y,x) também 
pertence à RR. E essa relação é transitiva pois se os pares (x,y)(x,y) e 
(y,z)(y,z), então, o par (x,z)(x,z) também pertence à RR (livro-base, capítulo 
1). 
 B R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} 
 C R={(2,1),(3,1)}R={(2,1),(3,1)} 
 D R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(
3,3),(4,4)} 
 E R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(
3,3),(4,4)} 
 
Questão 2/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real aa é limite da sequência (xn)(xn) quando, para todo número real ε>0ε>0, 
dado arbitrariamente, pode-se obter n0∈Nn0∈N tal que todos os termos xnn com índice n>n0n>n0 
cumprem a condição |xn−a|<ε|xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxna=limn∈Nxn. [...] Em vez de 
a=limxna=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxna=limn∈Nxn, a=limn→∞xna=limn→∞xn 
ou xn→axn→a. Esta última expressão lê-se ‘xnxn tende para aa’ ou ‘converge para aa’. Uma sequência 
que possui limite diz-se convergente”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24. 
Dada a sequência (12n)n∈N(12n)n∈N. 
 
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências 
numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para: 
Nota: 10.0 
 A 1212 
 
 B ∞∞ 
 
 C −∞−∞ 
 
 D 1 
 E 0 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
Dado ε>0ε>0, escolhemos n0∈Nn0∈N tal que n0>log21εn0>log2⁡1ε, isto é, 
12n0<ε12n0<ε. Assim, se n>n0n>n0 temos que 
∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε. Portanto, 
lim12n=0lim12n=0. (livro-base, Capítulo 2). 
 
Questão 3/10 - Análise Matemática 
“Informalmente: limx→af(x)=Llimx→af(x)=L quer dizer que se pode tornar f(x)f(x) tão próximo de LL 
quanto se queira desde que se tome x∈Xx∈X suficientemente próximo, porém diferente, de aa.” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 61.} 
 
 
 
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta. 
Nota: 10.0 
 A Seja f:R−{2}→Rf:R−{2}→R, f(x)=x+3f(x)=x+3, então o valor de 
limx→2(x+3)limx→2(x+3) é 11. 
 B Seja f:X→Rf:X→R e x0∈X′x0∈X′. Assim, se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e 
limx→x0f(x)=L2limx→x0f(x)=L2, então L1≠L2L1≠L2. 
 C Sejam as funções f:X→Rf:X→R e g:X→Rg:X→R. Se 
limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L1limx→x0g(x)=L1, então 
limx→x0f(x)g(x)=L1+L2limx→x0f(x)g(x)=L1+L2. 
 D Seja a função f(x):X→Rf(x):X→R então 
limx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)klimx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)k. 
 E Sejam ff e g:R−{2}→Rg:R−{2}→R definidas por f(x)=3x+1f(x)=3x+1 e 
g(x):x+1g(x):x+1 e os limites limx→2f(x)=7limx→2f(x)=7 e 
limx→2g(x)=3limx→2g(x)=3 então 
limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73limx→23x+1x+1=limx→2(3x
+1)limx→2(x+1)=73. 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
Sejam as funções f:X→Rf:X→R e g:X→Rg:X→R. Se 
limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L2limx→x0g(x)=L2 com L2≠0L2≠0, 
então limx→x0f(x)g(x)=L1L2limx→x0f(x)g(x)=L1L2. (Livro-base p. 93 a 95) 
 
Questão 4/10 - Análise Matemática 
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas 
vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo 
contrário. Simplesmente surgiram”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29. 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito dos números racionais, assinale a 
alternativa correta. 
Nota: 10.0 
 A O conjunto dos números racionais, com as operações de adição e 
multiplicação usuais, é um corpo ordenado completo. 
 B Existe uma bijeção entre o conjunto Nn= {1,2,...,n} e o conjunto Q para algum 
nϵNnϵN. 
 C Os cortes de Dedekind são subconjuntos do conjunto de números 
racionais. 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
 
 D O conjunto dos números racionais não é enumerável. 
 E O número que satisfaz a equação X2 = 2 é racional. 
 
Questão 5/10 - Análise Matemática 
Observe o intervalo X=(−√2,√2 )X=(−2,2 ) representado na reta real: 
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre 
noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as 
assertivas falsas. 
 
I. ( ) XX é um conjunto aberto. 
II. ( ) XX é um conjunto limitado. 
III. ( ) XX é um conjunto compacto. 
IV. ( ) XX é um conjunto fechado. 
 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta. 
Nota: 10.0 
 A V-V-F-F 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é 
verdadeira porque todo ponto do conjunto XX é ponto interior de XX. A 
afirmativa II é verdadeira porque existe R>0R>0, por exemplo, R=3R=3 tal 
que |x|<3|x|<3 para todo x∈Xx∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto 
XX não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o 
complementar do conjunto XX não é aberto, por exemplo, x=√2x=2 pertence 
ao complementar de XX, mas não é ponto interior do complementar. (livro-
base, p. 88-91). 
 B V-V-V-F 
 C F-F-V-V 
 D F-V-F-F 
 E V-F-V-F 
Questão 6/10 - Análise Matemática 
Considere o trecho de texto a seguir: 
 “Um espírito mais crítico indagaria sobre a existência dos números 
reais, ou seja, se realmente se conhece algum exemplo de corpo 
ordenado completo. Em outras palavras: partindo dos números 
naturais (digamos, apresentados através dos axiomas de Peano) 
seria possível, por meio de extensões sucessivas do conceito de 
número, chegar à construção dos números reais? A resposta é 
afirmativa. Isto pode ser feito de várias maneiras. A passagem 
crucial é dos racionais para os reais, a qual pode seguir o método 
dos cortes de Dedekind ou das sequências de Cauchy [...], para 
citar apenas os dois mais populares”. 
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele 
está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. 14. ed. Rio de 
Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e 
Aplicada, 2013. v. 1. p. 60. 
 
Conformeos conteúdos estudados no livro-base Análise 
Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as 
afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas. 
 
 I.( ) A relação de equivalência que permite a construção dos 
números racionais dá a esse conjunto a propriedade de seus 
elementos possuírem um inverso multiplicativo, exceto ao elemento 
neutro da adição. 
 II.( ) Os cortes de Dedekind são subconjuntos próprios do 
conjunto dos números racionais com algumas propriedades. 
 III. ( ) O conjunto Xα={x∈Q∣x2<1}Xα={x∈Q∣x2<1} é 
um corte de Dedekind. 
 IV. ( ) Pelos axiomas de Peano constrói-se o conjunto dos 
números naturais, partindo de um conjunto denominado NN e 
uma função denominada de função sucessor. 
 
 
Agora marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 A a) F – V – V – V 
 B b) V – F – F – V 
 C c) F – V – F – V 
 D d) V – F – V – V 
 E e) V – V – F – V 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
A afirmativa I é verdadeira pois, se 
x∈Qx∈Q, então x=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b) 
a,b∈Z,b≠0x=(a,b)¯ a,b∈Z,b≠0. Se a≠0a≠0, 
então, xx não é o elemento neutro da 
adição e y=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)∈Qy=(b,a)¯∈Q. 
Temos que 
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b)⋅¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¯¯¯(ab,ba)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ab)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
(1,1)(a,b)¯⋅(b,a)¯=(ab,ba)¯=(ab,ab)¯=(1,1)¯. 
Como ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1)(1,1)¯ é o elemento 
neutro da multiplicação, temos que 
y=x−1y=x−1. A afirmativa II é verdadeira, 
pois se XαXα é um corte de Dedekind, 
então Xα⊂QXα⊂Q e Xα≠QXα≠Q por 
definição. A afirmativa III é falsa porque 
XαXα não contém todos os pontos 
menores que seus pontos. Basta ver que, 
por exemplo, 0∈Xα,−2<00∈Xα,−2<0, mas 
−2∉Xα−2∉Xα. A afirmativa IV é verdadeira 
por definição. (livro-base, capítulo 1). 
 
Questão 7/10 - Análise Matemática 
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a 
continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da 
mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que 
se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços 
topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre 
eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. 
ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com 
respeito à conceitos topológicos, enumere, na ordem sequencial, as 
definições – em linguagem não formal – que se relacionam a cada 
um dos elementos a seguir: 
 
1. Conjunto aberto 
2. Ponto interior 
3. Conjunto fechado 
4. Ponto de acumulação 
5. Conjunto compacto 
6. Ponto aderente 
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do 
conjunto diferente dele. 
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à 
ele. 
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no 
conjunto. 
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do 
conjunto. 
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 
 
Agora marque a sequência correta: 
 
Nota: 10.0 
 A 6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1 
 B 4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3 
 C 2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3 
 D 6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5 
 E 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
A sequência correta é 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 
1. Segundo o livro-base: “1. Conjunto 
aberto – É um conjunto onde todos os 
seus pontos são interiores. 2. Ponto 
interior – É um ponto que possui uma 
vizinhança inteiramente contida no 
conjunto. 3. Conjunto fechado – É um 
conjunto tal que todos os pontos 
aderentes pertencem à ele. 4. Ponto de 
acumulação – É um ponto tal que toda 
vizinhança dele possui um ponto do 
conjunto diferente dele. 5. Conjunto 
compacto – É todo conjunto que é 
simultaneamente fechado e limitado. 6. 
Ponto aderente – É um ponto que é limite 
de uma sequencia de elementos do 
conjunto” (livro-base, Capítulo 3). 
 
Questão 8/10 - Análise Matemática 
Leia o fragmento de texto a seguir: 
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem 
geométrica segundo a qual nos referimos ao corpo RR como ‘a 
reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos 
‘a<ba<b’ por ‘aa está à esquerda de bb’, dados 
x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y||x−y| 
como ‘distância do ponto xx ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o 
intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta cujos extremos são 
os pontos aa e bb.” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele 
está disponível em: 
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: 
Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 
2013. p. 162. 
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre 
noções topológicas da reta, analise as afirmativas a seguir e 
marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas 
falsas. 
 
I. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto 
X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2]. 
II. ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui 
pontos de acumulação. 
III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto 
X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. 
IV. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto 
X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. 
 
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 A V-V-F-V 
 B F-F-V-V 
 C V-F-F-V 
 D V-F-V-F 
 E F-V-V-V 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
A alternativa que contém a sequência 
correta é a letra e). A afirmativa I está 
incorreta, pois qualquer intervalo centrado 
em x=1x=1 não está contido no conjunto 
XX. A afirmativa II está correta, pois para 
qualquer x∈Rx∈R, com x∉Xx∉X, é fácil ver 
que existem vizinhanças de xx que não 
contém pontos de XX e para os pontos 
x∈Xx∈X, existem vizinhanças de xx que 
contém apenas o ponto xx. Logo, não 
existem pontos de acumulação. A 
afirmativa III está correta, pois qualquer 
vizinhança de zero contém um ponto 
diferente de zero que pertence ao 
conjunto XX. A afirmativa IV está correta 
pois zero é o limite da sequência (1n)(1n) 
que é formada por pontos de XX. (livro-
base, Capítulo 3). 
 
Questão 9/10 - Análise Matemática 
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, 
x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1. 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a 
respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que: 
 
Nota: 10.0 
 A Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é 
derivável. 
 B Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é 
contínua. 
 C Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas 
são diferentes. 
 D Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável. 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Temos que 
limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)
=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e 
limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−
f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). 
Portanto, ff é contínua em x=1x=1. Além 
disso, temos que 
limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2lim
x→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=
2 e 
limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=li
mx→1−(x+1)=2limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1
−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 
Logo, ff é derivável em x=1x=1 e 
f′(1)=2f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4). 
 E Em x=1x=1, ff não é contínua nem é 
derivável. 
 
 
Questão 10/10 - Análise Matemática 
Considere o seguinte trecho de texto a seguir: 
 
“Por exemplo quando se diz que uma função 
f:[c,d]→Rf:[c,d]→R, definida num intervalo compacto, é 
derivável num ponto a∈[c,d]a∈[c,d] isto significam, no caso de 
a∈(c,d)a∈(c,d), que possui as duas derivadas laterais no 
ponto aa e elas são iguais. No caso de aa ser um dos extremos, 
isto quer dizer apenas que existe, ponto aa, aquela derivada lateral 
que faz sentido.” 
Após esta avaliação,caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e 
Aplicada,2008,p. 257. 
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, 
assinale a alternativa correta: 
Nota: 10.0 
 A As derivadas laterais f′+(x0)f+′(x0) e 
f′−(x0)f−′(x0) devem ter valores diferentes 
para exista a derivada no ponto x0x0. 
 B Toda função derivável em um ponto 
x0x0 é contínua no ponto x0x0. 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Teorema de derivadas que tem utilidade 
no estudo da continuidade das funções 
(livro-base p.115 e 116)} 
 C Toda função contínua em um ponto x0x0 
é derivável no ponto x0x0. 
 D Uma aplicação das derivadas é a regra de 
L’Hôpital pode ser aplicada no cálculo de 
limites para qualquer tipo de expressão 
indeterminada. 
 E Segundo o teorema de Rolle a derivada 
de um produto de duas funções ff e gg é 
igual ao produto das derivadas.