Calcule os seguintes limites, caso existam: 27. lim x→2 (x2 − 2x) sen(x2 − 4)√x2 + 4 − √4x

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 2} \left( (x^2 - 2x) \sin(x^2 - 4) \frac{\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x}}{x - 2} \right) \), vamos analisar cada parte. 1. Substituição direta: Primeiro, substituímos \( x = 2 \): - \( x^2 - 2x = 2^2 - 2 \cdot 2 = 0 \) - \( \sin(x^2 - 4) = \sin(2^2 - 4) = \sin(0) = 0 \) - \( \sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x} = \sqrt{2^2 + 4} - \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8} - \sqrt{8} = 0 \) Portanto, temos uma forma indeterminada \( 0 \cdot 0 \cdot \frac{0}{0} \). 2. Simplificação: Precisamos simplificar a expressão. Vamos focar na parte \( \frac{\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x}}{x - 2} \). Podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado: \[ \frac{\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x}}{x - 2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{4x}}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{4x}} = \frac{(x^2 + 4) - 4x}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{4x})} \] Simplificando o numerador: \[ x^2 + 4 - 4x = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{4x})} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{4x}} \] 3. Substituindo de volta: Agora, substituímos isso de volta na expressão original: \[ \lim_{x \to 2} (x^2 - 2x) \sin(x^2 - 4) \cdot \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{4x}} \] Como \( x^2 - 2x = (x - 2)(x + 2) \), temos: \[ \lim_{x \to 2} (x - 2)(x + 2) \sin(x^2 - 4) \cdot \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{4x}} \] Agora, substituímos \( x = 2 \): \[ = (2 - 2)(2 + 2) \sin(0) \cdot \frac{0}{\sqrt{8} + \sqrt{8}} = 0 \] Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 2} \left( (x^2 - 2x) \sin(x^2 - 4) \frac{\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x}}{x - 2} \right) = 0 \]