Análise de Circuitos em CC

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Análise de Circuitos 
em Corrente Contínua
Lourival José Passos Moreira
Análise de Circuitos em 
Corrente Contínua
2
Introdução
Pense na seguinte situação: você tenta dar partida em um automóvel e o motor não 
gira. Seu diagnóstico inicial é “bateria descarregada”. Até que você percebe que está 
embarcado em um aparato tecnológico cercado de circuitos alimentados por tensão 
constante provida pela bateria do carro: o circuito da ignição, o circuito da buzina, o 
circuito do auto rádio, o circuito dos faróis e das lanternas, e de tantos outros aparatos 
eletroeletrônicos. Como a energia é distribuída dentro do automóvel? Quais são os 
valores das grandezas elétricas, em especial da potência, em cada circuito? Quais são 
os prováveis circuitos que estão consumindo energia mesmo com o carro desligado? 
Esta é uma situação prática que só pode ser explorada se tivermos os conhecimentos 
e as habilidades necessários sobre os métodos e as técnicas de análise de circuitos 
em corrente contínua. Então, vamos construir esta base!
Objetivos da Aprendizagem
Ao final do conteúdo, esperamos que você seja capaz de:
• Identificar as principais grandezas elétricas;
• Analisar os circuitos em corrente contínua (CC ou DC);
• Aplicar os teoremas da Superposição, Thévenin e Norton na resolução de 
circuitos.
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Entendendo os Conceitos
Quais são as principais propriedades elétricas em um circuito CC (corrente contínua)? 
Como essas grandezas se relacionam? Quais são as estruturas de associação de 
componentes elétricos em um circuito? Quais são os elementos fornecedores e 
consumidores de energia? Como esses componentes se combinam e se comportam 
em um circuito elétrico? Quais são as principais leis que regem o comportamento de 
um circuito elétrico? O que significa exatamente analisar um circuito? Quais são os 
principais métodos e teoremas que facilitam a análise de circuitos?
Grandezas Elétricas Básicas e Análise de Circuito
O objetivo da análise de um circuito elétrico é determinar os valores de suas grandezas 
elétricas básicas. Embora essas grandezas já sejam conhecidas da Física, antes de 
partirmos para a tarefa desafiadora de “caça” dos valores, convém fazermos uma revisão 
dos significados e unidades de medidas das grandezas, seus múltiplos e submúltiplos e 
de como elas estão relacionadas. Também é importante relembrarmos como trabalhar 
com potências de dez, dada a ampla gama de valores que serão utilizados.
As principais grandezas para as quais devemos atentar ao analisarmos um circuito 
elétrico são:
• carga elétrica;
• corrente elétrica;
• diferença de potencial ou tensão elétrica;
• resistência elétrica;
• energia elétrica;
• potência elétrica;
Por questão de simplicidade, como nos encontramos no contexto de análise de 
circuitos elétricos e explorando o universo conceitual da Eletricidade, muitas vezes 
nos referiremos a essas grandezas simplesmente como carga, corrente, resistência, 
energia e potência, dispensando o adjetivo “elétrica”.
Diferente da Mecânica, as grandezas da Eletricidade são menos palpáveis e visíveis. 
Os fenômenos e efeitos produzidos por elas são perceptíveis, mas elas em si ficam 
no campo invisível da abstração. Como a natureza contém sistemas muito análogos 
em comportamento, mas de diferentes naturezas, o estudo de algo mais abstrato em 
analogia com algo mais concreto pode facilitar a aprendizagem. Os circuitos elétricos 
irão operar com cargas elétricas em movimento, por isso seu estudo também é 
chamado de Eletrodinâmica.
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Procure imaginar uma caixa d’água alimentando uma torneira. 
• Você consegue dizer o que “empurra” a água até a torneira? 
• A água atravessa os encanamentos sem nenhuma 
dificuldade? 
• Como a vazão da água é quantificada? 
Reflita um pouco sobre este sistema mecânico (hidráulico)! A 
hidrodinâmica e a eletrodinâmica são muito parecidas, pois são 
filhas próximas de uma mesma natureza.
Reflita
No século XIX, o médico francês Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797-1869) fez os 
mesmos tipos de questionamento da atividade acima, a respeito da circulação de 
líquidos em sistemas hidráulicos. O sistema circulatório humano é um complexo 
conjunto de artérias, veias e vasos capilares por onde circula o sangue, válvulas 
5
para impedir o retrocesso de fluxo e uma sofisticada bomba, o coração. O estudo de 
sistemas hidráulicos mais simples, como a nossa torneira recebendo água da caixa 
d’água ou entre dois vasos comunicantes, foi um primeiro passo para o entendimento 
de sistemas com fluidos em circulação. Pode ter sido essa a motivação para um 
médico se interessar e dedicar tempo e atenção a este tipo de estudo.
Figura 1 – Medalha com estampa do Poiseuille
Fonte: http://www.coe.ou.edu/isb/awardees/1995.htm. Acesso em: 
01/10/2018. 
Voltando às questões da nossa torneira, sem dúvida que a gravidade é quem 
“empurra” a água da caixa à torneira. A água dentro do cano está submetida ao campo 
gravitacional da Terra, que faz com que o próprio peso da água seja responsável por seu 
escoamento. O nível da caixa d’água h1 em relação ao chão é maior do que o nível da 
torneira h2. Como a pressão interna na torneira é maior do que a pressão atmosférica, 
a água sai da torneira. A pressão no topo da superfície da água na caixa d’água é só a 
atmosférica, mas no nível da torneira a água está submetida a uma pressão adicional 
correspondente ao peso da própria água. Assim, podemos afirmar que a circulação 
de água da caixa para a torneira necessita de um desnível entre o limite da água na 
caixa e a altura de instalação da torneira (h1 > h2). Em outras palavras, a pressão em 
1 tem de ser maior do que a pressão em 2, ou mesmo, o potencial gravitacional em 1 
tem de ser maior do que o potencial gravitacional em 2. Se ambos tiverem no mesmo 
potencial gravitacional (mesma altura), a intensidade do fluxo de água caixa-torneira 
é nula. E, por falar em intensidade de fluxo, ela pode ser quantificada em litros por 
minuto. Quanto maior for o “jato” de água na torneira, significa que um maior volume 
de água sairá por 1 minuto um. Assim, também podemos dizer que o encanamento, 
como caminho estreito para a água descer, oferece uma oposição natural à passagem 
da água: quanto mais estreito (menor seção transversal ou menor calibre) tiver o cano, 
mais difícil fica para a água atravessá-lo. Também, quanto maior for o comprimento 
do cano, mais obstáculo haverá para o fluxo de água.
http://www.coe.ou.edu/isb/awardees/1995.htm
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Figura 2 – Resistência do cano à passagem da água
Também podemos dizer que o sentido de percurso do fluxo depende da diferença de 
níveis entre as duas extremidades do cano. Por exemplo, se colocarmos dois vasos 
que se comunicam por meio de um tubo (ou cano), o sentido do fluxo vai ser do vaso 
de maior nível para o vaso de menor nível, conforme mostrado na figura a seguir.
Figura 3 – Sentido do fluxo do maior para o menor nível
As Grandezas Elétricas
Análogo ao circuito hidráulico, em um circuito elétrico o fluxo ocorre através de cargas 
elétricas (q) ao invés de água. Para haver um fluxo ordenado de cargas em um condutor, 
é necessário que ele esteja submetido à ação de um campo elétrico, que “empurra” as 
cargas dentro desse condutor.
Lembre-se de que na Eletrostática, o campo elétrico é uma 
grandeza vetorial característica de um ponto do espaço, que ao ser 
multiplicada pelo valor de uma carga colocada naquele ponto, gera a 
intensidade da força a qual ela ficará submetida. A direção da força 
é do campo elétrico e o sentido dependerá da natureza da carga: se 
carga positiva a força tem sentido igual ao do campo; se a carga é 
negativa, a força tem direção contrária ao do campo elétrico.
Atenção
7
Por exemplo, aprendemos na Eletrostática que uma carga positiva +Q cria um campo 
elétrico E ao seu redor. Vejamos na Figura 4 o campo elétrico no ponto 1, colocando 
uma carga de teste +q.
Figura 4 – Conceito de campo elétrico
O interessante a notar é que, dado o campo elétrico E no ponto 1, não é necessárioconhecer os detalhes de quem o criou. 
Figura 5 – Conceito de campo elétrico no ponto 1
Ao se colocar uma carga qualquer qq no ponto 1, basta multiplicar E por qq, que teremos 
determinada a força F.
Figura 6 – O campo elétrico “empurra” uma carga positiva em seu sentido
Interessante notar a analogia: um campo gravitacional criou uma diferença de pressão 
nas extremidades de um cano, ao empurrar a água para a torneira. Em um condutor, 
um campo elétrico é quem vai “empurrar” as cargas, produzindo um fluxo ordenado de 
cargas elétricas, que chamamos de corrente elétrica.
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Podemos também dizer que o ponto 1 está associado a uma capacidade de realização 
de trabalho sobre uma carga q, denominada potencial elétrico V1. Se a carga for liberada 
no ponto 1, ele tende a se deslocar, se o meio for um condutor elétrico ou vácuo. 
Voltando ao exemplo, se uma carga q for solta no ponto 1, ele naturalmente se deslocará, 
afastando-se da carga Q. O potencial do ponto 1 é dado pela energia gasta pela carga 
para deslocar-se até o infinito, dividido pelo valor da carga. É como se o campo em 
cada ponto tivesse armazenado um potencial para deslocar a carga até o infinito. 
Entre dois pontos pode-se determinar as diferenças de potenciais, que é medida em 
volts. Assim, se uma carga de 1 coulomb, ao se deslocar de 1 para 2 pela ação do 
campo elétrico, perder 1 Joule, dizemos que a diferença de potencial de 1 para 2 é de 
1 volt = 1 Joule/coulomb.
Figura 7 – Diferença de potencial
A d.d.p. V12= V1 – V2 entre o ponto 1 e o ponto 2 pode ser definida como a energia 
perdida pela carga ao se deslocar de 1 para 2 por unidade de carga.
12 1 2
wV V V
q
∆
= − =
∆
Resumindo, vale lembrar que:
• a carga elétrica especifica a capacidade de eletrização de um corpo, ou partí-
cula, interagir com outras cargas colocadas ao seu redor
• o campo elétrico expressa a capacidade de produzir força sobre uma carga 
(força/carga); e
• o potencial elétrico é a capacidade de produzir trabalho por unidade de carga 
(energia/carga).
Se entre dois pontos houver uma diferença de potencial (d.d.p. ou tensão elétrica) e 
eles forem interligados por um condutor, haverá um fluxo ordenado de cargas elétricas 
positivas de um ponto para o outro. Análogo ao nosso cano, o fluxo é sempre do 
potencial maior para o menor.
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Figura 8 – Fluxo de cargas positivas do maior para o menor potencial
Esta coerência entre o sentido da corrente e a polaridade de tensão vai ser muito 
importante ao empregarmos os métodos de análise de circuitos.
Da mesma forma, que o cano oferece oposição à passagem da água. Uma corrente 
elétrica encontra dificuldade ao atravessar um condutor real. A oposição oferecida por 
um condutor à passagem da corrente elétrica é a resistência elétrica, e a sua unidade 
no Sistema Internacional de Medidas (S.I.) é o ohm (Ω).
A resistência elétrica de um corpo condutor depende do material e da forma do 
corpo. Assim como no cano, as dimensões (comprimento e calibre) irão influenciar 
na resistência. O material de que é feito também influencia, já que existem melhores e 
piores condutores de corrente elétrica. A característica de um material que expressa a 
dificuldade de uma corrente elétrica passar por ele é a resistividade ρ e a sua unidade 
no S.I. é o Ω ∙ m.
10
Figura 9 – Resistência elétrica
Observe que resistência elétrica é uma característica do corpo condutor e que 
a resistividade é a característica do material do qual é feito. Além de depender do 
material, depende também da forma: quanto mais longo o caminho a percorrer e 
quanto mais fino for o calibre, maior será a resistência elétrica.
Exemplo 1:
Considere um bastão cilíndrico de carbono com 2 cm de comprimento e a área de 
seção transversal igual a 7 mm². Qual seria a resistência elétrica R entre os extremos 
do cilindro, sabendo que a resistividade elétrica do carbono é igual a 3,5 ∙ 10-5 Ω ∙ m?
Figura 10 – Estrutura e dimensões de um resistor
Solução:
2
5 5
2 3 2
2 7
5 7 6 1
6 6
l 2 cm 2 10 m= = 3,5 10 m = 3,5 10 m =
7 mm 7(10 m)
10 1010 10 10 10 0,1
10 10
R
A
ρ
−
− −
−
− −
− − −
− −
⋅
⋅ ⋅ Ω ⋅ ⋅ Ω ⋅
= = = ⋅ = Ω = ⋅ Ω
11
Um corpo resistivo com terminais condutores em suas extremidades forma um 
componente denominado RESISTOR.
Figura 11 – Estrutura, símbolo e alguns aspectos de um resistor
A Intensidade da Corrente Elétrica
Para quantificar a intensidade de um fluxo que atravessa determinado elemento, 
não basta contar quantidades. Por exemplo, se dois observadores forem colocados 
em duas estradas para medir o fluxo de automóveis e um disser que passaram 10 
automóveis e o outro que passaram 20, não dá para dizer qual estrada apresentou 
maior fluxo. Agora, se um disser que passaram 10 automóveis por minuto e o outro 
disser que os 20 automóveis passaram em uma hora, fica evidente que a estrada do 
primeiro observador apresentou maior intensidade de fluxo. A intensidade de fluxo é 
quantificada por quantidade/unidade de tempo. Assim é com a intensidade de corrente 
elétrica i, que é definida como quantidade de cargas que atravessam um circuito por 
unidade de tempo.
q dqi
t dt
∆
= =
∆
A Lei de Ohm
A Lei de Ohm relaciona as grandezas elétricas corrente, resistência elétrica e diferença 
de potencial (d.d.p. ou tensão). Análogo ao que ocorre na hidráulica, quanto maior a 
d.d.p. V nos extremos de um condutor, maior será o fluxo de cargas elétricas em seu 
 interior. Inversamente, quanto maior a resistência R à passagem de cargas elétricas 
imposta pelo condutor, menor será a intensidade da corrente I. Georg Simon Ohm 
(1789-1849), um físico e matemático alemão, quantificou experimentalmente esta 
 relação, enunciando que:
12
vi
R
=
Figura 12 – Lei de Ohm
Tão simples e tão útil! Vamos usar muito a Lei de Ohm na análise de circuitos elétricos. 
Tensão, corrente e resistência: se conhecidas duas dessas grandezas elétricas, a 
terceira pode ser calculada pela Lei de Ohm.
vi
R
= v = Ri vR
i
=
Georg Simon Ohm levou para a comunidade de físicos alemães 
uma abordagem mais matemática da Física.
A Lei de Ohm apareceu no livro A Cadeia Galvânica Processada 
Matematicamente (Die galvanischeKette, mathematischbearbeitet) 
publicado por Ohm em 1827, no qual ele apresentou sua teoria 
completa da eletricidade.
Saiba mais
Figura 13 – George Simon Ohm
Fonte: https://www.lindahall.org/georg-ohm/. Acesso em: 01/10/2018.
https://www.lindahall.org/georg-ohm/
13
Exemplo 2:
Um fio cilíndrico de cobre com 10 m de comprimento e área de seção transversal igual 
a 4 mm2 é atravessado por corrente elétrica com intensidade i = 20 A. Determine a 
d.d.p. entre as extremidades 1 e 2 do condutor, sabendo que a resistividade elétrica do 
cobre é igual a 1,72 ∙ 10–8Ω ∙ m.
Figura 14 – Fio condutor cilíndrico do problema
Solução:
A corrrente é conhecida. Se calcularmos a resistência elétrica do condutor podemos 
calcular a d.d.p. pela Lei de Ohm.
Figura 15 – Equacionando o problema
8 8
2 3 2
1 10 m 10 m1,72 10 m 1,72 10 m
4 mm 4(10 m)
R
A
ρ − −
−= ⋅ = ⋅ Ω ⋅ = ⋅ Ω ⋅
8 8 6 2
6
104,3 10 4,3 10 10 = 4,3 10 0,043
10
R − − + −
−= ⋅ ⋅ Ω = ⋅ ⋅ Ω ⋅ Ω = ⋅ Ω
Conhecido o valor de R e de i, podemos calcular a d.d.p. v=V12.
v = V12 = V1 – V2 = R ∙ i = (0,043 Ω)(20 A) = 0,83 V
Observe que estamos assumindo um sentido de fluxo de cargas positivas. Então, como 
o sentido da corrente é de 1 para 2, o potencial V1 é mais positivo do que o potencial 
V2, representado pelos símbolos + e - que aparecem juntos às extremidades. Essa 
polaridade de tensão terá de manter a relação com o sentido da corrente em todos 
os nossos exemplos e exercícios, que também assumirão fluxo de cargas positivas.
14
A resistência elétrica de resistor pode ser medida por aparelho denominado 
ohmímetro, que ao ser conectado nos terminais do componente, apresenta o valor de 
sua resistência elétrica em um visor analógico (de ponteiro) ou digital (display). Ela 
também pode ser obtida em laboratório pela aplicação de diferentes valores de d.d.p. 
e medição dascorrentes que produzem.
Observe que a inclinação da reta que aparece no gráfico que expressa a Lei de Ohm é 
inversa ao valor da resistência elétrica. Quanto maior o valor de R menor é o ângulo θ.
Figura 16 – Lei de Ohm em gráfico
Outro aspecto prático importante a destacar é com relação aos limites de resistência. 
O valor mínimo teórico de resistência de um componente é de 0 ohm, e o máximo 
teórico ∞ ohms. Na prática, quando a resistência de um fio condutor, que é baixa, é 
muito menor do que outras resistências em série no circuito, ela é considerada ≈ 0 Ω. 
O mesmo ocorre com uma chave interruptora fechada. Da mesma forma, uma chave 
interruptora aberta pode ser considerada um componente de ∞ Ω.
15
1
1 1
0 0VR
I I
= = = Ω CHAVE FECHADA
1
1
VR
I
=
(Lei de Ohm)
RESISTOR
1 1
1 0
V VR
I
= = = ∞Ω CHAVE ABERTA
Energia e Potência
Ao recordarmos a Lei de Ohm (recordar porque ela foi aprendida em Física), usamos 
um circuito simples com uma fonte de tensão Vfonte, “garantindo” uma d.d.p. constante 
nos extremos do resistor. E é este mesmo o papel da fonte, ficar “bombeando” cargas 
elétricas no circuito, introduzindo cargas no polo positivo e recolhendo no polo negativo. 
Fazendo novamente uma analogia com um sistema hidráulico, é a fonte que faz o papel 
da “bomba” que mantém uma diferença de níveis V1–V2 entre as duas caixas d´água. 
Se não fosse pela “bomba”, os níveis tenderiam a se equilibrar e o fluxo parar.
Regido pela Lei de Poiseuille publicada em 1846 Regido pela Lei de Ohm, publicada em 1827
Em ambas as leis, i = v / R∙
Figura 17 – Analogia circuito elétrico e circuito hidráulico
16
A bomba suga água do tanque “b” e “empurra” (fornece energia) a água para retornar 
ao tanque “a”. Com isso, a água perde energia potencial ao passar pelo cano, que é 
restaurada pela bomba B para fazê-la retornar ao tanque de maior potencial. De forma 
semelhante, a fonte fornece energia às cargas. Nesse circuito básico, a corrente 
elétrica ao passar pelo resistor perde energia e ao atravessar a fonte ganha energia, 
de modo a manter um fluxo constante em circulação.
Uma fonte CC mantém uma separação constante de cargas entre os polos positivo (+) 
e negativo (–). Essa separação de cargas cria um campo eletrostático que transpassa o 
condutor provocando o movimento ordenado de cargas. Por dentro da fonte, tudo se passa 
como se houvesse um campo maior (contrário ao da separação das cargas nos polos), 
para que as cargas ganhem energia (passem do negativo para o positivo pela fonte). 
Suponha, por exemplo, que no circuito simples (um resistor e uma fonte CC) a fonte 
tenha um valor de 1 volt. Lembrando-se de que o potencial elétrico é energia por 
unidade de carga, 1 volt significa que cada 1 Coulomb de carga que atravessa a fonte 
ganha 1 Joule de energia (1 volt = 1 J/C). Ao atravessar o resistor, cada 1 C perde 1J.
Figura 18 – Energia em circuito CC
A energia perdida no resistor é transformada em calor, luz, movimento ou outra 
forma de energia, dependendo da natureza do elemento resistivo. Em uma lâmpada, 
a predominância é a luz; em uma resistência elétrica de um chuveiro, é calor; em 
um motor, é o movimento. Já a energia que a fonte fornece às cargas tem de vir de 
algum processo de conversão de energia, como de uma pilha ou bateria (processo 
eletroquímico), de um dínamo (processo eletro-magneto-mecânico), painel solar 
(processo fotovoltaico).
17
Figura 19 – Conversão de energia na fonte
Como podemos determinar a energia ganha pelas cargas (na fonte) 
ou perdida (nas resistências) por unidade de tempo? A potência 
P, como sabemos da Mecânica, é a energia no tempo (∆w/∆t). A 
diferença de potencial V é a energia por unidade de carga (∆w/∆q). 
A intensidade de corrente elétrica é a quantidade de carga no tempo (∆q/∆t). 
Também pela Lei de Ohm temos a relação V = RI. Conforme verificamos, podemos 
calcular a potência elétrica fornecida ou recebida por um componente pelo produto 
tensão V vezes a corrente I.
 
IV
w q wV I P
q t t
∆ ∆ ∆
× = × = =
∆ ∆ ∆
Pela Lei de Ohm V = RI, teremos diferentes maneiras de calcular a potência elétrica.

2
2
( )
V
I
P V I
P V I R I I R I
V VP V I V
R R
= ×
= × = × × = ×
 = × = × = 
 

Resumindo, para se calcular a potência elétrica em um componente utiliza-se uma das 
expressões:
2
2 VP V I R I
R
= × = × =
18
Nos circuitos em corrente contínua, a corrente mantém seu valor e sentidos constantes 
ao longo do tempo. Então, a tensão (em valor e polaridade) e a potência também serão 
constantes. (Lembre-se de que a resistência é um valor constante que só depende do 
material e das dimensões do componente).
Em Eletrostática é comum representarmos o campo elétrico pela 
letra “E” e o potencial elétrico ou diferença de potencial elétrico pela 
letra “V”, conforme fizemos anteriormente nesta recordação das 
grandezas elétricas. Entretanto, os estudos que desenvolveremos 
a partir daqui são primordialmente de Eletrodinâmica, em que os 
autores normalmente utilizam as letras “E” e ”V” para designar a 
d.d.p. Propositalmente, aqui nós utilizaremos as duas notações, 
com o objetivo de fazer com que você se acostume às duas 
representações. Fique de olho, se aparecer E ou V, para nós será 
uma d.d.p.!
Para potencial elétrico (não a diferença de potenciais) 
continuaremos usando V.
Atenção
Circuitos Resistivos, Associação de Resistores e Leis 
de Kirchhoff
Já vimos o circuito resistivo CC mais simples, que é constituído de uma fonte de tensão 
CC e de um resistor. Nele já estabelecemos relações matemáticas entre intensidade 
de corrente I, d.d.p. V, resistência R e potência P. Estamos prontos para partir em 
direção às estruturas de circuitos que associam mais componentes.
Associação de Resistores
Saber calcular resistências equivalentes de associações de resistores irá facilitar nossas 
análises. Quando associamos em série vários resistores, a resistência total é a soma 
das resistências, pois a cada resistor associado adicionando uma dificuldade a mais 
para a passagem do fluxo de cargas. Se substituirmos o conjunto de resistores por um 
único com o valor total da soma, seu comportamento será equivalente ao da associação. 
É possível demonstrar essa soma a partir da Lei de Ohm, ao considerarmos que na 
associação de série todos os resistores são percorridos pela mesma corrente e que a 
d.d.p. total é a soma das d.d.p.’s, pois a cada resistor ocorre uma queda de potencial. 
19
Figura 20 – Associação em série
Na associação paralela, em contrapartida, ao associarmos um resistor a mais em 
paralelo, estamos dando mais um caminho de passagem para a corrente. Então, ao 
invés de estarmos adicionando dificuldade, estamos adicionando “facilidade”, por isso 
dizemos que a condutância total é a soma das condutâncias. É possível demonstrar 
essa soma a partir da Lei de Ohm, ao considerarmos que na associação paralela todos 
os resistores estão submetidos a uma mesma d.d.p. e a corrente total é a soma das 
correntes, pois o fluxo total se divide entre os resistores. 
Figura 21 – Associação em paralelo
A associação de dois resistores R1 e R2 em paralelo tem como resistência equivalente 
o produto sobre a soma de seus valores.
Figura 22 – Associação em paralelo
20
Exemplo 3:
Qual é o valor da resistência total equivalente da associação de resistores abaixo? Ao 
se aplicar uma d.d.p. de 16 volts aos extremos da associação, qual é a d.d.p., a corrente 
elétrica e a potência em cada um dos componentes do circuito e a potência total?
Solução:
1. Iremos determinar a resistência equivalente total.
Observe que a associação em paralelo de n resistores de valor R tem resistência 
equivalente à R/n.
21
2. O segundo passo é marcar as correntes. 
Figura 23 – Marcação das correntes
A corrente I deixa o positivo da fonte em direção ao negativo. 
A corrente I se divide em 3. 
As 3 correntes voltam a se juntar em uma única I4.
O fluxo I de cargas retorna ao negativo da fonte.
I4= I
3. Em seguida, marcar as tensõese suas polaridades em relação aos sentidos 
das correntes.
Teremos uma d.d.p. nos extremos de cada resistor. 
22
Marcar as polaridades de tensão em conformidade com os sentidos das correntes. 
Vab= V1= V2= V3
4. Substituir os resistores pelo equivalente total e determinar a corrente total. 
Marcar as polaridades de tensão em conformidade com os sentidos das correntes. 
Aplicar a Lei de Ohm.
Vac = V = REQUIV ∙ I
16 V = 8 Ω ∙ I
8
16 V 2 AI =
Ω
=
5. Determinar a potência total entregue pela fonte CC.
P = V∙I = (16 V) ∙ (2 A) = 32 W
A fonte entrega 32 W de potência ao circuito. 
São 32 Joules de energia por segundo. 
23
6. Determinar a potência total dissipada pelos resistores.
Temos três maneiras de calcular:
P = Vac ∙ I = (16 V) ∙ (2 A) = 32 W
ou
P = REQUIV ∙ I2 = (8 Ω) ∙ (2 A)2 = (8 Ω) ∙ (4 A2) = 32 W
ou
EQUIV
2 2 2(16 V) (256 V
8 8
) 32 WacVP
R
= =
Ω
= =
Ω
Os resistores consomem 32 W de potência.
É interessante observar que o valor da potência entregue pela fonte é igual à potência 
total dissipada pelos resistores.
Figura 24 – A potência entregue é igual à potência dissipada
24
7. Determinação das tensões nos resistores.
Vab e Vbc são determinadas pela Lei de Ohm.
Vab = Req1 ∙ I = (2 Ω) ∙ (2 A) = 4 V
Vbc = V4 = R4 ∙ I = (6 Ω) ∙ (2 A) = 12 V
8. Cálculo das correntes nos resistores.
As tensões nos resistores em paralelo são a mesma tensão Vab,
Vab = V1 = V2 = V3 = 4 V
25
Podemos calcular pela Lei de Ohm as correntes nestes resistores.
9. Por fim, as potências nos resistores são calculadas.
Multiplica-se o valor da d.d.p. pela intensidade da corrente.
I = 2 A
PTOTAL = 32 W
PDISSIPADA = 32 W
I1 = 2/3 A V1 = 4 V P1 = I1 × V1 = 8/3 W
I2 = 2/3 A V2 = 4 V P2 = I2 × V2 = 8/3 W
I 3 = 2/3 A V3 = 4 V P3 = I3 × V3 = 8/3 W
I4 = 2 A V4 = 12 V P4 = I4 × V4 = 24 W
 32 WiP =∑
26
Observe que somando as potências dissipadas pelos resistores obtém-se o valor da 
potência total dissipada.
Leis de Kirchhoff
Da mesma forma que em uma estrada os entroncamentos são pontos onde os fluxos 
de automóveis se dividem e se misturam, nos circuitos elétricos os nós são também 
pontos de confluência de fluxos de cargas elétricas.
Figura 25 – Entroncamentos nas estradas
Figura 26 – Nós nos circuitos elétricos
Primeira Lei de Kirchhoff
Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) foi um físico alemão que aos 21 anos, ainda 
estudante, enunciou duas leis, uma relacionando as correntes de um nó e a outra as 
tensões de uma malha em um circuito elétrico.
A primeira lei (1ª Lei de Kirchhoff) diz que o somatório das correntes em um nó é igual 
à zero. Isso é o mesmo que dizer que o somatório das correntes que entram no nó é 
igual ao somatório das correntes que saem do nó.
27
Figura 27 – Gustav Robert Kirchhoff
Fontes: https://www.ieee.org/about/awards/technical-field-awards/kirchhoff.
html (medalha), http://www.tcocd.de/Pictures/Miscellaneous/Stamps/k/Kir-
chhoff.shtml (cédula). Acesso em: 01/10/2018.
Se tivermos um nó com k correntes de entrada (ie) e n de saída (is), ao somarmos 
as correntes em ambos os casos, o resultado numérico será o mesmo. É como se 
estivéssemos em um entroncamento de estrada contando quantos carros chegam 
por diferentes vias de acesso e quantos se afastam. Como não é permitido ninguém 
parar naquele ponto de confluência de tráfego, o fluxo total que chega tem de ser igual 
ao fluxo total que se afasta.
Figura 28 – Primeira Lei de Kirchhoff: fluxo que chega igual ao fluxo que sai
Observe que se considerarmos os valores de chegada positivos e os de saída negativos, 
somando-se todos, o resultado é nulo.
Figura 29 – Primeira Lei de Kirchhoff: somatório nulo
https://www.ieee.org/about/awards/technical-field-awards/kirchhoff.html (medalha), http://www.tcocd.de/Pictures/Miscellaneous/Stamps/k/Kirchhoff.shtml
https://www.ieee.org/about/awards/technical-field-awards/kirchhoff.html (medalha), http://www.tcocd.de/Pictures/Miscellaneous/Stamps/k/Kirchhoff.shtml
https://www.ieee.org/about/awards/technical-field-awards/kirchhoff.html (medalha), http://www.tcocd.de/Pictures/Miscellaneous/Stamps/k/Kirchhoff.shtml
28
Se pegarmos os resultados obtidos no nosso último problema resolvido, podemos 
observar que a 1ª Lei de Kirchhoff é atendida nos nós “a” e “b”.
Figura 30 – Exemplo da 1ª Lei de Kirchhoff
Segunda Lei de Kirchhoff
A 2ª Lei de Kirchhoff (2ª L.K.) estabelece que a soma das d.d.p.’s em uma malha fechada 
é nula. Como o potencial elétrico é a energia por unidade de carga, a d.d.p. (sinônimo 
de tensão elétrica) em um componente está relacionada com a quantidade de energia 
que cada unidade de carga ganha ou perde ao atravessá-lo. É o mesmo que dizer 
que cada unidade de carga, ao percorrer uma volta completa por determinada malha 
do circuito, tenha de ter restaurado o total de energia que ela perde ao atravessar os 
componentes por outras unidades de carga, para que ela possa retornar ao potencial 
de onde partiu.
Por exemplo, suponha que uma fonte CC de 32 volts alimenta dois resistores em série 
de 4 ohms. Como a resistência total será de 8 ohms, de acordo com a Lei de Ohm, 
a corrente que os atravessa é de 32 volts/8 ohms = 4 amperes. Pela Lei de Ohm, 
também podemos concluir que a d.d.p. em cada resistor será de 4 amperes 3 4 ohms 
= 16 volts, conforme ilustrado no esquema abaixo.
29
Observe que as polaridades das tensões nos resistores foram marcadas a partir do 
sentido da corrente: a corrente tem que fluir do terminal de maior potencial para o de 
menor potencial. Para cada resistor atravessado, existe uma perda de potência de 
4 amperes × 16 volts = 64 watts, ou seja, 64 Joules por segundo. A perda total nos 
dois resistores é de 64 + 64 = 128 Joules por segundo. Em contrapartida, a fonte 
CC “restaura as energias”, na mesma quantidade: 32 volts × 4 amperes = 128 Joules 
por segundo. Existe, então, um equilíbrio entre os aumentos (ganhos de energia) e as 
quedas (perdas de energia) de potenciais no circuito. 
V × I = Vab × I + Vbc × I (Potência entregue = Potência consumida)
Dividindo por I : 
V = Vab + Vbc (Subida de potencial = Descida de potencial)
Ao analisar a malha pela 2ª Lei de Kirchhoff, pode ser útil imaginar as cargas descendo 
as escadas (resistores) ou subindo por elevadores (fontes). Cada volt que sobe ou 
desce é um degrau da escada.
Figura 31 – Analogia
30
Em nossa imaginação, se a carga +q resolver “dar uma voltinha” até o “andar de baixo”, 
ao atravessar R1 ele desce um lance de escadas com 16 degraus (–16 volts), em seguida 
um lance R2 de mais 16 degraus (–16 volts) e para retornar, pega o “elevador” (fonte 
CC) que sobe direto o equivalente aos 32 degraus (+32 volts). Assim, se somarmos as 
alturas das descidas e das subidas teremos zero:
–16 – 16 + 32 = 0
–Vab–Vbc+ V = 0
Ao aplicar a 2ª Lei de Kirchhoff, faça como a nossa carga, mas “dê uma volta” completa, 
partindo de um ponto e retornando ao mesmo ponto (é o que chamamos de malha 
completa). Ao somar as subidas e descidas de potencial, o resultado será zero. E tenha 
em mente, se passar do positivo para o negativo, você estará descendo de potencial e 
ao passar do menos para o mais, subindo. 
Agora que já aprendemos a essência das Leis de Kirchhoff, podemos aplicá-las na 
solução de um circuito.
Importante observar e lembrar que nos componentes onde há perda de energia a 
corrente passa do “mais” para o “menos” (desce de potencial); onde há ganho de 
energia a corrente passa do “menos” para o “mais” (sobe de potencial).
31
Ao calcular potências em componentes elétricos do circuito, procure sempre identificar 
se são consumidas ou fornecidas. 
Figura 32 – Como identificar potência fornecida ou consumida
Exemplo 4:
Calcule o valor da corrente elétrica no circuito abaixo. Calcule as potências das fontes 
de tensão e identifique se são fornecidas ou recebidas.
Figura 33 – Análise do circuito CC por Kirchhoff
Solução:
1. Arbitrar o sentido das correntes
O circuito tem uma só malha, então todos os componentes estão em série. 
A correnteserá a mesma em todos os elementos. 
Existem duas opções de sentido das correntes. 
32
Figura 34 – Opções de escolha para o sentido da corrente
Temos de escolher um dos sentidos. Se o resultado final calculado for positivo, 
 significa que o sentido correto foi o escolhido; caso contrário, o sentido é o inverso do 
escolhido. 
Nesta solução, vamos escolher a opção 2: sentido anti-horário na Figura 34.
2. Marcar as d.d.p.’s e suas polaridades.
Observe que as polaridades das tensões foram marcadas em conformidade com o 
sentido escolhido para as correntes. 
Em cada resistor onde a corrente “entra” foi marcado com “+” e onde “sai” com “–”.
33
3. Preparar para aplicar a 2ª Lei de Kirchhoff: escolher um ponto de partida e um 
sentido de percurso da malha.
Ponto de partida: “e” 
Sentido de percurso: “anti-horário”
e-d-c-b-a-f-e 
Observe que a escolha do sentido de percurso da malha é independente da opção 
escolhida para o sentido da corrente.
4. Aplicar a 2ª Lei de Kirchhoff: Σ d.d.p. = 0
S d.p.p. 5 0
– V3 + E3 – V2 – E2 – V1 – E1 = 0
– V3 – E3 – V2 – E2 – V1 – E1 = 0
– I ∙ R3 + E3 – I ∙ R2 – E2 – I ∙ R1 – E1 = 0
– I +6 – 3 ∙ I – 8 – 2 ∙ I – 10 = 0
– 6I – 12 = 0
– 6I = + 12
I = – 2 A
34
5. Interpretar o sinal do resultado
O sinal negativo indica que o sentido da corrente elétrica é contrário àquele usado na 
resolução do circuito. 
Como resultou em – 2 amperes, a corrente de fato tem o sentido inverso ao arbitrado, 
ou seja, + 2 amperes no sentido horário.
Figura 35 – De fato, o sentido da corrente é o indicado na opção 1
6. Calcular as potências das fontes
Agora que o valor e o sentido da corrente são conhecidos, podemos calcular as 
potências. 
35
P1 = E1 ∙ I = (10 V) (2 A) = 20 W
(fornecida)
P2 = E2 ∙ I = (8 V) (2 A) = 16 W 
(fornecida)
P3 = E3 ∙ I = (6 V) (2 A) = 12 W 
(recebida)
Uma bateria em processo de carga, por exemplo, recebe potência.
7. Podemos verificar nossos resultados somando as potências ou as tensões.
Conhecidas a corrente e as resistências, podemos obter as potências por multiplicação 
(Lei de Ohm). O somatório das tensões em uma malha fechada deve ser nulo (2ª Lei 
de Kirchhoff).
Percorrendo a malha no percurso e-d-c-b-a-f-e, temos
2 V
6 V
6
d.p.p
V
8 V
.
4
's
10 V
0
0
V
=
+
+
+
−
+
+ −
∑
36
Conhecidas a corrente e as tensões, podemos obter as potências por multiplicação. 
A soma das potências fornecidas deve ser igual à soma das potências recebidas.
Potências recebidasPotências fornecidas
16 12 W
12
W
20 W
36
W
4 W
8
W
W
W
32
+
+
= ∑∑
Em circuitos com mais de uma malha, aumenta o número de correntes e tensões que 
devemos descobrir. Em contrapartida, aumenta o número de nós onde podemos aplicar 
a 1ª Lei de Kirchhoff e de malhas para aplicar a 2ª Lei. Cada ramo do circuito apresenta 
uma corrente distinta, mas elas confluem nos nós, então podemos determinar as relações 
entre elas, uma para cada nó. Também poderemos percorrer diferentes percursos para 
aplicar a 2ª Lei de Kirchhoff, dado que disporemos de várias malhas.
Vamos ver em um exemplo resolvido.
Exemplo 5:
Determine as correntes elétricas no circuito abaixo.
Figura 36 – Análise do circuito CC de várias malhas por Kirchhoff
37
Solução:
1. Identificar os nós, as malhas e os ramos do circuito e arbitrar os sentidos das correntes.
Este circuito apresenta três ramos de componentes ligados em série. 
Os três ramos estão interligados por dois nós. 
Cada ramo apresenta uma corrente elétrica. 
Os sentidos das correntes são arbitrados. 
Como são três correntes, temos três incógnitas a determinar. 
Precisamos, então, de três equações.
38
2. Aplicar a 1ª Lei de Kirchhoff.
A primeira equação pode ser obtida aplicando-se a 1ª Lei de Kirchhoff a um dos nós: 
+ I1 + I2 + I3=0(I) 
Precisamos de mais duas equações. Como obtê-las? Pela 2ª Lei de Kirchhoff!!!!
3. Preparar para aplicar a 2ª Lei de Kirchhoff.
O circuito apresenta três malhas. 
Percorrendo cada malha, obtemos uma equação. 
Escolher duas malhas. 
Aplicar a 2ª Lei de Kirchhoff nas malhas escolhidas. 
Vamos escolher as malhas 1 e 2. 
39
4. Marcar as polaridades de tensão em conformidade com os sentidos de corrente.
Observar que em cada resistor a polaridade positiva no terminal de entrada da corrente 
e a polaridade negativa no terminal de saída.
5. Aplicar a 2ª Lei de Kirchhoff nas malhas escolhidas.
Percorrendo a malha 1, partindo de “a” e no sentido anti-horário: 
–E1 – V1 + E2 + V2 = 0
 –E1 – I1 ∙ R1 + E2 + I2 ∙ R2 = 0 
–24 – 4 ∙ I1 + 6 + 6 ∙ I2 = 0 
–4 ∙ I1 + 6 ∙ I2= +18(II) 
40
Percorrendo a malha 2, partindo de “c” e no sentido horário: 
+ E3+ E2+ V2 – V3 = 0 
+ E3 + E2 + R2 ∙ I2 –R3 ∙ I3 = 0 
+ 12 + 6 + 6 ∙ I2 –12 ∙ I3 = 0 
+ 6 ∙ I2–12 I3 = –18(III)
6. Resolver o sistema de três equações (uma obtida pela 1ª de Kirchhoff e duas pela 
2ª Lei de Kirchhoff ) e três incógnitas I1, I2 e I3. 
Como já obtivemos as três equações, esta etapa de solução é algébrica: resolução de 
sistema de equações.
Reescrevendo a Eq.(I): I3 = – I1 – I2(IV) 
Substituindo (IV) em (III):
41
Multiplicando a equação II por 3 temos:
Somando (II) e (V): 36 I2 = 36 I2 = +1 A
Substituindo o valor de I2 na Eq. (II): –4 I1 + 6(1) = +18 
–4 I1 = + 12 I1 = –3 A
Substituindo I1 e I2 na Eq. (I), temos: I1 + I2 + I3 = 0(I)
–3 + 1 + I3 = 0I3 = +2 A
7. Interpretar os sinais das correntes elétricas.
11
33
22
contrário
coincidente
Sinal de ao arbritado.
Sinal de com o arbritado
coincid
3 A
1
ent
A .
Sinal de com o arbritado.e2 A
I
I
I
I
I
I
 = −
 = +

= +
8. Conferindo o resultado pela 1ª Lei de Kirchhoff no nó “a”.
3 = 1 + 2
42
Fontes Dependentes ou Fontes Controladas
Em nossas discussões, exemplos e problemas a fonte de tensão CC tem sido nosso 
 elemento fornecedor de energia elétrica do circuito. O valor de d.d.p. em seus terminais 
é constante e independente de qualquer outra grandeza do circuito. Por essa razão, é 
chamada de fonte independente de tensão. Além desse tipo de fonte, existem também 
a fonte independente de corrente e as fontes dependentes. Vamos caracterizar melhor 
a fonte CC de tensão e os outros tipos de fonte.
Figura 37 – Símbolos da fonte de tensão CC e da fonte de corrente
Fontes Independentes
As fontes independentes de tensão fornecem a mesma d.d.p., independentemente 
da carga R que elas alimentam. Variando-se a carga R, a corrente fornecida muda de 
valor, mas a tensão se mantém. Pode-se dizer que a fonte de tensão fornece a mesma 
d.d.p. independente da corrente que dela é solicitada pelo circuito, ou de qualquer 
outra grandeza elétrica do circuito.
Figura 38 – Fonte de tensão CC independente
43
As fontes independentes de corrente fornecem a mesma intensidade de corrente, 
independentemente da carga R que elas alimentam. Variando-se a carga R, a d.d.p. 
nos terminais da fonte muda de valor, mas a corrente fornecida se mantém.
Exemplo 6:
Determine as tensões, as correntes elétricas e as potências em cada componente do 
circuito abaixo. 
Figura 39 – Análise do circuito CC com fonte de tensão e fonte de corrente
Solução:
1. Arbitrando os sentidos das correntes e marcando as polaridades das tensões 
em conformidade com os sentidos arbitrados.
44
A polaridade da fonte de corrente foi arbitrada considerando que a fonte esteja 
fornecendo potência ao circuito.
Figura 40 – Sentidos de correntes e polaridades de tensões
2. Verificando as implicações da fonte de tensão.
O polo positivo da fonte de tensão está em “a” e o negativo em “b”. Logo,
Ef = 10 V  Ef = Vab = V1 = 10 V
2a Lei de Kirchhoff  Vab = V2 –EC
3. Verificando as implicações das fontes de corrente.
A fonte de corrente Ic impõe a corrente no ramo de I2. Também a 1ª Lei de Kirchhoff 
estabelece a relação entre If, I1 e I2.
45
IC = 1 A  IC = I2 =1 A
1ª Lei de Kirchhoff  If – I1 = 1 A
2
1
2
1 A
1 Af
ab C
I
I I
V V E
=
 − =
 = −
Ef = 10 V If = ?
V1 = 10 V I1 = ?
V2 = ? I2 = 1 A
EC = –? IC = 1 A
4. Cálculo das correntes.1
1
1 1
10 V 5 A
2
abV VI
R R
= = = =
Ω
If = I1 + I2 = 5 A + 1 A = 6 A
5. Cálculo das tensões V2 e Ec.
Pela Lei de Ohm:
V2 = I2R2= (1 A)(4 Ω) = 4 V
Pela 2ª Lei de Kirchhoff
Vab = V2 – EC
10 = +4 – EC
EC = +4 – 10
EC = –6 V
46
6. Interpretar os sinais das correntes e das tensões.
Ef = 10 V If = 6 A
V1 = 10 V I1 = 5 A
V2 = 4 V I2 = 1 A
EC = –6 V IC = 1 A
Os valores positivos indicam que os sentidos e polaridades correspondem aos 
 arbitrados.
O valor negativo de Ec indica que a polaridade real é contrária à arbitrada.
7. O cálculo das potências é feito pelos produtos tensão pela corrente.
Ef = 10 V If = 6 A
V1 = 10 V I1= ?
V2 = 4V I2 = 1 A
EC = 6 V IC = 1 A
Ef = Ef ∙ If
P1 = V1 ∙ I1
P2 = V2 ∙ I2
PC = EC ∙ IC
Ef = 60 W
P1 = 50 W
P2 = 4 W
PC = 6 W
(Fornecida)
(Consumida)
(Consumida)
(Consumida)
Fontes Dependentes ou Fontes Controladas
Uma fonte controlada é aquela cujo valor de tensão ou corrente depende de outra 
tensão ou corrente no circuito. Como são fontes de tensão ou corrente controladas 
por outra tensão ou corrente, podemos ter fontes controladas de quatro tipos. 
Fonte de tensão controlada por tensão Fonte de tensão controlada por corrente
47
Fonte de corrente controlada por tensão Fonte de corrente controlada por corrente
Figura 41 – Tipos de fontes controladas
Observe que os parâmetros µ e β são adimensionais, r tem dimensão de resistência 
elétrica (em Ω) e g dimensão de admitância (em S).
Exemplo 7:
Determine o valor da corrente i no circuito abaixo. 
Figura 42 – Análise do circuito CC com fonte de tensão controlada
Solução:
1. Marcar as polaridades de tensão em R1 e R2 em conformidade com a corrente 
elétrica.
48
2. Equacionando pela 2ª Lei de Kirchhoff e aplicando a Lei de Ohm nos resistores:
V – V1 – 2va – V2 = 0
V – R1 × i – 2va – R2 × i = 0
8 – 4i – 2va – 8i = 0
12i + 2va = 8(I)
3. A equação I tem duas incógnitas, i e va. Uma segunda equação relacionando i 
e va pode ser obtida pela Lei de Ohm em R1.
va = –v1 = –iR1 ⇒ va = –4i (II)
4. Com duas equações e duas variáveis (i e va), já podemos determinar os valores.
Substituindo (II) em (I), temos: 12i + 2 × (–4i) = 8 ⇒ i = 2 A
Exemplo 8:
Determine o valor da tensão v no circuito abaixo. 
Figura 43 – Análise do circuito CC com fonte de corrente controlada
Solução:
1. Temos uma fonte independente de corrente (I), uma dependente (2i1) e dois 
resistores em paralelo. Pela 1ª Lei de Kirchhoff, a soma das correntes que se 
afastam do nó é igual à soma das que se aproximam. Podemos então equa-
cionar.
i1 + i2= I +2i1
49
2. Pela Lei de Ohm, podemos colocar toda a equação em função de v.
1 2 1
2v v vI
R R R
+ = +
3 2
3 2 3
v v v
+ = +
2v + 3v = 18 + 4v ⇒ v = 18 volts
Métodos de Análise: Nodal e Malhas
Resolvemos circuitos em CC montando nossas equações a partir das correntes 
e tensões nos componentes como variáveis. Quando o circuito tem um maior 
número de malhas, o número de correntes e d.d.ps aumenta, pois teríamos uma 
corrente para cada ramo do circuito e uma d.d.p. para cada componente nas nossas 
equações. Muitas malhas, mais componentes e mais ramos. 
Existe uma metodologia que ao invés de equacionar a partir das correntes dos ramos, 
equaciona a partir das chamadas correntes de malha. Algumas malhas são selecionadas 
e as equações são tiradas pela 2ª Lei de Kirchhoff em função das correntes de malha. 
É o chamado método das malhas.
Outro método, também mais simplificado, ao invés de equacionar a partir das tensões 
dos componentes, equaciona a partir das chamadas tensões dos nós. Um nó é 
escolhido como referência de tensão e equações são retiradas pela 1ª Lei de Kirchhoff 
em função das tensões de nós consecutivos. É o chamado método dos nós.
Vamos ver como funcionam e como aplicá-los!
Método dos Nós
O método dos nós está baseado na aplicação da 1a Lei de Kirchhoff ao(s) nó(s) do 
circuito. Para usá-lo, temos de escolher um nó comum de referência (chamado de “neutro” 
ou “terra”), para o qual será considerado um potencial elétrico de 0 volt. Seleciona-se 
e identifica-se os nós para os quais serão escritas as equações vindas da 1ª Lei de 
Kirchhoff. A identificação dos nós normalmente é numérica ou alfabética e servirá de 
índice para os potenciais nós em relação ao de referência. Então, se o circuito possui 
n nós, 1 será o nó de referência e para cada um dos demais n-1 nós teremos uma 
equação. As correntes dos nós serão escritas em função dos potenciais dos nós. 
Assim teremos n-1 equações e os n-1 potenciais serão as variáveis. O método dos 
nós é particularmente útil quando várias malhas possuem um nó em comum, que é 
tomado como referência de potencial elétrico.
50
Em cada nó, aplica-se a 1a Lei de Kirchhoff. As correntes são expressas em função dos 
potenciais nós consecutivos. Por exemplo, suponha dois nós consecutivos “1” e “2”. 
Ao escrevermos a expressão da corrente entre os nós, temos que levar em consideração 
o sentido marcado para a corrente.
Se a corrente estiver marcada com sentido de “1” para “2”, então supõe-se que V1 > V2 
e a expressão da corrente fica:
Se a corrente estiver marcada com sentido de “2” para “1”, então supõe-se que V1 > V2 
e a expressão da corrente fica:
Vamos ver em um exemplo numérico como se aplica o método dos nós.
51
Exemplo 9:
Determine pelo método dos nós a d.d.p. entre os nós “a” e “b” Vab e as correntes 
elétricas I1, I2 e I3.
Figura 44 – Análise do circuito CC pelo método dos nós
Solução:
Iremos assumir o nó “b” como referência (vb = 0). O potencial elétrico no nó “a” em 
relação à referência é (vab = va – vb = va – 0 = va).
Marcando três das correntes do nó “a” e aplicando a 1 ª Lei de Kirchhoff ao nó, temos: 
I1 + I2 + I3 = 0
1 2 3
1 2 3
0a a av E v E v E
R R R
− − −
+ + =
24 6 ( 12) 0
4 6 12
a a av v v− − − −
+ + =
Uma equação de uma incógnita que nos fornece o valor de va:
24 6 12 0
4 6 12
a a av v v− − +
+ + =
3va – 72 + 2va – 12 + va + 12 = 0
726 72 12 V
6a av v= ⇒ = =
52
As correntes serão:
1
1
1
12 6 12 3 A
4 4
av EI
R
− − −
= = = = −
O sinal negativo indica que I1 de fato está entrando no nó “a”, e não saindo.
2
2
2
12 6 6 1 A
6 6
av EI
R
− −
= = = = +
Já o sinal positivo encontrado em I2 confirma que I2 está saindo do nó “a”.
3
( 12) 12 24 24 2 A
12 12 12
avI − − +
= = = = +
A corrente I3 está saindo do nó “a”.
Método das Malhas
A resolução pelo método das malhas equaciona os circuitos pelas chamadas 
correntes de malha (IM). Para cada malha é marcada uma corrente de malha, que a 
atravessa por inteiro, em sentido arbitrado. A 2a Lei de Kirchhoff é aplicada em cada 
malha, com o cuidado para que a corrente usada na Lei de Ohm nos resistores em 
lados comuns à duas malhas consecutivas, seja a soma ou a subtração das correntes 
de malha, dependendo se seus sentidos coincidem ou se contrapõem. A corrente de 
malha que estiver de acordo com a polaridade de tensão considerada será positiva e 
a contrária negativa. As correntes nos diversos ramos do circuito serão determinadas 
pelas correntes de malha, que não é uma grandeza que possa ser medida e sim um 
recurso algébrico para simplificar a análise.
Parece meio confuso? Acompanhe o exemplo resolvido que ficará mais claro, no qual 
mostraremos as etapas do método!
53
Exemplo 10:
Determine pelo método das malhas as correntes elétricas I1, I2 e I3.
Figura 45 – Análise do circuito CC pelo método das malhas
Solução:
1. Vamos escolher as malhas do circuito e atribuir os sentidos de corrente de 
malhas para elas.
Observe que foram escolhidas duas malhas e atribuído sentido horário para ambas.
2. Para cada corrente de malha, iremos marcar as polaridades de tensão, sem-
pre em conformidade com os sentidos.
Observe que a polaridade de tensão em cada resistor foi marcada em conformidade 
com sua corrente de malha: “+” onde entra e “–” onde sai.
54
O resistor R2 pertence às duas malhas. Recebeu uma marcação de polaridade no lado 
de IM1 e outra no lado de IM2.
3. Podemos agora escrever umaequação pelo 2ª Lei de Kirchhoff para cada 
malha.
Para a malha 1 temos:
+E1 – IM1R4 – IM1R2 + IM2R2 – E2 = 0
+24 – 4IM1 –6IM1 + 6IM2 – 6 = 0
–10IM1 + 6IM2 = –18
Para a malha 2:
+R3IM3 +E3+ E2– IM2R2 + IM1R1 = 0
–12IM2+ 12 + 6 – 6IM2 + 6IM1R2 = 0
+6IM1–18IM2 = –18
4. Temos um sistema de duas equações e duas incógnitas (IM1 e IM2). Resolvendo 
o sistema:
1 2
1 2
10 6 18
6 18 18
M M
M M
I I
I I
− = +
− + = +
1 2
1 2
30 18 54
6 18 18
M M
M M
I I
I I
− = +
− + = +
24IM1 = 72
IM1 = +3 A
+6IM1 – 18IM2 = –18
+6 × 3 – 18IM2 = –18
–18IM2 = –36
IM2 = +2 A
55
5. Tendo as correntes de malha, podemos determinar as correntes dos ramos 
I1, I2 e I3.
I3 = IM2 = 2 A
I1 = –IM1 = –3 A
I2 = IM1 – IM2 = +3 – 2 = 1 A
Observe que a corrente I1 deu valor negativo. Isso significa que seu sentido é de fato 
contrário ao indicado na figura.
Teoremas Gerais de Redes
Quanto mais complexa for a estrutura de um circuito, maior o esforço de análise 
empregando-se as Leis de Ohm e as Leis de Kirchhoff às malhas e aos nós dos 
circuitos. Isso ocorre por causa do aumento do número de malhas, com o consequente 
aumento das variáveis envolvidas. Alguns teoremas possibilitam uma simplificação 
do circuito em estruturas equivalentes, facilitando o trabalho de análise. Os valores de 
algumas grandezas são determinados pelos equivalentes simplificados. Ao retornar 
ao circuito original, como alguns valores já foram determinados, fica bem mais fácil 
determinar os valores das demais grandezas.
Os principais artifícios simplificadores aplicados na solução de circuitos elétricos são 
baseados nos seguintes teoremas:
• Teorema da superposição
• Teorema de Thévenin
• Teorema de Norton.
O conhecimento e a familiaridade com esses teoremas lhe darão muita destreza 
na solução de circuitos elétricos mais elaborados. Conhecer e praticar para melhor 
aprender como aplicá-los: este é o caminho do menor esforço!
Teorema da Superposição
Suponha que em um sistema várias causas independentes estão produzindo 
linearmente um mesmo efeito. O teorema da superposição enuncia que o efeito 
composto das diferentes causas pode ser obtido pela soma dos efeitos individuais de 
cada causa.
56
Figura 46 – Conceito da superposição de efeitos
Por exemplo, considere duas forças agindo sobre um bloco de madeira durante um 
intervalo de tempo Dt. As duas, agindo conjuntamente, produzem um deslocamento 
total d.
Figura 47 – Superposição dos efeitos de duas forças em ação simultânea
Agora, faça as forças agirem uma de cada vez e analise o efeito final. A força F1 
agindo durante um intervalo de tempo Dt produzirá um deslocamento d1. Em seguida, 
uma força F2 agindo durante um intervalo de tempo de mesma duração produzirá um 
efeito d2. O efeito final é o mesmo daquele obtido com as forças agindo conjuntamente, 
com as forças agindo simultaneamente.
57
Figura 48 – Superposição dos efeitos de duas forças em ações individuais
Exemplo 11:
Considere duas fontes E1 e E2 em série alimentando a mesma carga R. As duas terão 
influência sobre a corrente elétrica I e sobre a potência dissipada pelo resistor R. Para 
a corrente elétrica podemos aplicar superposição, mas para a potência não. Por quê?
Figura 49 – Superposição de efeitos em circuito elétrico
Solução:
A relação tensão-corrente é linear.
Já a relação tensão-potência não é linear: é quadrática.
58
Logo, não é válido aplicar diretamente superposição para o cálculo da potência, pois a 
relação entre causa (tensão) e efeito (potência) não é linear.
Um circuito elétrico DC pode conter várias fontes de tensão e de corrente e resistores 
fixos. O teorema da superposição pode ser aplicado no cálculo das tensões e correntes 
do circuito, pois a relação tensão-corrente nos resistores, dada pela Lei de Ohm, é 
linear: V = R I∙
Figura 50 – Superposição em circuitos elétricos
Vamos resolver um exemplo numérico, que mostre como aplicar o método da 
superposição!
59
Exemplo 12:
Determine por superposição a d.d.p.Vab entre os nós “a” e “b” e as correntes elétricas 
no circuito abaixo.
Figura 51 – Análise do circuito CC aplicando o teorema da superposição
Solução:
As três fontes de tensão, E1, E2 e E3, têm influência sobre a corrente I3 do ramo 3 e 
sobre a tensão Vab. Vamos chamar o efeito individual de E1 sobre I3 de I31 e sobre Vab 
de Vab1, o efeito individual de E2 sobre I3 de I32 e sobre Vab de Vab2, e o efeito individual de 
E3 sobre I3 de I33 e sobre Vab de Vab3. Por superposição, podemos resolver três circuitos 
de uma única fonte e ao final somar os resultados. Isso é o mesmo que calcular cada 
efeito individualmente e ao final somar os resultados.
Vamos calcular inicialmente I31e Vab1, que são os efeitos em separado de E1. Para 
isso, temos que zerar as demais fontes de tensão. Uma fonte de tensão zero é aquela 
que apresenta 0 volt de tensão, independentemente da corrente. Então, uma fonte de 
tensão de 0 volt equivale a um “curto” ou a uma chave ideal fechada. Assim, zerar as 
demais fontes é substituí-las por chave ideal fechada.
Determinação da influência de E1 em I3( I31) e em Vab (Vab1):
Para ver o efeito de E1 separadamente, as demais causas (E2 e E3) devem ser zeradas.
60
Figura 52 – Circuito para determinar a influência de E1 em I3
Restou um circuito misto com R2 em paralelo com R3. Vamos calcular a resistência 
equivalente.
Figura 53 – Determinação da resistência equivalente entre R2 e R3
Podemos calcular a influência de E1 em Vab.
1
1
1 1
1
1
1
1 eq 1
1
24 V
(4 4)
3 A
3 A 4
12 A
T
T
ab T eq
ab
ab
EI
R R
I
V I R
V
V
⋅
⋅
= =
+ + Ω
=
= ⋅
= ⋅ Ω
=
61
 Como a d.d.p Vab1 é a própria tensão do resistor R3, podemos determinar o valor de I31.
1
1
1
3
3
3
12 V
12
1 A
abVI
R
I
= =
Ω
=
Determinação da influência de E2 em I3(I32) e em Vab (Vab2):
Para ver o efeito de E2 separadamente, as demais causas (E1 e E3) devem ser zeradas.
Figura 54 – Circuito para determinar a influência de E2 em I3
Restou um circuito misto com R1 em paralelo com R3. Vamos calcular a resistência 
equivalente.
62
Figura 55 – Determinação da resistência equivalente entre R2 e R3
Podemos calcular a influência de E2 em Vab.
2
2
2 2
2
2
2
2 eq 2
2
6 6
6 3 9
2A
3
2A 3
3
2 V
T
T
ab T eq
ab
ab
EI
R R
I
V I R
V
V
⋅
⋅
= = =
+ +
=
= ⋅ =
= ⋅ Ω
=
63
Como a d.d.p Vab2 é a própria tensão do resistor R3, podemos determinar o valor de I32.
2
2
2
3
2
2
12
1 A
6
ab
T
V
I
R
I
= =
=
Determinação da influência de E3 em I3 (I33) e em Vab (Vab3):
Para ver o efeito de E3 separadamente, as demais causas (E1 e E2) devem ser zeradas.
Figura 56 – Circuito para determinar a influência de E3 em I3
Restou um circuito misto com R1 em paralelo com R2. Vamos calcular a resistência 
equivalente.
Figura 57 – Determinação da resistência equivalente entre R2 e R3
64
A corrente total desta malha simplificada IT3 é a própria corrente I33.
3
3
2
3 eq 3
12 12 120
12,4 12 14,4 144
5 A
6
T
T
EI
R R
I
⋅
= = = =
+ +
=
3 33
5 A
6TI I= =
A d.d.p Vab3 é a tensão sobre o resistor REQ3. Podemos determinar o valor de Vab3.
3 3
3
3
eq 3
5 A 2,4
6
2 V
ab T
ab
ab
V I R
V
V
⋅− ⋅
= − ⋅ Ω
= −
65
Determinação dos efeitos totais:
O cálculo do efeito total I3 é feito pela soma dos efeitos em separado I31, I32 e I33. 
66
O cálculo do efeito total Vab é feito pela soma dos efeitos em separado Vab1, Vab2 e Vab3.
Em resumo, a corrente I3 vale 2 amperes e a tensão Vab + 12 volts.
67
Teorema de Thévenin
O teorema de Thévenin enuncia que uma combinação de fontes e resistores com dois 
terminais é eletricamente equivalente a uma simples fonte de tensão VTh em série com 
um único resistor RRth. 
Figura 58 – Equivalência pelo teorema de Thévenin
Então, um circuito equivalente de Thévenin será sempre constituído de dois elementos: 
um resistor e uma fonte de tensão em série, conforme estrutura mostrada na figura 
a seguir.
Figura 59 – Equivalente de Thévenin
O valor da fontede tensão de Thévenin VTh é calculado como a tensão entre os pontos 
x e y em aberto. É o valor da d.d.p. entre os pontos x e y.
O valor do resistor RTh é calculado como a resistência equivalente entre os pontos x e 
y, com todas as fontes existentes na “Parte A” anuladas. 
68
Figura 60 – Cálculo da tensão de Thévenin VTh Figura 61 – Cálculo da resistência de Thévenin RTh.
A aplicação do método na análise de circuitos segue as etapas descritas a seguir.
1. Determinar a parte do circuito que será substituída pelo seu equivalente de 
 Thévenin. A parte selecionada deve ligar-se ao resto do circuito por dois polos.
Figura 62 – Seleção da parte do circuito que será substituída pelo equivalente
2. Seccionar o circuito nos dois polos que delimitam a área selecionada. A parte 
não selecionada normalmente é aquela que contém as grandezas que se de-
seja calcular, ou uma grandeza-chave que facilite a determinação das demais.
Figura 63 – Separação da área selecionada
69
O objetivo é substituir a área selecionada por seu equivalente Thévenin.
Figura 64 – Equivalente Thévenin da parte selecionada
3. A determinação dos valores da tensão de Thévenin ETh e da resistência de 
Thévenin RTh é feita colocando-se de lado a outra parte do circuito. Duas si-
tuações serão impostas ao circuito da parte que ficou, uma para determinar a 
resistência e a outra para determinar a tensão do equivalente. 
Figura 65 – Trabalhar sobre a parte selecionada para determinar VTh e RTh
O valor de VTh é calculado como a tensão entre os polos de separação em aberto. 
É como colocar um voltímetro entre os pontos x e y e, em seguida, determinar a tensão 
entre eles.
O valor de RTh é calculado como a resistência entre os polos de separação em aberto 
e todas a fontes de tensão e corrente anuladas. Redesenhe o circuito substituindo as 
fontes de tensão por “curto” e as fontes de corrente por “aberto”.
70
Figura 66 – Determinação de RTh Figura 67 – Determinação de RTh
4. Conhecidos os valores de VTh e RTn, deve-se reconectar o restante do circuito. 
Figura 68 – Reconectar o restante do circuito
5. Calcular a(s) grandeza(s) elétrica(s) desejada(s) a partir desse circuito sim-
plificado. Observe que obtém-se uma redução, pois, ficamos com um circuito 
série facilitando muito os cálculos. O ramo recolocado terá o comportamento 
elétrico idêntico ao do circuito original. No exemplo da figura, se calcularmos 
a corrente no resistor R3 ou a potência dissipada pela fonte E3 ou a d.d.p. Vab, 
descobriremos estes valores do circuito original.
6. Recompor o circuito original, caso queira calcular as grandezas de outras par-
tes do circuito.
71
Figura 69 – Recompor o circuito original
Para aprender bem a aplicação do método, nada melhor do que exercitar! Vamos ver 
um exemplo resolvido.
Exemplo 13:
Determine pelo método de Thévenin a corrente elétrica I3 e a d.d.d.p Vab no circuito 
abaixo.
Figura 70 – Análise do circuito CC aplicando o teorema de Thévenin
72
Solução:
A primeira coisa a fazer é decidir qual parte do circuito será substituída pelo seu 
equivalente de Thévenin. Como o enunciado pede I3, é melhor separar o ramo que 
contém essa corrente e substituir o restante do circuito por seu equivalente de 
Thévenin. Esta é a etapa que exige mais atenção e raciocínio, para que se escolha uma 
parte do circuito que, ao ser substituída, efetivamente reduza os esforços de cálculo.
Figura 71– Seleção da parte que será substituída pelo equivalente
Em seguida, temos que separar as partes e colocar uma delas de lado para o cálculo 
de IN da outra.
Figura 72 – Separação das partes do circuito
O cálculo de VTh é feito pelo cálculo da tensão entre x e y (Vxy) em aberto .
73
Figura 73 – Cálculo de VTh
Vamos marcar duas correntes, I e I’, para determinar VTh
E1 – R2 ∙ I – E2 – R1 ∙ I = 0
+24 – 6 ∙ I – 6 – 4 ∙ I = 0
+18 – 10 ∙ I = 0
–10 ∙ I = –18
I = +18 A
VTh = Vxy = E2 + R2 ∙ I
VTh = +6 + 6 ∙ 1,8 = 6 + 10,8
VTh = +16,8 V
Para o cálculo de RTh, substituímos as fontes de tensão E1 e E2 por um curto.
1 2
1 2
4 6
4 6Th
R RR
R R
⋅ ⋅= =
+ +
RTh= 2,4 Ω
Figura 74 – Cálculo de RTh
74
Temos, então, o equivalente Norton determinado.
Figura 75 – Circuito Equivalente Thévenin
É hora de reconectar o restante do circuito para o cálculo de I3.
+16,8 – 2,4 ∙ I – 12 ∙ I3 + 12 = 0
–14,4 ∙ I3 = –28,8
3
28,8
14,4
I −
=
−
I3 = 2 A
Figura 76 – Reconectando a parte que estava separada
Observe que o circuito ficou reduzido a uma única malha, simplificando muito a 
resolução. 
Para o cálculo de Vab, vamos recompor o circuito original e aplicar a 2ª Lei de Kirchhoff 
no ramo de R3 e E3.
75
–V3 + E3 + Vab = 0
–I3V3 + E3 + Vab = 0
–2 ∙ 12 + 12 + Vab = 0
Vab = + 12 V
Outra forma de calcular Vab seria pelo próprio equivalente de Thévenin.
+VTh – I3RTh – Vab = 0
Vab = VTh – I3RTh
Vab = 16,8 – 2 ∙ 2,4 = 16,8 – 4,8
Vab= 12 V
Portanto, conhecer o teorema de Norton e saber aplicá-lo nos proporciona uma maior 
competência para analisar circuitos elétricos. É mais uma opção, que pode simplificar 
muito a resolução de circuitos. 
Teorema de Norton
O teorema de Norton enuncia que uma combinação de fontes e resistores com dois 
terminais é eletricamente equivalente a uma simples fonte de corrente IN em paralelo 
com um único resistor RN. 
76
Figura 77 – Equivalência pelo teorema de Norton
Então, um circuito equivalente de Norton será sempre constituído de dois elementos: 
um resistor e uma fonte de corrente em paralelo, estrutura mostrada na Figura 78.
Figura 78 – Equivalente de Norton
O valor da fonte de corrente de Norton IN é calculado como a corrente entre os pontos 
x e y em curto. É o valor de corrente que atravessa o curto.
O valor do resistor RN é calculado como a resistência equivalente entre os pontos x e 
y, com todas as fontes existentes na “Parte A” anuladas. 
Figura 79 – Cálculo da corrente de Norton IN Figura 80 – Cálculo da resistência de Norton RN
77
A aplicação do método na análise de circuitos segue as etapas descritas a seguir.
1. Determinar a parte do circuito que será substituída pelo seu equivalente de 
Norton. A parte selecionada deve ligar-se ao resto do circuito por dois polos.
Figura 81 – eleção da parte do circuito que será substituída pelo equivalente
2. Seccionar o circuito nos dois polos que delimitam a área selecionada. A parte 
não selecionada normalmente é aquela que contém as grandezas que se de-
seja calcular, ou uma grandeza chave que facilite a determinação das demais.
Figura 82 – Separação da área selecionada
78
O objetivo é substituir a área selecionada por seu equivalente Norton.
Figura 83 – Equivalente Norton na parte selecionada
3. A determinação dos valores de corrente de Norton IN e de resistência de Nor-
ton RN é feita colocando-se de lado a outra parte do circuito. Duas situações 
serão impostas ao circuito da parte que ficou, uma para determinar a resistên-
cia e a outra para determinar a corrente do equivalente. 
Figura 84 – Trabalhar sobre a parte selecionada para determinar IN e RN
O valor de IN é calculado como a corrente entre os polos de separação em curto. 
É colocar um fio interligando os pontos x e y e, em seguida, determinar a corrente que 
atravessa esse curto.
O valor de RN é calculado como a resistência entre os polos de separação em aberto 
e todas a fontes de tensão e corrente anuladas. Redesenhar o circuito substituindo as 
fontes de tensão por “curto” e as fontes de corrente por “aberto”.
79
Figura 85 – Determinação de IN
Figura 86 – Determinação de RN
4. Conhecidos os valores de IN e RN, deve-se reconectar o restante do circuito. 
80
Figura 87 – Reconectar o restante do circuito
5. Calcular a(s) grandeza(s) elétrica(s) desejada(s) a partir desse circuito sim-
plificado. Observe que é obtida uma redução, pois, apesar do circuito conti-
nuar com 3 ramos (duas malhas), um dos ramos tem a corrente conhecida 
(IN) e outro só uma resistência (RN), facilitando muito os cálculos. O ramo 
recolocado terá o comportamentoelétrico idêntico ao do circuito original. 
No exemplo da figura, se nós calcularmos a corrente no resistor R3 ou a po-
tência dissipada pela fonte E3 ou a d.d.p. Vab, estaremos descobrindo esses 
valores do circuito original.
6. Recompor o circuito original, caso queira calcular grandezas de outras partes 
do circuito.
Figura 88 – Recompor o circuito original
Para aprender bem a aplicação do método, nada melhor do que exercitar! Vamos ver 
um exemplo resolvido.
81
Exemplo 14:
Determine pela aplicação do teorema de Norton a corrente elétrica I3 e a d.d.d.pVab no 
circuito abaixo.
Figura 89 – Análise do circuito CC aplicando o teorema de Norton
Solução:
A primeira coisa a fazer é decidir qual parte do circuito será substituída pelo seu 
equivalente de Norton. Como o enunciado pede I3, é melhor separar o ramo que 
contém essa corrente e substituir o restante do circuito por seu equivalente de Norton. 
Esta é a etapa que exige mais atenção e raciocínio, para que se escolha uma parte do 
circuito que, ao ser substituída, efetivamente reduza os esforços de cálculo.
Figura 90 – Seleção da parte que será substituída pelo equivalente
82
Em seguida, temos que separar as partes e colocar uma delas de lado para o cálculo 
de IN da outra.
Figura 91 – Separação das partes do circuito
Já sabemos que o cálculo de IN é feito colocando-se um curto entre x e y.
Figura 92 – Cálculo de IN
Vamos marcar duas correntes I ’ e I ’’ para determinar IN
IN = I ′ + I″
–E1 + R1 ∙ I ′ = 0
–24 + 4 ∙ I ′ = 0
4 ∙ I ′ = 24
24
4
=
I ′ = 6 A
R2 ∙ I″ – E2 = 0
6 ∙ I″ – 6 = 0
6 ∙ I″ = 6
6
6
I″ =
I″ = 1 A
IN = 6 + 1=7 A
83
Para o cálculo de RN substituímos as fontes de tensão E1 e E2 por um curto.
Figura 93 – Cálculo de RN
Temos, então, o equivalente Norton determinado.
Figura 94 – Circuito Equivalente Norton
84
É hora de reconectar o restante do circuito para o cálculo de E3.
Figura 95 – Reconectando a parte que estava separada
Observe que apesar do circuito continuar com 3 ramos, a corrente de um deles (IN) já 
é conhecida (7A) e outro ramo tem apenas um resistor de 2,4 W . 
A corrente I3 já pode ser calculada.
3
3 3 3 0
N
N
I I I
R I E I R
= +
− ⋅ + + ⋅ =
3
3
7
12 12 2,4 0
I I
I I
= +
− ⋅ + + ⋅ =
Apenas 2 correntes, I e I3, são desconhecidas. 
3 3
3
3
3
33
7 6 12
2,4 12 12 12
67
2 A5 5
I I I
I I
I
I I
II I
+ = + ⋅ =
 ⋅ − ⋅ = =
+ = +
 =− + ⋅ = +
Para o cálculo de Vab, iremos recompor o circuito original e aplicar a 2ª Lei de Kirchhoff 
no ramo de R3 e E3.
85
–V3 + E3 + Vab = 0
–I3V3 + E3 + Vab = 0
–2 ∙ 12 + 12 + Vab = 0
Vab = +12 V
Outra forma de calcular Vab seria pelo próprio equivalente de Thévenin.
I3 = 2A
IN = 7 A
I = IN – I3 = 7 – 2 = 5 A
Vab = –I ∙ RN = (5 A) ∙ (2,4 Ω)
Vab = 12 V
Portanto, conhecer o teorema de Norton e saber aplicá-lo nos investe de maior 
competência para analisar circuitos elétricos. É mais uma opção, que pode simplificar 
muito a resolução de circuitos. 
86
Conclusão
Neste material, aprendemos a analisar os circuitos em corrente contínua. 
A Lei de Ohm e as duas Leis de Kirchhoff, que regem o comportamento dos circuitos, 
foram fundamentais para encontrarmos equações algébricas relacionando as 
grandezas. Os métodos das malhas e dos nós e os teoremas da Superposição, Thévenin 
e Norton também foram bem úteis na solução de circuitos com maior complexidade. 
Todo o segredo da análise está em levantar um sistema de equações algébricas, 
resolvê-lo e, ao final, interpretar os valores obtidos. Agora, uma boa notícia: estas leis 
e teoremas são válidos também para análise de circuitos em corrente alternada.
87
Referências
GUSSOW, Milton. Eletricidade Básica. São Paulo: Artmed, 2009.
MOREIRA, Lourival J. P. Notas de aula da disciplina Eletricidade. Rio de Janeiro: Escola 
Naval, 2017.
MOREIRA, Lourival J. P. Notas de aula da disciplina Circuitos Elétricos. Rio de Janeiro: 
CEFET/RJ, 2017.
QUEVEDO, Carlos Peres. Circuitos Elétricos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.