Quaternion Representation of Rotations

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Quaternion Representation of Rotations
Memória atualizada
As rotações no espaço tridimensional podem ser representadas usando quaternions unitários. Um 
quaternion unitário é um número da forma onde e satisfazem 
.
Para entender como essas rotações são representadas, primeiro vamos revisar brevemente os 
quaternions:
1. Definição de quaternion:
onde são unidades imaginárias que obedecem às seguintes regras de multiplicação:
2. Quaternions unitários: São quaternions com .
Para representar rotações, consideramos um vetor como um quaternion puro 
. Uma rotação no espaço pode ser realizada pela conjugação de por um quaternion 
unitário :
Aqui está o processo detalhado:
1. Quaternion que representa a rotação:
Seja o ângulo da rotação e um vetor unitário no eixo de rotação. O 
quaternion unitário correspondente é dado por:
Note que é unitário, pois e é unitário.
R3
q = a + bi + cj + dk a, b, c, d ∈ R
a +2 b +2 c +2 d =2 1
q = a + bi + cj + dk
i, j, k
i =2 j =2 k =2 ijk = −1
ij = k, ji = −k
jk = i, kj = −i
ki = j, ik = −j
q = a + bi + cj + dk a +2 b +2 c +2 d =2 1
v ∈ R3 v = 0 + v i +1
v j +2 v k3 v
q
v =′ qvq−1
θ u = (u ,u ,u )1 2 3
q = cos +(
2
θ
) sin (u i +(
2
θ
) 1 u j +2 u k)3
q cos +2 ( 2
θ ) sin =2 ( 2
θ ) 1 u
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2. Conjugação para aplicar a rotação:
Para rotacionar um vetor , primeiro o representamos como um quaternion puro:
Então, aplicamos a conjugação:
onde é o inverso do quaternion , que para quaternions unitários é simplesmente seu 
conjugado:
Por meio dessa conjugação, será o vetor rotacionado em torno do eixo pelo ângulo .
Essa representação é especialmente útil em computação gráfica e robótica, pois evita problemas 
como gimbal lock e fornece uma maneira eficiente de compor múltiplas rotações.
ChatGPT pode cometer erros. Considere verificar informações importantes.
v = (v , v , v )1 2 3
v = 0 + v i +1 v j +2 v k3
v =′ qvq−1
q−1 q
q =−1 cos −(
2
θ
) sin (u i +(
2
θ
) 1 u j +2 u k)3
v′ v u θ
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