71_PDFsam_APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Novamente, calculando os valores de seno e cosseno, obtemos:
MT
–1 =
1
2
√3
2
√3
2
1
2–
Essa MT
–1 é nossa candidata à matriz inversa. Vejamos se, de fato, ela é inversa de MT. 
Para tal, basta calcular os produtos MTMT
–1 e MT
–1MT. Temos:
MTMT
–1 = = 
1
2
√3
2
√3
2
1
2–
1
2
√3
2
√3
2
1
2
–
1 0
0 1
De forma semelhante, também obtemos:
MT
–1MT = = 
1
2
√3
2
√3
2
1
2
–
1
2
–√3
2
√3
2
1
2
1 0
0 1
Assim, MT
–1 é, de fato, a inversa da matriz apresentada inicialmente.
O procedimento utilizado no exemplo anterior pode ser sumarizado da 
seguinte maneira.
1. Observar a transformação geométrica induzida pela matriz, caso ela 
exista.
2. Procurar pela transformação inversa.
3. Encontrar a matriz dessa transformação.
Assim como matrizes, transformações lineares também apresentam a noção 
de núcleo, que também se relaciona com o fato de uma transformação linear 
e, por consequência, a matriz que a induz ser ou não invertível.
Vamos denotar que o núcleo por Null(T), de uma transformação linear 
T, é o conjunto de todos os vetores do v→ plano euclidiano, tais que T(v→) = 0.
Geometria vetorial e transformações lineares14
Segue da definição de uma transformação linear que:
 � o vetor nulo 0
→
 sempre pertence ao núcleo de uma transformação linear, 
isto é, ;
 � se v→ ∈ Null(T), então todo múltiplo de v→ também pertencerá.
Essas observações, somadas aos resultados previamente apresentados, nos 
permitem apresentar o seguinte resultado.
Teorema: seja T:R2 → R2 uma transformação linear cuja forma matricial é 
MT, são equivalentes as seguintes informações.
 � det(MT) ≠ 0.
 � Null(T) = {0
→
}.
 � T é invertível.
 � MT é invertível.
Veja, a seguir, um exemplo de aplicação desse resultado.
Considere A uma transformação de rotação de 90º no sentido anti-horário. Qual é o 
núcleo dessa transformação?
Como visto nas seções anteriores, a forma matricial dessa transformação é dada por:
R90 =
cos 90º –sen 90º
sen 45º cos 90º
Calculando os valores de seno e cosseno, obtemos:
R90 =
0 –1
1 0
Não é difícil perceber que o determinante dessa matriz é igual 1 e, portanto, diferente 
de zero. Como consequência do resultado anterior, temos:
Null(T ) = {0
→
}
15Geometria vetorial e transformações lineares
Como um último resultado, apresentamos um teorema que permite identifi-
car rotações e reflexões em torno de retas que passam pela origem a partir dos 
determinantes de suas matrizes. Esse resultado também pode ser encontrado 
em Nicholson (2015). 
Teorema: seja T:R2 → R2 uma transformação linear no plano euclidiano com 
forma matricial dada por MT, temos que:
4. T é uma rotação se, e somente se, det(MT) = 1;
5. T é reflexão se, e somente se, det(MT) = –1.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006.
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2006.
Leitura recomendada
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. L. Álgebra linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção 
Schaum). 
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