86_PDFsam_APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Combinações lineares e geometria
Na seção anterior, você estudou sobre a relação entre matrizes invertíveis, 
sistemas lineares e independência linear de conjuntos de vetores. Agora, você 
terá maior contato com a geometria dos espaços ℝn e algumas de suas relações 
com conjuntos geradores, dependência e independência linear.
Em continuação ao tópico anterior, um corolário imediato daquele teorema 
pode ser enunciado como em Nicholson (2015).
Corolário: sejam u→ e v→ vetores não nulos em ℝ3 ou ℝ2, então:
1. {u→, v→} é linearmente dependente se, e somente se, os vetores são 
paralelos;
2. {u→, v→} é linearmente independente se, e somente se, os vetores não 
são paralelos.
Esse simples resultado pode nos ajudar a estabelecer alguns testes muito 
úteis para a compreensão de algumas propriedades geométricas. No plano 
euclidiano, por exemplo, é muito importante conhecer quando dois vetores 
são paralelos. Veja o exemplo a seguir.
Considere os vetores v1 = , v2 =
–1
2
10
–20
 Eles são paralelos? Podemos verificar, por 
inspeção direta, se existe α ∈ ℝ, tal que v1 = αv2 . Por outro lado, pelos resultados 
estudados até este ponto, sabemos que tais vetores são paralelos se, e somente se, 
forem linearmente dependentes. E eles assim serão se o determinante da matriz a 
seguir for igual a zero:
A =
–1 10
 2 –20
Temos:
det(A) = –1 × (–20) – (2 × 10) = 20 – 20 = 0
Logo, os vetores são, de fato, paralelos. 
Observe que, em ℝ3 não podemos utilizar determinante para verificar a condição 
de paralelismo.
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear10
Uma consequência importante desse corolário é a possibilidade de deter-
minar se duas retas em ℝ2 são paralelas ou não, com o simples cálculo de um 
determinante.
Em ℝ3, temos algumas possibilidades quanto à geometria de espaços 
gerados. Conjuntos com um único vetor não nulo dão origem a retas em 
ℝ3. Conjunto com dois vetores linearmente independentes geram, como su-
bespaços, planos em ℝ3. Por fim, conjuntos com três vetores linearmente 
independentes geram o próprio espaço ℝ3.
Unindo essa informação com a ideia de que, em transformações matriciais, 
as colunas geram o espaço imagem, podemos determinar a geometria do espaço 
imagem por meio da dependência ou independência linear dos vetores coluna 
da matriz da transformação. 
Veja o exemplo a seguir.
Considere a matriz:
A =
 4 1 5
–7 5 –2
 9 –3 6
Qual a geometria do espaço imagem dessa transformação: reta, plano ou todo o 
espaço? Um primeiro teste que podemos fazer é o cálculo do determinante da matriz. 
Se o determinante for diferente de zero, as colunas serão linearmente independentes 
e, portanto, gerariam o espaço.
Obtemos que o determinante da matriz é igual a zero. Logo, as colunas não são 
linearmente independentes, e existem números a, b, c ∈ ℝ, não todos nulos, que 
sejam solução do sistema:
4a + b + 5c =0
–7a + 5b – 2c = 0
9a – 3b + 6c =0
Resolvendo esse sistema linear, pelo método de eliminação gaussiana, por exemplo, 
obtemos a solução a = 1, b = 1, c = –1 Temos, portanto:
1 + 1 – 1 =
4
–7
9
1
5
–3
5
–2
6
0
0
0
11O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
Segue dessa última igualdade que:
1 + 1 =
4
–7
9
1
5
–3
5
–2
6
A terceira coluna é a soma das duas primeiras que, por sua vez, não são paralelas. 
De fato, não existe λ ∈ ℝ, tal que:
4
–7
9
1
5
–3
= λ
Dessa maneira, o espaço imagem dessa transformação é um plano em ℝ3.
Observe, ainda, que o sistema poderia ter sido resolvido com a simples constatação de 
que a última coluna é a soma das duas primeiras, apenas seguindo o caminho contrário.
Veja outro exemplo sobre a geometria do espaço imagem de transformações 
matriciais. 
Considere a seguinte matriz:
H =
5 7 9
0 2 4
0 –6 –8
Vamos determinar a geometria do espaço imagem dessa transformação. Podemos 
procurar por alguma combinação linear mais evidente, como no exemplo anterior. 
Observe que a primeira coluna parece o resultado da diferença entre o dobro da 
segunda coluna e a terceira. De fato, a conta é válida para os dois primeiros elementos, 
mas falha no terceiro.
5 = 2 × 7 – 9
0 = 2 × 2 – 4
0 ≠ 2 × (–6) – (–8)
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear12
Seguimos, então, calculando o determinante dessa matriz, obtendo:
det(H) = 40
Uma vez que o determinante é diferente de zero, sabemos que a matriz H é invertível, 
e suas colunas formam um conjunto linearmente independente. Assim, o espaço 
imagem da transformação matricial é o próprio ℝ3.
As relações de dependência e independência linear fornecem poderosas 
informações sobre conjuntos de vetores. Futuramente, você aprenderá sobre o 
importante papel que conjuntos geradores linearmente independentes exercem 
em álgebra linear.
É importante estar atento ao fato de que, em muitas das contas envolvendo trans-
formações matriciais, podemos utilizar os vetores linha ao invés dos vetores coluna.
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
Leitura recomendada
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2007.
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção 
Schaum).
Referência
13O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear