202106193_ANTONIO PEREIRA

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INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA - IME
ANTONIO PEREIRA DE CARVALHO
DANIEL DUTRA OLIVEIRA
GEOMETRIA EUCLIDIANA
As contribuições de Euclides para a matemática
Goiânia-GO
2022 
SUMÁRIO
1- Introdução…………………………………………………………………………3
2- Sobre Euclides……………………………………………………………………4
	2.1- Método Axiomático ……………………………………………………5
3- Contribuições para a matemática……………………………………………….5
4- Os elementos……………………………………………………………………..6
	4.1- Livro I……………………………………………………………………..6
		4.1.1 Os axiomas……………………………………………………...6
		4.1.2 Os postulados…………………………………………………..6
4.2- Livro II…………………………………………………………………….7
	4.3- Livro III……………………………………………………………………7
	4.4- Livro IV……………………………………………………………………7
	4.5- Livro V…………………………………………………………………….8
	4.6- Livro VI……………………………………………………………………8
	4.7- Livro VII, VIII e IX………………………………………………………..8
	4.8- Livro X…………………………………………………………………….9
	4.9- Livro XI, XII e XII………………………………………………………...9
	4.10- Matemáticos que contribuem para a obra de Euclides…………………..9
5- Euclides x Hilbert………………………………………………………………..10
6- Conclusão………………………………………………………………………..12
7- Referências bibliográficas……………………………………………………...13
1- Introdução:
O presente trabalho tem como objetivo falar sobre Euclides de Alexandria, que foi professor, matemático platônico e escritor grego. Tendo como objetivo ser abordado sua vida e obra principal, Os Elementos. Pelo o qual ele ficou conhecido como o pai da Geometria, pela grande influência que esse livro teve sobre toda a geometria na história da humanidade.
Não só sobre esse assunto ele escreveu, também temos trabalhos dele sobre perspectivas, secções cônicas, geometria esférica, teoria dos números e rigor. Sendo que ele se destacou por ser um grande didata pois conseguia escrever e ensinar muito bem aquilo que ele se propunha a ensinar.
2- Sobre Euclides:
Euclides foi um matemático grego nascido por volta do séc III A.C. Suas contribuições foram voltadas principalmente a área da geometria. Ele escreveu alguns livros sendo o principal deles a obra constituída por treze capítulos conhecida como Os Elementos. Ao contrário do que muitos pensam a obra não falava só de geometria, fala também sobre teorias dos números e álgebra elementar também, essa obra é considerada uma das mais famosas e importantes da humanidade. Seu trabalho só está atrás da Bíblia quando se trata de ser estudado e usado na história da humanidade.
A repercussão de seu trabalho foi imensa e recebeu grande respeito entre a comunidade matemática, sendo logo usado como o principal livro de geometria por mais de dois milênios (Introdução à história da matemática - Howard Eves). Ele foi o principal trabalho em ensino de geometria tendo mais de mil edições desde a invenção da imprensa na década de 1430 realizada por Johannes Gutenberg. A forma que foi tratada o estudo da geometria por Euclides só foi repensada no século XX por matemáticos como M. Pasch, G. Peano, M. Pieri, D. Hilbert, O. Veblen, E. V. Huntington, G. D. Birkhoff e L. M. Blumenthal, sendo o principal deles D. Hilbert.
O matemático nasceu na Síria, estudou na Grécia não se sabe ao certo aonde, porém é provável que sua formação tenha ocorrido na escola platônica de Atenas. Provavelmente foi criador e professor de matemática na escola Real de Alexandria no Egito (pouco se sabe realmente sobre a vida de Euclides, muitas das coisas sobre sua vida são incertas). Antes da chegada do matemático no Egito,os egípcios já se depararam com o estudo da geometria com a construção de pirâmides e estudo dos ângulos. Não só de influência egípcia, se constituiu os conhecimentos e aprendizados de Euclides ele também teve como grande influência matemáticos gregos pelo tempo que ele passou na Grécia também, matemáticos esses como Pitágoras e Eudoxo.
Em seus 13 livros antes de começar o assunto tratado por ele, eram colocadas definições que seriam usadas no decorrer daquele livro, foram definidos 9 axiomas e 5 postulados no começo do primeiro livro que constitui Os Elementos. Mas a principal base para o seu estudo e tudo que envolve a geometria euclidiana foi o método axiomático:
2.1- Método Axiomático:
Temos que o método axiomático é uma forma que foi encontrada para organizar o conhecimento de uma determinada área do conhecimento, onde ele pode ser aplicado não só na matemática mas em qualquer ciência que possua um rigor em volta de seu estudo. Tem como a escolha de determinados enunciados para que seja formadora e pilar da teoria, com um certo critério de racionalidade, o qual originará os demais enunciados por inferência lógica. Sendo que, esse enunciados que dão origem aos demais são chamados de axiomas e seus derivados de teoremas.
3- Contribuições para a Matemática:
Sua principal obra foi, sem dúvidas, Os Elementos, constituídos pelos 13 livros, que contribuíram imensamente para a geometria, teoria dos números e álgebra elementar. Porém ele escreveu pelo menos 10 coleções de livros, sendo que pelo menos 5 chegaram em nosso tempo de forma completa, sendo que alguns deles são Os Dados, que se referem aos 6 primeiros livros de Elementos, ele tem como objetivo mostrar o que precede a descoberta de uma construção ou de uma prova, sendo seu principal objetivo demonstrar como é o processo que leva a construção e de como são pensados os teoremas .
Temos outro trabalho geométrico de Euclides que foi a Divisão de Figuras, onde ele trata a divisão de figuras geométricas por meio de uma reta que passa por ela, podemos pegar por exemplo uma reta que corta um quadrado o transformando em duas novas formas com a mesma área. Os outros que se tem conhecimento são: Pseudaria ou livro das falácias geométricas; Porismas; Cônicas, um tratado em quatro livros que foi mais tarde completado e ampliado por Apolônio; Lugares de Superfície. 
Os trabalhos que ele tem com matemática aplicada são: Os Fenômenos, que trata de uma geometria esférica utilizada na astronomia em observações, Óptica e também se supõe que ele tenha escrito um trabalho chamado Elementos de Música.
4- Os Elementos:
4.1- Livro I
Nesse livro, Euclides introduz os postulados e axiomas que serão utilizados por ele em toda a obra, sendo essa parte a principal de seus livros, pois é neles que ele baseia toda a sua obra. Além disso, esse livro tem 48 proposições que são divididas em 3 grupos diferentes, sendo eles as primeiras 26 se tratando de triângulos e suas propriedades, nas proposições 27 e 32 Euclides estabelece a teoria das paralelas e o restante trata de paralelogramos, triângulos e quadrados, tratando principalmente de suas áreas.
Interessante contar que, nas duas últimas proposições, se tem a demonstração do Teorema de Pitágoras, que é universalmente atribuída a ele.
Os axiomas e postulados que ele definiu logo no começo de seu primeiro livro onde existia 9 axiomas e 5 postulados definidos. São eles representados abaixo:
4.1.1: Os axiomas:
· Axioma 1: Coisas que são iguais a uma mesma coisa, são iguais entre si;
· Axioma 2: Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais;
· Axioma 3: Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais;
· Axioma 4: E, caso iguais sejam adicionadas a desiguais, todos são desiguais;
· Axioma 5: E os dobros da mesma coisa são iguais entre si;
· Axioma 6: E as metades da mesma coisa são iguais entre si;
· Axioma 7: Coisas que coincidem uma com a outra, são iguais;
· Axioma 8: O todo é maior do que qualquer uma das suas partes;
· Axioma 9: E duas retas não contêm uma área.
4.1.2: Os postulados:
· Postulado 1:Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto;
· Postulado 2: Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta;
· Postulado 3: Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;
· Postulado 4: Todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes);
· Postulado 5: Se duas linhas intersectam uma terceira linha de tal forma quea soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersectar neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Postulado de Euclides ou Postulado das Paralelas).
4.2- Livro II
Esse é um livro bem menor que o anterior, tendo apenas 14 proposições. Nele existem muitas proposições algébricas, além de geométricas, sendo a parte algébrica geométrica e a geométrica transformação de áreas, nesse livro.
Nesse livro ele estabelece algumas relações de produtos notáveis por meio de uma prova geométrica da identidade algébrica:
Também temos as proposições 12 e 13 que conjuntamente estabelecem e generalizam o que conhecemos como “lei dos cossenos”.
4.3- Livro III
Já neste livro temos 39 proposições a respeito de círculos, tangentes, secantes, cordas e medidas de ângulos associados.
4.4- Livro IV
Neste livro com um total de 16 proposições, é tratado e discutido, a forma de se construir polígonos com 3, 4, 5, 6 e 15 lados, por meio de utilização de régua e compasso. Também é tratada a inscrição e a circunscrição desses polígonos em círculos.
4.5- Livro V
Neste livro Euclides, faz uma exposição da Teoria das Proporções de Eudoxo nesse livro, foi com essa teoria que ele conseguiu resolver o problema que os pitagóricos descobriram/tiveram com a descoberta dos números irracionais. Essa teoria era aplicável tanto a grandezas comensuráveis quanto a grandezas incomensuráveis.
“Diz-se que grandezas estão na mesma razão, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta quando, tomando-se equimúltiplos quaisquer da primeira e da terceira e equimúltiplos quaisquer da segunda e da quarta, os primeiros equimúltiplos são ambos maiores que, ou ambos iguais a, ou ambos menores que os últimos equimúltiplos considerados em ordem correspondente.” (Eves, pág.173).
Em outras palavras, o que foi dito é que se temos quatro grandezas desprovidas de sinal: A, B, C e D. Sendo que A e B são grandezas de mesma espécie (segmentos de retas, ou ângulos, ou áreas, ou volumes), e C e D com também sendo grandezas de mesma espécie. Então podemos dizer que a razão entre A e B é igual a razão entre C e D, 
4.6- Livro VI
Neste livro, Euclides aplica tudo o que foi estudado e desenvolvido no livro anterior sobre a teoria eudoxiana na geometria plana, podendo ser encontrados assuntos como teoria fundamental da semelhança de triângulos, resolução geométrica de equações quadráticas, a proposição de que a bissetriz divide o lado oposto em partes proporcionais, entre outros teoremas, como uma relação do Teorema de Pitágoras, que é provada por ele com uma relação de semelhança de triângulos que são formados pelos quadrados desenhados nos catetos e na hipotenusa do triângulo retângulo.
4.7- Livro VII, VIII e IX
Eles juntos possuem um total de 102 proposições e constituem juntos a teoria elementar dos números, no 7° livro ele trata de como achar o máximo divisor comum entre dois ou mais números, verificando assim se eles são primos entre si, o que se tornou conhecido como algoritmo euclidiano. Já no 8º, ele trata da progressão geométrica dos números e de proporções contínuas.
No livro 9 são encontrados importantes teoremas, um deles é o que conhecemos hoje como teorema fundamental da aritmética.
“Todo inteiro maior que 1 pode se expressar como produto de primos de uma e, salvo quanto à ordem dos fatores, uma só maneira” (Eves, pág. 175).
Ele também prova que a existência dos números primos é infinita e essa prova é aceita universalmente pelos matemáticos, como um modelo elegante da matemática.
4.8- Livro X
Dito por muitos como o livro mais notável de Os Elementos, ele trata dos números irracionais, sua proposição de abertura é a base do método da exaustão que é empregado no livro 12.
4.9- Livro XI, XII e XIII
Nesses livros Euclides trata de sólidos, formando a base da maioria do que é tratado sobre esse assunto nos colégios tirando a parte de esferas. No livro 11 são definidos os conceitos de retas e planos no espaço e também paralelepípedos, já no livro 12 é tratado o método de exaustão aplicado ao volume de sólidos e, no livro 13, Euclides demonstra a construção de cinco poliedros regulares dentro de uma esfera.
4.10- Matemáticos que contribuem para a obra de Euclides
A principal obra de Euclides conta com várias participações de matemáticos e filósofos importantes como: Pitágoras, Eudoxo e Platão. Ao escrever os Elementos, Euclides pretendia reunir num texto três grandes descobertas do seu passado recente: a teoria das proporções de Eudoxo, a teoria dos irracionais de Teeteto (417 a.C .- 369 a.C.) e a teoria dos cinco sólidos regulares, que ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão. Eudoxo contribui não apenas com a teoria das proporções, mas também com as grandezas comensuráveis e incomensuráveis e o famoso método de exaustão para calcular áreas de círculos a partir de polígonos inscritos em um círculo. A história não relata que Euclides foi discípulo de Platão, mas com base no raciocínio que ele descreve durante toda a obra é possível perceber que possui uma parte da filosofia platônica. Euclides faz uma demonstração do teorema de pitágoras a partir de representações geométricas e dos seus teoremas sobre congruência de triângulos e cálculo de áreas de figuras planas.
5- Euclides x Hilbert:
No século XX foi bastante estudado o estruturamento e os fundamentos lógicos. Com a evolução dessa ciência foi assim que surgiu a lógica matemática, os cientistas começaram a olhar antigos trabalhos que tinham como base as estruturas lógicas, sendo que o principal trabalho da humanidade que usou esse tipo de base lógica eram os treze livros que constituíam Os Elementos escrito por Euclides. E quando esses estudiosos do século XX se voltaram para esse trabalho viram inúmeros problemas na estruturação lógica de Euclides, pois a forma que ele estruturou seu trabalho, abria muitas margens de ambiguidade e possuía defeitos lógicos.
Como no postulado 2, que ele diz que uma reta pode ser prolongada indefinidamente, mas não garante que exista uma reta infinita, e esse tipo de problema lógico onde deixa algum tipo de lacuna e se prolonga por quase todos os postulados que foram impostos por ele. Então com esse novo estudo da lógica matemática e a mudança de pensamentos sobre como ela deve ser construída, afetou o maior trabalho da história que leva a lógica matemática como principal objeto de estudo e como base principal deste trabalho. Um grande problema que Euclides teve foi querer definir todo os conceitos técnicos do discurso dele, o que coloca ele meio que em um paradoxo sem fim, pois para se explicar um conceito técnico você precisa de outro e esse novo conceito técnico, também precisa de outro o que coloca em um looping sem fim para a teoria. Outra crítica que os matemáticos do século XIX e XX começaram fazer, foi que mesmo com seus postulados e axiomas em alguns teoremas ele nem os utilizava como base para o seu desenvolvimento, muitas vezes usando desenhos como base principal para o desenvolvimento do teorema e esquecendo dos postulados e axiomas.
Com os estudos que foram desenvolvidos no século XX viu-se que para sair desse looping, é preciso que se coloque conceitos primitivos que não precisam ser explicados, pois seus resultados não geram dúvidas que necessitam de impor novos conceitos. Podendo assim ver que a maior diferença entre os conceitos de Euclides e os novos conceitos modernos são em relação ao método axiomático e os conceitos primitivos.
Voltando assim à questão de Hilbert e Euclides, Hilbert não foi o único cientista que reformularam os postulados para que eles ficassem logicamente corretos, muitos outros também o fizeram, mas foi ele quem ficou mais conhecido, pois foi o método repensado que foi usado e inserido no ambiente escolar de uma forma mais didática. Ele definiu conceitos primitivos como ponto, reta, plano, estar entre, congruente entre e sobre, com um total de 21 postulados. Outra modificação que Hilbert fez em relação ao que foi pensado por Euclides éque ele pegou os 5 postulados feitos por Euclides e transformou em 5 grupos de axiomas: axiomas de incidência (7 axiomas), axiomas de ordem (4 axiomas), axiomas de congruência (6 axiomas), axiomas de continuidade (2 axiomas) e o axioma das paralelas.
Ficamos com a reflexão de que o que conhecemos como geometria Euclidiana que conhecemos é a mesma geometria que foi pensada inicialmente por Euclides. E a conclusão é que a geometria que estudamos não é mais a mesma de Euclides, que passou por toda uma reformulação pelas mãos de Hilbert e os outros matemáticos que a repensaram no século XX. Onde os postulados que foram pensados por Euclides não são mais postulados e sim axiomas, também temos o caso sobre o postulado das paralelas que agora é o axioma das paralelas que foi totalmente repensado por Hilbert não tendo mais ligação com o que foi pensado por Euclides. E todo o pensamento que antes Euclides não tinha como foco o pensamento de seus teoremas no abstrato, tanto que às vezes usava figuras para provar os teoremas, e depois da reformulação tudo está no campo do abstrato.
6- Conclusão
	A genialidade de Euclides é evidente, mas podemos notar que as suas teorias possuíam algumas falhas, e que puderam ser identificadas por vários matemáticos, principalmente por Hilbert. Embora algumas teorias tenham sido derrubadas, as contribuições de Euclides foram fundamentais para o desenvolvimento e para a chegada de como a conhecemos hoje.
7- Referências bibliográficas:
1 - A formação da Matemática Contemporânea - Jean Dieudonné
2 - Dicionário de Filosofia - Nicola Abbagnano
3 - Introdução à história da matemática - Howard Eves
4 - Os Elementos - Euclides de Alexandria
5 - https://pt.wikipedia.org/wiki/Euclides
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