202106240_WELBER GONCALVES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
WELBER GONÇALVES PROPHETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INFLUÊNCIA DE DIOFANTO DE ALEXANDRIA NA 
MATEMÁTICA DO PERÍODO DA GRÉCIA ANTIGA E DA 
ATUALIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia 
2023 
 
WELBER GONÇALVES PROPHETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
INFLUÊNCIA DE DIOFANTO DE ALEXANDRIA NA 
MATEMÁTICA DO PERÍODO DA GRÉCIA ANTIGA E DA 
ATUALIDADE 
 
 
 
Trabalho acadêmico entregue digitalmente ao 
professor da disciplina IME0381 – História da 
Matemática I – como parte dos pré-requisitos 
para aprovação na disciplina supracitada. 
 
 
Professor: 
Prof. Dr. Humberto Clímaco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia 
2023
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SUMÁRIO 
 
 
1 INTRODUÇÃO ....................................................... ......................... 
 
2 
2 VIDA E OBRA DE DIOFANTO ......................................................... 
 
3 
2.1 BREVE BIOGRAFIA DE DIOFANTO................................................. 
 
3 
2.2 OBRA DE DIOFANTO....................................................................... 
 
3 
2.3 IMPACTOS DA OBRA DE DIOFANTO NA GRÉCIA ANTIGA.......... 
 
5 
2.4 IMPACTOS DA OBRA DE DIOFANTO PÓS GRÉCIA ANTIGA....... 
 
7 
2.5 RELAÇÃO ENTRE A OBRA DE DIOFANTO E O 
DESENVOLVIMENTO DA ÁLGEBRA ............................................. 
8 
3 CONCLUSÕES ................................................................................ 
 
9 
4 REFERÊNCIAS ................................................................................ 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
A matemática grega difere daquelas desenvolvidas na Babilônia e no Egito 
Antigo. Nessas duas civilizações, a matemática era vista como mera ferramenta de 
resolução de problemas cotidianos relacionados à agricultura, administração, 
agrimensura, arquitetura, astronomia etc. 
A inovação trazida pelos gregos foi o uso da retórica, uma sequência lógica 
composta por proposições encadeadas. Além da retórica havia uma preocupação 
quanto ao entendimento do método empregado para resolver determinado 
problema, ou seja, para os gregos não bastava a solução de um determinado 
problema “funcionar”. O entendimento das etapas da resolução de um problema bem 
como o porquê de cada passo tomado na resolução era relevante para os 
pensadores matemáticos gregos. (STRUIK, 1992 p. 72 e 73) 
Além do emprego da retórica, outra característica marcante da matemática 
grega era o uso sistemático de geometria como ferramenta principal da resolução de 
diversos problemas matemáticos. Atualmente sabe-se que há uma grande variedade 
de problemas matemáticos cujo escopo de resolução foge da área da geometria. 
Diofanto de Alexandria deixou seu legado na história da matemática. Sua 
contribuição mais relevante foi a obra Aritmética, que serviu como base para o 
desenvolvimento da álgebra moderna, pois trazia uma proposta inovadora para a 
matemática grega: o uso de abreviaturas para representar grandezas desconhecidas 
– a álgebra sincopada. O desenvolvimento matemático de Diofanto foi um divisor de 
águas para a matemática grega, bem como para a matemática da atualidade. 
(STRUIK, 1992 p. 106; EVES, p. 208 e 209; SILVA et. al.,2020) 
Embora haja divergências na literatura quanto ao seu ano de nascimento e 
morte, sua obra contribuiu significativamente para o desenvolvimento da matemática 
que se tem atualmente. 
 
 
 
3 
 
2 VIDA E OBRA DE DIOFANTO 
 
2.1 Breve biografia de Diofanto 
 
 Há poucos – e divergentes – registros históricos sobre o ano do seu 
nascimento e morte. O único dado concreto sobre ele é sua idade ao falecer: 84 
anos. Essa informação é extraída de um poema da obra Antologia Grega, que se 
apresenta na forma de adivinha matemática. (GAMAS, 2013; Melo 2015) 
 A adivinha matemática em questão é a seguinte: 
Este túmulo guarda Diofanto. Ó maravilha imensa! O túmulo com astúcia 
conta a duração da sua vida. A sexta parte da sua vida, o deus permitiu-lhe 
ser criança; um doze avos da vida depois, a primeira barba cresceu; uma 
sétima parte depois, acendeu nele o fogo do himeneu, que ao quinto ano de 
casado lhe concedeu um filho. Ah, infeliz filho tão amado! Ao atingir metade 
da idade com que morreria seu pai, queimou-se o seu corpo frio. Ao cabo de 
quatro anos a enganar a sua dor com o estudo dos números, encontrou 
enfim o cabo dos seus dias. (JESUS, p. 110 e 111. tradução, sem ano) 
A adivinha matemática pode ser convertida algebricamente na seguinte 
equação: 
𝑥 =
𝑥
6
+
𝑥
12
+
𝑥
7
+ 5 +
𝑥
2
+ 4 
84𝑥 = 14𝑥 + 7𝑥 + 12𝑥 + 420 + 42𝑥 + 336 
9𝑥 = 756 
𝑥 = 84 
 O período no qual Diofanto viveu permanece incerto. Na história da 
matemática considera-se, por consenso dos estudiosos da área, que o período de 
atividade mais intensa de Diofanto tenha sido, no contexto alexandrino, por volta do 
século III d.C. 
 
2.2 Obra de Diofanto 
 
Alguns séculos após Euclides escrever Os Elementos, Diofanto escreveu sua 
obra de maior destaque, Aritmética. Essa obra de Diofanto é composta por 13 
4 
 
volumes, dos quais apenas 6 desses são conhecidos, enquanto os demais volumes 
se perderam. A obra é uma abordagem analítica da teoria algébrica dos números 
que eleva o autor à condição de gênio em seu campo. 
A parte remanescente do trabalho é dedicada à resolução de 130 problemas, 
numa variedade considerável, cujas resoluções conduzem a equações do primeiro e 
do segundo graus. Apenas uma cúbica muito particular é resolvida. 
O assunto do primeiro livro é equações determinadas em uma incógnita e dos 
demais de equações indeterminadas de segundo grau, e às vezes de grau maior, 
em duas ou três incógnitas. 
A falta de métodos gerais é nítida, e a aplicação iterada de artifícios 
engenhosos concebidos especificamente para as necessidades de cada problema. 
Diofanto admitia somente respostas entre os números racionais positivos e, na 
maioria dos casos, satisfazia-se com apenas uma resposta do problema, sem se 
preocupar com a existência de mais soluções ou até mesmo com a existência de 
infinitas soluções. 
Há enunciados de teoremas penetrantes na Aritmética; assim é que 
encontrado, sem prova, mas com uma alusão à Porismas, que a diferença entre dois 
cubos racionais é também a soma de dois cubos racionais — uma questão que 
posteriormente mereceria a atenção de Viète, Bachet e Fermat. 
Há muitas proposições relativas à representação de números como soma de 
dois, três ou quatro quadrados, um campo de investigações seria posteriormente 
completado por Fermat, Euler e Lagrange. Deve-se ter em mente que “número” 
significa “número racional positivo”. 
Os problemas algébricos indeterminados em que se devem achar apenas as 
soluções racionais tornaram-se conhecidos como problemas diofantinos. Na 
verdade, o uso moderno dessa terminologia muitas vezes impõe a restrição de que 
as soluções sejam inteiras. 
Porém, essa espécie de problema não se originou com Diofanto, assim como 
não foi ele o primeiro a trabalhar com equações indeterminadas ou a resolver 
equações quadráticas de maneira não geométrica, como às vezes se afirma. 
 
 
5 
 
 
2.3 Impactos da Obra de Diofanto na Grécia antiga 
 
 O trabalho de Diofanto trouxe uma nova perspectiva no que diz respeito à 
representação dos números: o uso de abreviações para representar grandezas 
desconhecidas no processo de resolução de problemas matemáticos – ou 
simplesmente álgebra sincopada. 
 O processo de resolução de problemas matemáticos empregava o uso da 
retórica, que consistia no uso excessivo de palavras durante para descrever a 
resolução dos problemas, transformando o processo lógico dedutivo em trechos 
pseudoliterários. A introdução de termos abreviados por Diofanto foi a primeira 
tentativa de simplificar a escrita matemática empregada na época. 
Diofantotinha abreviações para a incógnita, potências da incógnita até a de 
expoente seis, subtração, igualdade e inversos. O símbolo usado por ele para a 
incógnita é o sigma final grego ς. Na álgebra sincopada de Diofanto, “incógnita ao 
quadrado” se indica por Δ𝑌, (as duas primeiras letras da palavra grega dunamis 
(ΔΥΝ𝐴ΜΙΣ) que significa “potência”) e “incógnita ao cubo” denota-se por ΚΥ, (as duas 
primeiras letras da palavra grega kubos (ΚΥΒ𝑂Σ) que significa “cubo”). (SERRÃO; 
BRANDEMBERG, 2014) 
Para quarta potência utilizava se ΔΥΔ (quadrado-quadrado), para quinta 
potência, ΔΚΥ (quadrado-cubo) e para sexta potência ΚΥΚ (cubo-cubo). O símbolo 
para operação de subtração é parecido com um V invertido com a bissetriz traçada 
nele. A explicação mais aceita é que o símbolo utilize a primeira e a última letra da 
palavra grega leipis (ΛΕΙΨΙΣ) que significa “menos”. (SERRÃO; BRANDEMBERG, 
2014) 
Todos os termos negativos de uma expressão eram reunidos e antes deles se 
escrevia o sinal de menos. Indicava-se a adição por justaposição; e o coeficiente da 
incógnita ou de uma potência qualquer da incógnita era representado por um 
numeral grego alfabético logo em seguida ao símbolo a que se deveria ligar. E 
quando houvesse um termo constante, então usava-se Μ̇, uma abreviação da 
palavra grega monades (Μ𝑂ΝΑΔΕΣ), que significa “unidades”, seguido do coeficiente 
6 
 
numérico apropriado. As Informações apresentadas podem ser sintetizadas na 
tabela a seguir: 
 
Símbolo Álgebra de Diofanto Simbologia Algébrica Atual 
Adição Ausente + 
subtração 
 − 
igualdade 𝜖𝜎𝜏𝜄 = 
incógnita ς 𝑥 
Termo constante Μ̇ Qualquer elemento em ℝ 
Incógnita ao 
quadrado 
Δ𝑌 𝑥2 
Incógnita ao cubo ΚΥ 𝑥3 
Incógnita a 4ª 
potência 
ΔΥΔ 𝑥4 
Incógnita a 5ª 
potência 
ΔΚΥ 𝑥5 
Incógnita a 6ª 
potência 
ΚΥΚ 𝑥6 
Tabela 1: Alguns Símbolos da álgebra sincopada de Diofanto. Feita a partir de (SERRÃO; BRANDEMBERG, 
2014) 
O sistema numérico empregado adotado na Grécia encontra-se na figura 1. 
 
Figura 1: Sistema de numeração grego 
7 
 
 Seguindo a tabela construída anteriormente, bem como o sistema de 
numeração grego, e aplicando a regra da justaposição para a adição, e da reunião 
de todos os elementos negativos para aplicar o símbolo “menos” antecedendo todos 
esses termos e aplicando o sistema de numeração da época, é possível construir 
uma tabela que relacione expressões da álgebra atual com a álgebra sincopada de 
Diofanto: 
 
Álgebra atual: Álgebra Sincopada de Diofanto 
𝑥2 − 5𝑥 = 2 Δ𝑌𝛼 ς𝜖 𝜖𝜎𝜏𝜄 Μ̇𝛽 
𝑥3 − 8𝑥2 + 2𝑥 = 4 Κ^Υ𝛼ςβ Δ𝑌 η 𝜖𝜎𝜏𝜄 Μ̇δ 
Tabela 2: Equivalência entre a simbologia proposta por Diofanto e a utilizada atualmente. 
 
2.4 Impactos da Obra de Diofanto pós Grécia Antiga 
 
 Após Diofanto, o desenvolvimento matemático estagnou durante vários 
séculos. Sua obra foi “redescoberta” durante o período do Renascimento, 
fornecendo subsídios, apesar de rudimentares quando comparados com a 
matemática atual, para o desenvolvimento do que atualmente se conhece como 
álgebra. Um dos volumes traduzidos de Aritmética inspirou o matemático Fermat a 
elaborar o que se conhece atualmente como pequeno teorema de Fermat, ou 
simplesmente, último teorema de Fermat, cuja demonstração foi obtida em meados 
da década de 90 do século XX, dada sua grande complexidade. (Neto, 2016; 
Ribeiro, 2014) 
 O trabalho de Diofanto foi um ponto de partida para o desenvolvimento da 
teoria dos números – campo da matemática que estuda a natureza dos números e 
diversos critérios de divisibilidade. Além da teoria dos números, o campo da álgebra 
se beneficiou consideravelmente das obras desse matemático. Em Diofanto, 
grandezas conhecidas e desconhecidas possuíam mesmo status matemático. Em 
suas obras, há um rompimento com o pensamento geométrico presente desde os 
egípcios, babilônicos e seus antecessores gregos pois era presente o uso de 
8 
 
potências maiores que três, que na geometria não correspondiam a nenhuma 
grandeza. (Melo, 2013) 
 
2.5 Relação entre a obra de Diofanto e o desenvolvimento da álgebra 
 
O desenvolvimento da linguagem algébrica é uma história que se estende por 
milhares de anos e que passou por vários estágios, como aponta Boyer (1974). De 
acordo com o autor, a linguagem algébrica passou por três estágios: o primitivo 
completamente verbal e escrito com palavras, o intermediário em que são adotadas 
algumas abreviações, e o final em que o poder de síntese das expressões é 
transmitido pelos símbolos. Foram necessários cerca de três mil anos para se 
chegar à representação algébrica atual. (BOYER, 1974) 
A contribuição de Diofanto ocorreu no estágio intermediário (ou sincopado). 
Sua obra chegou ate os árabes do oriente através de Hipácia, principal comentadora 
das obras de Diofanto. A Aritmética chegou até a Europa através de traduções e 
através do conhecimento árabe que foi desenvolvido baseado nessas obras que ate 
então estavam "perdidas" para o ocidente. 
A origem da Álgebra provavelmente teve lugar na Babilônia, por volta de 
1.700 a.C, com a utilização de problemas matemáticos para resolução de questões 
práticas, como comércio e finanças. Procedimentos algébricos surgiram também no 
Egito, quase na mesma época que na Babilônia, entre 1.850 a.C e 1.650 a.C. Na 
Grécia, até cerca de 540 a.C, a Álgebra era geométrica, formulada pelos pitagóricos. 
(KATZ, 1998) 
O moderno simbolismo da Álgebra só surgiu por volta de 1500, e o francês 
François Viète foi um divisor de águas no pensamento algébrico ao separar a 
solução empírica de equações da moderna corrente que teve seu início com as 
propriedades teóricas das equações. Viète introduziu o uso das letras para indicar 
números desconhecidos da forma como são utilizadas até hoje. Ele foi o primeiro a 
utilizar letras como termos genéricos, aproximando a representação simbólica das 
equações à praticada atualmente. (BOYER, 1974).
9 
 
CONCLUSÕES 
 Diofanto foi um personagem extremamente relevante para o desenvolvimento 
da álgebra e da teoria dos números. Seus trabalhos forneceram as bases 
necessárias ao desenvolvimento da álgebra atual. Suas pesquisas e esforços para 
utilizar uma linguagem abreviada em detrimento da retórica e seu pioneirismo no uso 
da álgebra em detrimento dos métodos geométricos amplamente difundidos por 
seus antecessores e contemporâneos gregos inspirou grandes nomes da 
matemática, como Fermat. 
 Aritmética de Diofanto foi uma das obras que serviram como base para o 
desenvolvimento da álgebra no período do renascimento. Tal obra, por este motivo, 
merece seu destaque no que diz respeito a história da matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
REFERÊNCIAS 
1. STRUIK, Dirk J.; GUERREIRO, J. Santos; VIEIRA, Manuel Joaquim. História 
concisa das matemáticas. 1992. Capítulo III. 
 
2. EVES, Howard. Introdução à história da matemática, tradução: Hygino 
H. Domingues, São Paulo: Editora da Unicamp, 2004. p. 207 a 209 
 
3. MELO, José Ronaldo. Da Aritmética a Gênese do Pensamento Algébrico em 
Diofanto. Elementos, Rio Branco, Ac, v. 3, n. 2, 2013. 
 
4. RIBEIRO, Rildo. Equações Diofantinas: uma abordagem para o Ensino Médio. 
2014. 
 
5. NETO, Huilton José Domingues. Critérios de Divisibilidade. Orientador: Me. 
Rafael Afonso Barbosa, 2016. 
6. MELO, Helena Sousa. Os Pais na Matemática. Correio dos Açores, p. 19-19, 
2015. 
7. SILVA, Elieudo Nogueira; DE SOUZA LIMA, Ana Cristina; DE OLIVEIRA, Tamara 
Sued Pinheiro. ESTUDO DA ÁLGEBRA: O DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DA 
FORMALIZAÇÃO SIMBÓLICA. Boletim Cearense de Educação e História da 
Matemática, v. 7, n. 20, p. 347-356, 2020. 
8. GAMAS, Carlos. Diofanto de Alexandria e os primórdios da Álgebra. Parte: 
Colecao: http://hdl. handle. net/10316.2/29938, 2013. 
9. Antologia grega. Epigramas Vários (livros IV, XIII, XIV, XV). Imprensa da 
Universidade de Coimbra, 2018. Livro digital. Disponível em https://digitalis-dsp.uc.pt/bitstream/10316.2/43284/1/Antologia%20Grega.%20Epigramas%20varios.
pdf Acesso em 16 de dezembro de 2022. p. 110 e 111. 
10. SERRÃO, Marcelo Miranda; BRANDEMBERG, João Cláudio. PROBLEMAS 
MATEMÁTICOS DA ANTIGUIDADE COMO ESTRATÉGIA PARA O ENSINO DE 
EQUAÇÕES NO 9º ANO DA EDUCAÇÃO BÁSICA. Rematec, v. 9, n. 16, p. 130-
147, 2014. 
11. FERREIRA, Lucimeire de Lourdes Adorno; NOGUEIRA, Clélia Maria Ignatius. O 
Desenvolvimento Da Linguagem Algébrica E Sua Compreensão Por Meio Da 
Álgebra Geométrica. Sem ano. Disponível em: 
<http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_luci
meire_lourdes_adorno.pdf> Acesso em 03 de fevereiro de 2023. 
12. KATZ, Victor J. A History of Mathematics. An Introduction. 2. udg. Reading 
(Mass.) etc.: Addison-Wesley, 1998. 
https://digitalis-dsp.uc.pt/bitstream/10316.2/43284/1/Antologia%20Grega.%20Epigramas%20varios.pdf
https://digitalis-dsp.uc.pt/bitstream/10316.2/43284/1/Antologia%20Grega.%20Epigramas%20varios.pdf
https://digitalis-dsp.uc.pt/bitstream/10316.2/43284/1/Antologia%20Grega.%20Epigramas%20varios.pdf