00 AT - Gauss - PIVO

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Método de Gauss 
Sistema de Equações Lineares 
Teorema de Kronocker-Capelli 
 
Ao resolver sistemas de equações lineares, pelo método de Gauss, devemos escalonar ou transformar 
o sistema (matriz) em forma de escadas (escalonamento) e no final, tendo a forma escalonada, 
avaliamos a matriz principal e a matriz ampliada e seus Rank’s ou Posto da Matriz. 
 
a) Se 𝑅(𝐴) = 𝑅(𝐵) = 𝑛; o sistema de equações lineares é determinado e tem uma única solução 
b) Se 𝑅(𝐴) = 𝑅(𝐵) < 𝑛; o sistema de equações lineares é determinado, isto é, tem infinidade de 
soluções (número de incógnitas maiores que as equações) 
c) Se 𝑅(𝐴) < 𝑅(𝐵); o sistema de equações lineares é incompatível (sistema impossível) 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑧 = 2 𝑦 − 3𝑧 = −5 
 𝑦 − 3 ∙ 2 = −5 
 𝑦 − 6 = −5 
 𝑦 = −5 + 6 
 𝑦 = 1 
 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 
 𝑥 + 1 + 2 = 4 
 𝑥 + 3 = 4 
 𝑥 = 4 − 3 
 𝑥 = 1 
Solução 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
(1, 1, 2) 
 
 
 
S 
 
 
 
 
 
 
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1
 ( 
1 1 1
1 1 2
1 2 −2
 | 
 4
 6
 −1
 ) ( 
1 1 1
0 0 1
0 1 −3
 | 
 4
2
−5
 ) 
(−1) (−1) 
( 
1 1 1
0 1 −3
0 0 1
 | 
 4
−5
2
 ) 
 𝑅(𝐴) = 3
𝑅(𝐵) = 3
 𝑛 = 3
 𝑅(𝐴) = 𝑅(𝐵) = 𝑛 
𝑥 = 1
 𝑦 = 1
𝑧 = 2
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑧 = 1 𝑦 + 2𝑧 = 5 
 𝑦 + 2 ∙ 1 = 5 
 𝑦 + 2 = 5 
 𝑦 = 5 − 2 
 𝑦 = 3 
 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 10 
 𝑥 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 1 = 10 
 𝑥 + 6 + 2 = 10 
 𝑥 + 8 = 10 
 𝑥 = 10 − 8 
 𝑥 = 2 
 
Solução 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
(2, 3, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
1 1 2
0 1 − 7 2⁄
0 0 1
 | 
 9
− 17 2⁄
 3
 ) 
 𝑅(𝐴) = 3
𝑅(𝐵) = 3
 𝑛 = 3
 𝑅(𝐴) = 𝑅(𝐵) = 𝑛 
𝑥 = 1
 𝑦 = 2
𝑧 = 3
 
 
 
𝑧 = 3 
 𝑦 −
7
2
𝑧 = −
17
2
 
 𝑦 −
21
2
= −
17
2
 
 𝑦 = −
17
2
+
21
2
 
 𝑦 = +
4
2
= 2 
 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9 
 𝑥 + 2 + 2 ∙ 3 = 9 
 𝑥 + 2 + 6 = 9 
 𝑥 + 8 = 9 
 𝑥 = 9 − 8 
 𝑥 = 1 
Solução 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
(1, 2, 3) 
 
 
{
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 10
 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5
3𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 24
 ( 
1 2 2
2 1 −2
3 4 6
 | 
 10
 5
24
 ) ( 
1 2 2
0 −3 −6
0 −2 0
 | 
 10
−15
−6
 ) 
(−3) (−2) 
(−
1
3
) 
( 
1 2 2
0 1 2
0 −2 0
 | 
 10
 5
−6
 ) ( 
1 2 2
0 1 2
0 0 4
 | 
 10
 5
 4
 ) ( 
1 2 2
0 1 2
0 0 1
 | 
 10
 5
 1
 ) 
 𝑅(𝐴) = 3
𝑅(𝐵) = 3
 𝑛 = 3
 (−2) 
( 
1
4
) 
{
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9
 2𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 1
3𝑥 + 6𝑦 − 5𝑧 = 0
 ( 
1 1 2
2 4 −3
3 6 −5
 | 
 9
 1
 0
 ) ( 
1 1 2
0 2 −7
0 3 −11
 | 
 9
−17
−27
 ) 
(−3) (−2) 
(
1
2
) 
( 
1 1 2
0 1 − 7 2⁄
0 3 −11
 | 
 9
− 17 2⁄
−27
 ) ( 
1 1 2
0 1 − 7 2⁄
0 0 − 1 2⁄
 | 
 9
− 17 2⁄
− 3 2⁄
 ) (−3) 
(−
2
1
) 
3 
 
 
 
Exemplos: 
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1
 
 
( 
1 1 1
1 1 2
1 2 −2
 | 
 4
 6
 −1
 ) 
 𝐿1
 𝐿2
 𝐿3
 
 
( 
1 1 1
0 0 1
0 1 −3
 | 
 4
 2
−5
 ) 
𝐿1
′ = 𝐿1 
𝐿2
′ = 𝐿2 − 1 ∗ 𝐿1
′
 𝐿3
′ = 𝐿3 − 1 ∗ 𝐿1
′
 
 
( 
1 1 1
0 1 −3
0 0 1
 | 
 4
−5
 2
 ) 
𝐿1
′′ = 𝐿1
′ 
𝐿2
′′ = 𝐿3
′ 
 𝐿3
′′ = 𝐿2
′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
{
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 10
 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5
3𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 24
 
 
( 
1 2 2
2 1 −2
3 4 6
 | 
 10
 5
24
 ) 
 𝐿1
 𝐿2
 𝐿3
 
 
( 
1 2 2
0 −3 −6
0 −2 0
 | 
 10
−15
−6
 ) 
𝐿1
′ = 𝐿1 
𝐿2
′ = 𝐿2 − 2 ∗ 𝐿1
′
 𝐿3
′ = 𝐿3 − 3 ∗ 𝐿1
′
 
 
( 
1 2 2
0 1 2
0 −2 0
 | 
 10
 5
−6
 ) 
𝐿1
′′ = 𝐿1
′ 
𝐿2
′′ = (−1/3) ∙ 𝐿2
′ 
 𝐿3
′′ = 𝐿3
′ 
 
 
( 
1 2 2
0 1 2
0 0 4
 | 
 10
 5
 4
 ) 
𝐿1
′′′ = 𝐿1
′′ 
𝐿2
′′′ = 𝐿2
′′ 
 𝐿3
′′′ = 𝐿3
′′ + 2 ∙ 𝐿2
′′′ 
 
 
 
( 
1 2 2
0 1 2
0 0 1
 | 
 10
 5
 1
 ) 
𝐿1
′′′′ = 𝐿1
′′′ 
𝐿2
′′′′ = 𝐿2
′′′ 
 𝐿3
′′′′ = (1/4) ∙ 𝐿3
′′′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
{
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 4
 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 4
 
 
( 
1 2 2
2 1 −1
3 −2 −2
 | 
 4
 −1
 4
 ) 
 𝐿1
 𝐿2
 𝐿3
 
 
( 
1 2 2
0 −3 −5
0 −8 0
 | 
 4
−9
−8
 ) 
𝐿1
′ = 𝐿1 
𝐿2
′ = 𝐿2 − 2 ∗ 𝐿1
′
 𝐿3
′ = 𝐿3 − 3 ∗ 𝐿1
′
 
 
( 
1 2 2
0 1 2
0 −2 0
 | 
 10
 5
−6
 ) 
𝐿1
′′ = 𝐿1
′ 
𝐿2
′′ = (−1/3) ∙ 𝐿2
′ 
 𝐿3
′′ = 𝐿3
′ 
 
 
( 
1 2 2
0 1 2
0 0 4
 | 
 10
 5
 4
 ) 
𝐿1
′′′ = 𝐿1
′′ 
𝐿2
′′′ = 𝐿2
′′ 
 𝐿3
′′′ = 𝐿3
′′ + 2 ∙ 𝐿2
′′′ 
 
 
 
( 
1 2 2
0 1 2
0 0 1
 | 
 10
 5
 1
 ) 
𝐿1
′′′′ = 𝐿1
′′′ 
𝐿2
′′′′ = 𝐿2
′′′ 
 𝐿3
′′′′ = (1/4) ∙ 𝐿3
′′′