Prova 3 - b

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Terceira Prova CIII - 14/06/23 - B1
Questão 1. Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral∫∫
S
[
x4 + y4 + z(x2 + y2 + z3)
]
dS
em que S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 1 que está acima do plano z = 0.
Res.: Queremos calcular
I :=
∫∫
S
[
x4 + y4 + z(x2 + y2 + z3)
]
dS.
Sabemos que −→n = 〈x, y, z〉 é o vetor normal, unitário e exterior à S. Escolhendo o campo
vetorial −→
F :=
〈
x3, y3, x2 + y2 + z3
〉
vemos que
I =
∫∫
S
−→
F · −→n dS.
Seja S1 o disco x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, com −→n = 〈0, 0,−1〉 . Note que S1 é o gráfico da
função z = 0 com domı́nio D := {x2 + y2 ≤ 1} . Seja E o sólido limitado por S ∪ S1.
Pelo Teorema da Divergência:
I +
∫∫
S1
−→
F · 〈0, 0,−1〉 dS =
∫ ∫ ∫
E
div
−→
F dx,
isto é,
I −
∫∫
S1
(x2 + y2 + z3)dS =
∫ ∫ ∫
E
(3x2 + 3y2 + 3z2)dx
Logo,
I =
∫∫
S1
(x2 + y2 + z3)dS + 3
∫ ∫ ∫
E
(x2 + y2 + z2)dx
=
∫∫
D
(x2 + y2)dA+ 3
∫ 2π
0
dθ
∫ π/2
0
sin(φ)dx
∫ 1
0
ρ4dρ
=
∫ 2π
0
dθ
∫ 1
0
r3dr + 3.2π [− cos(φ)]π/20
[
ρ5
5
]1
0
= 2π
[
r4
4
]1
0
+
6π
5
=
π
2
+
6π
5
=
17π
10
.
Questão 2. Sejam −→
F =
〈
exz − y, ey + x cos(πz2), xey + z2
〉
e C a interseção do cone z = 2
√
x2 + y2 com o paraboloide z = x2 + y2, orientada no sentido
anti-horário quando projetada no plano xy.
Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
∫
C
−→
F · d−→r .
Res.: A curva C é a circunferência x2 + y2 = 4 no plano z = 4. De fato, das equações do
paraboloide e do cone encontramos
z = x2 + y2 = 2
√
x2 + y2.
Logo,
x2 + y2 = 4 e z = 4.
Portanto, a curva C é a fronteira da superf́ıcie S dada pelo disco x2 + y2 ≤ 4 no plano z = 4.
Orientando S por −→n = 〈0, 0, 1〉 temos, pelo Teorema de Stokes:∫
C
−→
F · d−→r =
∫ ∫
S
rot
−→
F · 〈0, 0, 1〉 dS
=
∫ ∫
S
[
∂
∂x
(ey + x cos(πz2))− ∂
∂y
(exz − y)
]
dS
=
∫ ∫
S
[
cos(πz2)− (−1)
]
dS
=
∫ ∫
S
[cos(16π) + 1] dS = 2
∫ ∫
S
dS = 8π .