Atividade-A2_pro-tutorada05_est_2024_Resolvida

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Resolução Atividade A2: 
 1) Em um teste de vida útil acelerado, as unidades operam em condições extremas até a 
falha. Em um dos testes, os dados a seguir representam as temperaturas ambientes (em °C) 
e os tempos de vida (em meses) de unidades que operam em condições de temperatura 
alta. 
(a) Determine o coeficiente de correlação (de Pearson) entre Tempo de vida e 
Temperatura e analise o resultado obtido, considerando as variáveis em estudo. 
Para calcular o coeficiente de correlação de Pearson entre as temperaturas e os tempos de 
vida das unidades, vamos seguir os passos abaixo: 
 Calculamos a média das temperaturas e dos tempos de vida. 
 Calculamos os desvios em relação às médias para cada temperatura e tempo de vida. 
 Multiplicamos os desvios correspondentes e somamos todos os produtos para obter 
a covariância. 
 Calculamos os desvios padrões das temperaturas e dos tempos de vida. 
 Dividimos a covariância pelo produto dos desvios padrões para obter o coeficiente de 
correlação. 
Dados: 
Temperatura (°C) Tempo de Vida (meses) Unidade 
40 851 1 
45 635 2 
50 764 3 
55 708 4 
60 469 5 
65 661 6 
70 586 7 
75 371 8 
80 337 9 
85 245 10 
90 129 11 
95 158 12 
 
 
 
 
 
1- Cálculo das Médias 
 
 
 
Média das Temperaturas = (40 + 45 + 50 + 55 + 60 + 65 + 70 + 75 + 80 + 85 + 90 + 95) / 
12 = 67,5°C 
Média dos Tempos de Vida = (851 + 635 + 764 + 708 + 469 + 661 + 586 + 371 + 337 + 245 
+ 129 + 158) / 12 = 492,83 meses 
 
2- Cálculo dos Desvios das Temperaturas e dos Tempos de Vida 
Desvio da Temperatura (°C) 
Desvio=Temperatura individual−Média das Temperaturas 
Desvio do Tempo de Vida (meses) 
Desvio=Tempo de Vida individual−Média dos Tempos de Vida 
Cálculos dos desvios para cada unidade: 
 
Desvios da Temperatura (°C) 
1. 40−67,5=−27,5 
2. 45−67,5=−22,5 
3. 50−67,5=−17,5 
4. 55−67,5=−12,5 
5. 60−67,5=−7,5 
6. 65−67,5=−2,5 
7. 70−67,5=2,5 
8. 75−67,5=7,5 
9. 80−67,5=12,5 
10. 85−67,5=17,5 
11. 90−67,5=22,5 
12. 95−67,5=27,5 
Desvios do Tempo de Vida (meses) 
1. 851−492,83=358,17 
2. 635−492,83=142,17 
3. 764−492,83=271,17 
4. 708−492,83=215,17 
5. 469−492,83=−23,83 
6. 661−492,83=168,17 
7. 586−492,83=93,17 
8. 371−492,83=−121,83 
9. 337−492,83=−155,83 
10. 245−492,83=−247,83 
11. 129−492,83=−363,83 
12. 158−492,83=−334,83 
 
 
 
Organizando em uma tabela 
Temperatura 
(°C) 
Desvio Temp 
(°C) 
Tempo de Vida 
(meses) 
Desvio Tempo 
(meses) 
Unidade 
40 -27,5 851 358,17 1 
45 -22,5 635 142,17 2 
50 -17,5 764 271,17 3 
55 -12,5 708 215,17 4 
60 -7,5 469 -23,83 5 
65 -2,5 661 168,17 6 
70 2,5 586 93,17 7 
75 7,5 371 -121,83 8 
80 12,5 337 -155,83 9 
85 17,5 245 -247,83 10 
90 22,5 129 -363,83 11 
95 27,5 158 -334,83 12 
 
3- Cálculo da Covariância 
 
 
Sabemos que: n-1 = 12-1 = 11 
Desvio da Temperatura x Desvio do Tempo de Vida 
1. (−27,5×358,17) =−9849,675 
2. (−22,5×142,17) =−3198,825 
3. (−17,5×271,17) =−4745,475 
4. (−12,5×215,17) =−2690,625 
5. (−7,5×−23,83) =178,725 
6. (−2,5×168,17) =−420,425 
7. (2,5×93,17) =232,925 
8. (7,5×−121,83) =−913,725 
9. (12,5×−155,83) =−1947,875 
10. (17,5×−247,83) =−4336,775 
11. (22,5×−363,83) =−8186,175 
12. (27,5×−334,83) =−9207,775 
Esses produtos são os valores individuais resultantes das multiplicações dos desvios de 
cada temperatura pelo desvio correspondente de tempo de vida. Esses valores são então 
utilizados para calcular a covariância, dividindo a soma deles pelo número de unidade menos 
um (n-1), 
Somatória dos resultados da conta Desvio da Temperatura x Desvio do Tempo de Vida 
∑=−9849,675−3198,825−4745,475−2690,625+178,725−420,425+232,925−913,725−1947,875−4336,775−8186,175−9207,775 
∑=−44986,875 
 
Cálculo da Covariância 
Lembrando que: n-1 = 12-1 = 11 
𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 = 
−44986,875
11
 = −4089,7159 
Covariância=−4089,7159 
 
4- Cálculo dos Desvios Padrão 
 
 
 
 
Tabela com os desvios elevados ao quadrado 
Unidade Desvio Temp (°C) (Desvio Temp)² Desvio Tempo (meses) (Desvio Tempo)² 
1 -27,5 756,25 358,17 128285,7489 
2 -22,5 506,25 142,17 20212,3089 
3 -17,5 306,25 271,17 73533,1689 
4 -12,5 156,25 215,17 46298,1289 
5 -7,5 56,25 -23,83 567,8689 
Unidade Desvio Temp (°C) (Desvio Temp)² Desvio Tempo (meses) (Desvio Tempo)² 
6 -2,5 6,25 168,17 28281,1489 
7 2,5 6,25 93,17 8680,6489 
8 7,5 56,25 -121,83 14842,5489 
9 12,5 156,25 -155,83 24282,9889 
10 17,5 306,25 -247,83 61419,7089 
11 22,5 506,25 -363,83 132372,2689 
12 27,5 756,25 -334,83 112111,1289 
Σ 3825,00 650887,6668 
 
Lembrando que: n-1 = 12-1 = 11 
Então, ∑ dos Desvios de temperatura elevado ao quadrado = 3825 
Logo: 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = ≈ 18,65 
 
∑ dos Desvios dos Tempos de Vida elevado ao quadrado = 650887,6668 
Logo: 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑉𝑖𝑑𝑎 = 
,
≈ 243,25 
 
5- Cálculo do Coeficiente de Correlação de Pearson 
 
 
Já calculado: 
Covariância = −4089,7159 
Desvio Padrão das Temperaturas = 18,65 
Desvio Padrão dos Tempos de Vida = 243,25 
Logo: 
𝑟 = 
−4089,7159
18,65𝑥243,25
 = −0,9015 
 
 
Estatísticas Calculadas: 
 Covariância: -4089,7159 
 Desvio Padrão das Temperaturas: 18,65 
 Desvio Padrão dos Tempos de Vida: 243,25 
 Coeficiente de Correlação de Pearson (r): -0,9012 
Análise do Resultado 
O coeficiente de correlação de Pearson 𝑟 é aproximadamente -0,9012, indicando uma forte 
correlação negativa entre a temperatura e o tempo de vida das unidades. Isso significa que, 
à medida que a temperatura aumenta, o tempo de vida das unidades tende a diminuir 
consideravelmente. 
A correlação negativa forte sugere que aumentos na temperatura têm um impacto 
significativo e inverso sobre a durabilidade das unidades testadas, o que é consistente com 
o que se esperaria em testes de vida útil acelerados onde condições extremas são usadas 
para simular o desgaste ao longo do tempo. Esses resultados podem ajudar a estimar a vida 
útil das unidades sob condições normais de operação e a entender melhor como a 
temperatura afeta a performance e a durabilidade do produto. 
 
(b) Determine o coeficiente de determinação entre Tempo de vida e Temperatura e 
analise o resultado obtido, considerando as variáveis em estudo. 
 
O coeficiente de determinação, conhecido como 𝑅 (R-quadrado), é usado para medir a 
proporção da variância em uma variável dependente que é previsível a partir da variável 
independente(s). Ele é o quadrado do coeficiente de correlação de Pearson (𝑟). 
Cálculo do Coeficiente de Determinação (𝑹𝟐) 
Dado que o coeficiente de correlação de Pearson (𝑟) entre a temperatura e o tempo de vida 
que calculamos anteriormente é aproximadamente -0,9012, o coeficiente de determinação é 
calculado como: 
𝑅 = 𝑟 
𝑅 = (−0,9012) 
𝑅 = 0,8122 
 
Análise do Resultado 
Um 𝑅 de 0,8122 significa que aproximadamente 81,22% da variabilidade no tempo de vida 
das unidades pode ser explicada pela relação linear com a temperatura sob as condições 
de teste especificadas. Isso indica uma forte relação entre as temperaturas mais altas e a 
redução nos tempos de vida das unidades, refletindo que a maior parte da variação no tempo 
de vida pode ser atribuída às variações na temperatura. 
Considerações 
 Interpretação: Um valor de 𝑅 alto, como 0,8122, é indicativo de um modelo que 
explica bem a variância da variável dependente (tempo de vida), sugerindo que as 
temperaturas têm um impacto significativo no tempo de vida das unidades. 
 Aplicabilidade: Este resultado é particularmente útil para entender o comportamento 
do produto sob condições extremas e pode ajudar na tomada de decisões 
relacionadas ao design do produto, à escolha de materiais, ou ao estabelecimento de 
limites operacionais. 
 Limitações: Embora o 𝑅 seja alto, é importante lembrar que a correlação não implica 
causalidade. Outros fatores não medidos podem influenciar tanto o tempo de vida 
quanto a temperatura, e estudos adicionaispoderiam ser necessários para 
estabelecer relações causais claras. 
 
 (c) Determine a equação da reta de regressão linear do Tempo de vida em função da 
Temperatura 
Para determinar a equação da reta de regressão linear do Tempo de Vida em função da 
Temperatura, precisamos calcular a inclinação (coeficiente angular) e o intercepto 
(coeficiente linear) da reta. Esses valores podem ser calculados com base nas médias das 
variáveis e na covariância entre elas. 
Dados e Fórmulas Necessárias 
A equação da reta de regressão linear é geralmente expressa como: 
𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 
Onde: 
 𝑌 é a variável dependente (Tempo de Vida), 
 𝑋 é a variável independente (Temperatura), 
 𝑎 é o intercepto, 
 𝑏 é a inclinação ou coeficiente angular da reta. 
A inclinação 𝑏 é calculada por: 
𝑏 = 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝑆
 
Onde Cov(𝑋,𝑌) é a covariância entre as variáveis 𝑋 e 𝑌, e 𝑆 é a soma dos quadrados dos 
desvios de 𝑋(Temperatura). 
O intercepto 𝑎 é calculado por: 
 𝑎 = 𝑌 − 𝑏𝑋 
Onde 𝑌 e 𝑋 são as médias dos tempos de vida e das temperaturas, respectivamente. 
 
Cálculo da Inclinação e Intercepto 
Temos: 
1. Covariância entre Temperatura e Tempo de Vida: 
Cov(𝑋,𝑌) =−4089,7159 calculado no item (a) deste exercício 
2. Soma dos quadrados de desvios de Temperatura 
(𝑆 ) = 3825 calculado no item (a) deste exercício 
3. Médias 
Das temperaturas (𝑋) = 67,5°C calculado no item (a) deste exercício 
Dos tempos de vida (𝑌) = 492,83 meses calculado no item (a) deste exercício 
 
Cálculo da inclinação 𝑏 da equação da reta de regressão: 
𝑏 =
−4089,7159
3825
≈ −1,0692 
𝑏 ≈ −1,0692 
Este valor representa a inclinação da reta de regressão linear, indicando que, para cada 
aumento de uma unidade na temperatura, o tempo de vida esperado das unidades diminui 
aproximadamente 1,0692 meses, assumindo que a relação linear se mantenha constante. 
Cálculo do Intercepto “a” 
𝑎 = 𝑌 − 𝑏𝑋 
𝑎 = 492,83−(−1,0692×67,5) 
𝑎 = 492,83+72,1710 
𝑎 = 565,0010 
Equação Final da Reta de Regressão 
Portanto, a equação final da reta, refletindo a relação negativa observada entre a 
temperatura e o tempo de vida é: 
𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 
𝑌=565,0010−1,0692𝑋 
Esta equação sugere que temperaturas mais altas estão associadas a tempos de vida 
reduzidos das unidades testadas, uma informação valiosa para o planejamento de testes de 
durabilidade e para entender melhor o comportamento do material ou produto sob diferentes 
condições térmicas. 
 
 
 (d) Estime o Tempo de vida de uma unidade exposta a uma Temperatura de 77°𝐶 
Para estimar o tempo de vida de uma unidade exposta a uma temperatura de 77°C usando 
a equação da reta de regressão que calculamos, substituímos 𝑋 por 77 na equação: 
𝑌=565,0010−1,0692×77 
Vamos fazer esse cálculo: 
𝑌=565,0010−1,0692×77 
𝑌=565,0010−82,3284 
𝑌=482,6726 
Portanto, com base no modelo de regressão linear, uma unidade exposta a uma temperatura 
de 77°C tem um tempo de vida estimado de aproximadamente 482,6726 meses. Esta é uma 
estimativa baseada na relação linear observada entre a temperatura e o tempo de vida nos 
dados que analisamos. 
 
 (e) Determine a equação da reta de regressão linear da Temperatura em função do 
Tempo de vida 
Para determinar a equação da reta de regressão linear da Temperatura em função do Tempo 
de Vida, invertemos as variáveis, de modo que agora o Tempo de Vida (Y) torna-se a variável 
independente, e a Temperatura (X) torna-se a variável dependente. Isso significa que 
calcularemos a reta de regressão linear usando: 
𝑋 = 𝑎′ + 𝑏′𝑌 
Cálculo da Inclinação (𝑏′) 
A inclinação (𝑏′) para essa nova regressão é dada pela fórmula: 
 𝑏′ = 
( , ) 
 Onde: 
 Cov(𝑌,𝑋) é a mesma que Cov(𝑋,𝑌) já que a covariância é simétrica, 
 𝑆 é a soma dos quadrados dos desvios de Y (Tempo de Vida). 
Dado que: 
 Cov(Y,X) = −4089,7159 calculado no item (a) deste exercício 
 𝑆 = 650887,6668 (como calculado anteriormente para os quadrados dos desvios 
do Tempo de Vida no item (a) deste exercício). 
𝑏′ =
−4089.7159
650887,6668
≈ −0.0063 
Cálculo do Intercepto (a′) 
O intercepto (a′) é calculado por: 
𝑎′ = 𝑋 − 𝑏′𝑌 
Onde 𝑋 e 𝑌 são as médias das Temperaturas e dos Tempos de Vida, respectivamente. 
Suponhamos que as médias são: 
 𝑋= 67,5°𝐶 (média das Temperaturas calculado no item (a) deste exercício), 
 𝑌 = 492,83 meses (média dos Tempos de Vida calculado no item (a) deste exercício). 
Portanto: 
a′ = 𝑋 − 𝑏′𝑌 
a′=67,5−(−0,0063×492,83) 
a′=67,5+3,1038 
a′=70,6038 
Equação Final da Reta de Regressão 
Assim, a equação da reta de regressão linear da Temperatura em função do Tempo de Vida 
seria: 
𝑋 = 𝑎′ + 𝑏′𝑌 
𝑋=70,6038−0,0063𝑌 
Esta equação sugere que, com o aumento do tempo de vida, a temperatura tende a diminuir 
ligeiramente, o que pode ser um indicativo de degradação térmica ou outros fatores 
ambientais afetando o desempenho do produto ao longo do tempo. 
 
 (f) Estime a Temperatura a que foi exposta uma unidade com um Tempo de vida de 
724 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
Usando a equação da reta de regressão linear da Temperatura em função do Tempo de Vida 
que calculamos anteriormente: 
𝑋=70,6038−0,0063𝑌 
Onde 𝑋 é a temperatura e 𝑌 é o tempo de vida. Para estimar a temperatura a que foi exposta 
uma unidade com um tempo de vida de 724 meses, substituímos 𝑌 por 724: 
X = 70,6038−0,0063×724 
X = 70,6038−4,5612 
X = 66,0426 
Portanto, a temperatura estimada a que uma unidade foi exposta, considerando um tempo 
de vida de 724 meses, é aproximadamente 66,0426°C. 
Esta temperatura reflete a tendência observada de que, com um aumento no tempo de vida, 
a temperatura pode ter sido ligeiramente menor, sugerindo possíveis efeitos do ambiente ou 
condições de operação sobre a longevidade do produto. 
 
2) O tipo sanguíneo de um indivíduo é classificado em uma única das seguintes categorias: 
𝐴, 𝐵, 𝐴𝐵 e 𝑂. Em cada tipo sanguíneo pode ocorrer do fator 𝑅ℎ ser positivo ou negativo. 
Admita que a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo 𝐴 é 0,3, ter tipo 𝐵 é 0,2 e ter tipo 
𝑂 é 0,4. Admita também, que em todos os tipos sanguíneos, a chance de ser 𝑅ℎ positivo 
(𝑅ℎ+) é 90%. Escolhido um indivíduo, ao acaso, qual a probabilidade de ele: 
(a) ter sangue tipo 𝐴𝐵 ou ter fator 𝑅ℎ+? 
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de probabilidade, incluindo a regra da 
soma e probabilidade condicional. 
Determinar as probabilidades dos tipos sanguíneos individuais e Rh+: 
 Probabilidade de ter sangue tipo A (P(A)): 0,3 
 Probabilidade de ter sangue tipo B (P(B)): 0,2 
 Probabilidade de ter sangue tipo O (P(O)): 0,4 
 Probabilidade de ter sangue tipo AB (P(AB)): 
Como sabemos que todas as probabilidades somadas devem dar 1, e temos 
as probabilidades de A, B, e O, podemos calcular P(AB) como: 
 1−(𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)+𝑃(𝑂)) = 1−(0,3+0,2+0,4) = 0,1 
 Probabilidade de ser Rh+ (P(Rh+)): 90% ou 0,9 para todos os tipos 
sanguíneos. 
 
Calcular a probabilidade de ter sangue tipo AB ou ser Rh+: 
 P(AB ou Rh+) pode ser calculada usando a regra da soma: 
𝑃(𝐴𝐵 ou 𝑅ℎ+)=𝑃(𝐴𝐵)+𝑃(𝑅ℎ+)−𝑃(𝐴𝐵 e 𝑅ℎ+) 
 
 P(AB e Rh+) é a probabilidade de um indivíduo ser AB e Rh+, que é o produto 
das probabilidades independentes de ser AB e de ser Rh+, já que o tipo de 
sangue e o fator Rh são eventos independentes: 
𝑃(𝐴𝐵 e 𝑅ℎ+)=𝑃(𝐴𝐵)×𝑃(𝑅ℎ+)=0,1×0,9=0,09 
 
 P(AB ou Rh+) torna-se então: 
𝑃(𝐴𝐵 ou 𝑅ℎ+)=𝑃(𝐴𝐵)+𝑃(𝑅ℎ+)−𝑃(𝐴𝐵 e 𝑅ℎ+)=0,1+0,9−0,09=0,91 
Portanto, a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ter sangue tipo AB ou ser Rh+ 
é 0,91 ou 91%. 
 
 
(b) não ter sangue tipo 𝐴 e não ser 𝑅ℎ+? 
Para calcular a probabilidade de um indivíduo não ter sangue tipo A e também não ser Rh+, 
precisamos aplicar a regra da probabilidade complementar e a definição de eventos 
independentes. 
Vamos primeiro determinar as probabilidades necessárias: 
1. Probabilidade de NÃO ter sangue tipo A (P(Não A)): já que a probabilidade de tersangue tipo A é 0,3, então a probabilidade de não ter sangue tipo A é: 
1−𝑃(𝐴) = 1−0,3=0,7 
 
2. Probabilidade de ser Rh- (P(Rh-)): dado que a probabilidade de ser Rh+ é 90% ou 
0,9, a probabilidade de ser Rh- é: 
1−𝑃(𝑅ℎ+) = 1−0,9=0,1 
 
Como os eventos "ter um certo tipo de sangue" e "ser Rh+" são independentes, a 
probabilidade de não ter sangue tipo A e não ser Rh+ (ou seja, ser Rh-) é o produto das 
probabilidades desses dois eventos independentes: 
𝑃(Não A e Rh-)=𝑃(Não A)×𝑃(Rh-)=0,7×0,1=0,07 
Portanto, a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso não ter sangue tipo A e não 
ser Rh+ é 0,07 ou 7%. 
 
(c) ter sangue tipo 𝐵, sendo que é 𝑅ℎ+? 
Para calcular a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo B dado que ele é Rh+ (P(B | 
Rh+)), usamos a regra da probabilidade condicional: 
 
 
 
Onde: 
 P(B e Rh+) é a probabilidade de ser tipo B e Rh+. Como o tipo de sangue e o fator 
Rh são independentes, podemos calcular essa probabilidade multiplicando as 
probabilidades individuais: 
𝑃(𝐵 e 𝑅ℎ+)=𝑃(𝐵)×𝑃(𝑅ℎ+)=0,2×0,9=0,18 
 
 P(Rh+) é a probabilidade de ser Rh+, que já calculamos anteriormente como 0,9. 
 
Agora substituímos esses valores na fórmula da probabilidade condicional: 
𝑃(𝐵 ∣ 𝑅ℎ+) =
0,18
0,9
= 0,2 
Portanto, a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo B, dado que é Rh+, é 0,2 ou 20%. 
 
3) Suponha que as empresas na área de biotecnologia têm probabilidade 0,2 de se tornarem 
rentáveis, que as empresas na área de tecnologia da informação têm probabilidade 0,15 de 
se tornarem rentáveis e que as empresas em outras áreas tecnológicas têm probabilidade 
0,1 de se tornarem rentáveis. Um capitalista faz investimento de risco em uma empresa de 
cada tipo. Considere que as empresas funcionam independentemente. 
Qual a probabilidade de que pelo menos duas das empresas sejam rentáveis? 
Para calcular a probabilidade de que pelo menos duas das três empresas se tornem 
rentáveis, precisamos considerar os seguintes eventos: 
 Evento A: A empresa de biotecnologia é rentável. 
 Evento B: A empresa de tecnologia da informação é rentável. 
 Evento C: A empresa de outras áreas tecnológicas é rentável. 
Dadas as probabilidades: 
 P(A) = 0,2 
 P(B) = 0,15 
 P(C) = 0,1 
E sabendo que os eventos são independentes, podemos calcular a probabilidade de que 
pelo menos duas empresas sejam rentáveis usando a fórmula para a probabilidade da união 
de três eventos, onde focamos nos casos em que dois ou três eventos ocorrem: 
𝑃(pelo menos duas rentáveis)=𝑃(𝐴∩𝐵)+𝑃(𝐴∩𝐶)+𝑃(𝐵∩𝐶)−𝑃(𝐴∩𝐵∩𝐶) 
Primeiro, calculamos a probabilidade de interseção para dois eventos: 
 𝑃(𝐴∩𝐵) = 𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵) = 0,2×0,15 = 0,03 
 𝑃(𝐴∩𝐶) = 𝑃(𝐴)×𝑃(𝐶) = 0,2×0,1 = 0,02 
 𝑃(𝐵∩𝐶) = 𝑃(𝐵)×𝑃(𝐶) = 0,15×0,1 = 0,015 
E para três eventos: 
 𝑃(𝐴∩𝐵∩𝐶) = 𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)×𝑃(𝐶) = 0,2×0,15×0,1 = 0,003 
Substituindo esses valores na fórmula da união: 
𝑃(pelo menos duas rentáveis)=0,03+0,02+0,015−0,003 = 0,062 
Portanto, a probabilidade de que pelo menos duas das três empresas sejam rentáveis é 
0,062, ou 6,2%. 
4) Admita que o primeiro emprego de um sujeito com determinada formação pode ser em 
uma empresa estatal, multinacional ou privada nacional, cujas probabilidades são de 20%, 
30% e 50%, respectivamente. Suponha também que, cada vez que um sujeito, da referida 
formação, muda de emprego, ele o faz segundo as probabilidades de transição 
apresentadas no quadro a seguir. 
Para um determinado sujeito da referida formação, selecionado ao acaso, qual a 
probabilidade: 
 
(a) de que o seu segundo emprego seja uma estatal? 
Para determinar a probabilidade de que o segundo emprego de uma pessoa seja em uma 
empresa estatal, devemos primeiro calcular as probabilidades baseadas no primeiro 
emprego e então aplicar as probabilidades de transição para o segundo emprego. 
Dados iniciais: 
 Probabilidade de o primeiro emprego ser em uma empresa estatal: 20% (0,2) 
 Probabilidade de o primeiro emprego ser em uma multinacional: 30% (0,3) 
 Probabilidade de o primeiro emprego ser em uma empresa privada nacional: 50% 
(0,5) 
As probabilidades de transição para uma empresa estatal são: 
 De uma empresa estatal para outra estatal: 60% (0,6) 
 De uma multinacional para uma estatal: 30% (0,3) 
 De uma privada nacional para uma estatal: 25% (0,25) 
Agora calculamos a probabilidade total do segundo emprego ser em uma estatal 
utilizando a Lei Total da Probabilidade: 
𝑃(Segundo emprego estatal)=𝑃(Estatal∣Estatal)×𝑃(Estatal)+𝑃(Estatal∣Multinacional)
×𝑃(Multinacional)+𝑃(Estatal∣Privada Nacional)×𝑃(Privada Nacional) 
Substituindo os valores: 
𝑃(Segundo emprego estatal) = 0,6×0,2+0,3×0,3+0,25×0,5=0,12+0,09+0,125 = 0,335 
Portanto, a probabilidade de que o segundo emprego do sujeito seja em uma empresa 
estatal é de 33,5%. 
 
(b) de que o seu primeiro emprego tenha sido em uma multinacional, dado que o seu 
segundo emprego é em uma empresa privada nacional? 
Para calcular a probabilidade de que o primeiro emprego tenha sido em uma multinacional, 
dado que o segundo emprego é em uma empresa privada nacional, utilizaremos a fórmula 
de probabilidade condicional: 
𝑃(Multinacional primeiro∣Privada Nacional segundo)=𝑃(Multinacional primeiro
∩Privada Nacional segundo)𝑃(Privada Nacional segundo) 
Onde: 
 𝑃(Multinacional primeiro ∩ Privada Nacional segundo) é a probabilidade conjunta 
de o primeiro emprego ser em uma multinacional e o segundo ser em uma privada 
nacional. 
 𝑃(Privada Nacional segundo) é a probabilidade total de o segundo emprego ser em 
uma privada nacional. 
A partir da tabela de transição e das probabilidades iniciais, calculamos: 
Cálculo da Probabilidade Conjunta 
𝑃(Multinacional primeiro∩Privada Nacional segundo)=𝑃(Privada Nacional∣Multi
nacional)×𝑃(Multinacional) = 0,2×0,3=0,06=0,2×0,3 = 0,06 
 
Cálculo da Probabilidade Total do Segundo Emprego ser Privada Nacional 
𝑃(Privada Nacional segundo)=(𝑃(Privada Nacional∣Estatal)×𝑃(Estatal))+(𝑃(Privada N
acional∣Multinacional)×𝑃(Multinacional))+(𝑃(Privada Nacional∣Privada Nacional)×𝑃(
Privada Nacional)) = (0,2×0,2)+(0,2×0,3)+(0,4×0,5) = 0,04+0,06+0,2 = 0,3 
 
Cálculo da Probabilidade Condicionada 
𝑃(Multinacional primeiro∣Privada Nacional segundo) = 
,
,
 = 0,2 
Portanto, a probabilidade de que o primeiro emprego tenha sido em uma multinacional, dado 
que o segundo emprego é em uma empresa privada nacional, é de 20% (0,2 ou 20%).