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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Departamento Acadêmico de Matemática - Campus Ponta Grossa
Pré-Cálculo - MAT101
5a Lista de Exercícios - Trigonometria I
Exercício 01: Calcule o ângulo agudo formado pelos ponteiros do relógio à 1 hora e 12 minutos. Resposta : 36°
Exercício 02: Sabendo que secx = 3, calcular o valor da expressão y = sin2 x+ 2 tan2 x. Resposta :
152
9
Exercício 03: Calcular m de modo que se tenha sinx = 2m+ 1 e cosx = 4m+ 1. Resposta : −1
2
ou − 1
10
Exercício 04: Demonstre as seguintes identidades:
a)
(
1 + cot2 x
) (
1− cos2 x
)
= 1
b) cos4 x+ sin4 x+ 2 (sinx cosx)
2
= 1
c) sec2 x+ csc2 x = sec2 x csc2 x
d) 2 (sinx+ tanx) (cosx+ cotx) = (1 + sinx+ cosx)
2
e)
cosx+ cos y
sinx− sin y
=
sinx+ sin y
cosx− cos y
f)
1− cosx
1 + cosx
= (cscx− cotx)
2
g) csc6 x− cot6 x = 1 + 3 cot2 x csc2 x
Exercício 05: Simplifique a expressão y =
sin (2π − x) cos (π − x)
tan
(π
2
+ x
)
cot
(
3π
2
− x
) . Resposta : − sinx cosx
Exercício 06: Mostre que os ângulos internos A, B e C de um triângulo não retângulo verificam a relação
tanA+ tanB + tanC = tanA tanB tanC
.
Exercício 07: Demonstre as seguintes identidades:
a)
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
sinx sin y sin z
cosx cos y cos z
∣∣∣∣∣∣ = sin (x− y) + sin (y − z) + sin (z − x) .
b) tan (45° + x) cot (45° − x) =
1 + sin 2x
1− sin 2x
.
c) cos2 (a+ b) + cos2 b− 2 cos (a+ b) cos a cos b = sin2 a
Exercício 08: Mostre que os ângulos internos A, B e C de um triângulo não retângulo verificam a relação
tanA+ tanB + tanC = tanA tanB tanC.
.
Exercício 09: Calcular sin 2x sabendo-se que tanx+ cotx = 3. Resposta :
2
3
Exercício 10: Se tanx =
5
12
, calcular sin
x
2
. Resposta : +
1√
26
ou − 1√
26
ou +
5√
26
ou − 5√
26
Exercício 11: Calcular o valor das funções trigonométricas de
π
8
. Resposta : sin
π
8
=
√
2−
√
2
2
, cos
π
8
=
√
2 +
√
2
2
,
tan
π
8
=
√
2− 1
Exercício 12: Transforme as seguintes expressões em produto:
a) y = sin 5x+ sin 3x Resposta : 2 sin 4x cosx
b) y = cos 3x+ cosx Resposta : 2 cos 2x cosx
c) y = sin 7a+ sin 5a− sin 3a− sin a Resposta : 4 cos a sin 2a cos 4a
d) y = cos 9a+ cos 5a− cos 3a− cos a Resposta : −4 cos 2a sin 4a sin 3a
e) y = 1 + sin 2x Resposta : 2 sin2
(π
4
+ x
)
f) y = 1 + cos a+ cos 2a Resposta : 4 cos a cos
(a
2
+
π
6
)
cos
(a
2
− π
6
)
g) y = sin a+ 2 sin 3a+ sin 5a Resposta : 4 sin 3a cos2 a
h) y = cos2 3x− cos2 x Resposta : − sin 4x sin 2x
i) y = sin2 5x− sin2 x Resposta : sin 6x sin 4x
j) y = cos2 p− sin2 q Resposta : cos (p+ q) cos (p− q)