Mostre que, se aₙ for convergente, então Σ (aₙ) é convergente.

Para mostrar que se a sequência \( a_n \) é convergente, então a série \( \Sigma a_n \) é convergente, precisamos considerar o que significa a convergência de uma sequência. 1. Definição de Convergência: Se \( a_n \) é convergente, existe um número real \( L \) tal que, para todo \( \epsilon > 0 \), existe um \( N \) tal que, para todo \( n > N \), temos \( |a_n - L| < \epsilon \). 2. Convergência da Série: A série \( \Sigma a_n \) é convergente se a soma das suas parcelas converge para um limite finito. 3. Condições: Se \( a_n \) converge para \( L \), então, para \( n \) suficientemente grande, \( a_n \) se torna arbitrariamente próximo de \( L \). Se \( L \neq 0 \), a soma das parcelas não pode convergir, pois as parcelas não estão se aproximando de zero. 4. Caso \( L = 0 \): Se \( a_n \) converge para 0, precisamos mostrar que a série \( \Sigma a_n \) converge. Para isso, podemos usar o teste da série de Cauchy ou o teste da comparação, dependendo do comportamento de \( a_n \). 5. Conclusão: Portanto, se \( a_n \) é convergente e \( L \neq 0 \), a série \( \Sigma a_n \) diverge. Se \( L = 0 \), precisamos de mais informações sobre a taxa de decaimento de \( a_n \) para concluir sobre a convergência da série. Assim, a afirmação não é verdadeira em geral, pois a convergência de \( a_n \) não garante a convergência da série \( \Sigma a_n \) a menos que \( a_n \) converja para 0 e satisfaça condições adicionais.