EP3-MD1-gabarito (2)

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EP3 – Gabarito – Métodos Determińısticos I
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 3 do Caderno Didático.
Atenção!!!
Esta é o gabarito do EP3. Não estude apenas por ele, antes, leia a versão de questões do EP, que
traz uma breve explicação de alguns pontos importantes da teoria desta aula. E lembre-se sempre
que, antes de consultar os gabaritos das questões, você deve tentar resolvê-las!
Exerćıcio 1 Determine se as proposições compostas abaixo são verdadeiras ou falsas:
(a) O Brasil fica na América do Sul e a Inglaterra fica na África.
(b) A China fica na América do Sul ou o Canadá fica na América do Norte.
(c) A Argentina fica na América do Sul ou o Chile fica na América do Sul.
(d) A Colômbia fica na África e Portugal fica na América do Sul.
(e) Cuba fica na Europa ou o Japão fica na América do Norte.
Solução:
(a) Falsa.
O conectivo é a conjunção “e”. Logo, uma proposição composta é verdadeira se ambas as
proposições envolvidas são verdadeiras.
Como neste item, a segunda proposição envolvida é falsa segue que a proposição composta é
falsa.
(b) Verdadeira.
O conectivo é a disjunção “ou”. Logo, para que uma proposição composta seja verdadeira basta
que uma das proposições envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, a segunda proposição envolvida é verdadeira, segue que a proposição composta
é verdadeira.
(c) Verdadeira.
O conectivo é a disjunção “ou”. Logo, para que uma proposição composta seja verdadeira basta
que uma das proposições envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, as duas proposições envolvidas são verdadeiras, segue que a proposição com-
posta é verdadeira.
(d) Falsa.
O conectivo é a conjunção “e”. Logo, uma proposição composta é verdadeira se ambas as
proposições envolvidas são verdadeiras.
Como neste item, as duas proposições envolvidas são falsas segue que a proposição composta é
falsa.
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(e) Falsa.
O conectivo é a disjunção “ou”. Logo, para que uma proposição composta seja verdadeira basta
que uma das proposições envolvidas seja verdadeira.
Como neste item, as duas proposições envolvidas são falsas, segue que a proposição composta é
falsa.
Exerćıcio 2 Qual a negação das proposições abaixo:
(a) p: Hoje é sexta-feira
(b) q: O meu pai era paulista
(c) r: Amanhã não será sábado
(d) Antes de pensarmos em quantificadores ou coisa do tipo, tente, usando apenas sua intuição
lógico-matemática, dizer qual é a negação da proposição abaixo:
s: Ninguém é forte o bastante para me deter!
Antes que você diga que
∼ s: Todo mundo é forte o bastante para me deter!
lembre-se de que a negação é o oposto lógico, não o antônimo no português. Tente pensar o
que precisa acontecer para que eu esteja mentindo ao fazer a afirmação p.
Solução:
(a) ∼ p: Hoje não é sexta-feira
(b) ∼ q: O meu pai não era paulista
(c) ∼ r: Amanhã será sábado
(d) Ora, para que s seja falso, isto é, para que seja mentira que Ninguém é forte o bastante
para me deter!, basta que exista pelo menos uma pessoa forte o bastante para me deter!
Assim,
∼ s: Existe alguma pessoa forte o bastante para me deter!
ou ainda
∼ s: Alguém é forte o bastante para me deter!
Entendido?
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Exerćıcio 3 Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim,
(A) Estudo e fumo.
(B) Não fumo e surfo.
(C) Não velejo e não fumo.
(D) Estudo e não fumo.
(E) Fumo e surfo.
Observação: Este exerćıcio é uma questão da prova da ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica – Aneel – 2004
– Esaf) e é uma questão t́ıpica em provas de racioćınio lógico. Como exemplo, vamos resolvê-la.
Solução: Nesse tipo de questão, primeiro nos dão algumas proposições como “fatos”, isto é, pro-
posições que devemos considerar que são verdadeiras. Chamamos a essas proposições de premissas.
Neste caso, as premissas são as seguintes:
Premissas:
Surfo ou estudo.
Fumo ou não surfo.
Velejo ou não estudo.
Não velejo.
Geralmente as premissas são formadas por proposições compostas (como as três primeiras acima).
A partir delas temos que descobrir quais proposições simples são verdadeiras e quais são falsas. Ado-
taremos o seguinte método para resolver estas questões:
1) Escrever as proposições simples e escolher uma letra diferente para designar cada proposição:
Proposições:
s: surfo
e: estudo
f : fumo
v: velejo
Nosso objetivo é determinar quais dessas proposições simples são verdadeiras e quais são falsas.
2) Escrever as premissas usando as letras que designam as proposições e os śımbolos dos conectivos
lógicos (o śımbolo de “e” é ∧ e o de “ou” é ∨. A negação é representada por ∼.)
Premissas:
s ∨ e
f ∨ ∼ s
v ∨ ∼ e
∼ v
3) Analisar as premissas para descobrir quais proposições simples são verdadeiras e quais são falsas:
Começando pela última premissa, sabemos que é verdade ∼ v (pois isso foi dado como premissa).
Dáı podemos concluir que v é falso (dizer que é verdade que não velejo é o mesmo que dizer que é
falso que velejo).
Agora avaliando a penúltima premissa, sabemos que v∨ ∼ e é verdade. Mas isso significa que pelo
menos uma das duas proposições elementares envolvidas deve ser verdadeira (pois ∨ significa “ou”).
Já sabemos que v é falsa (conclúımos isso acima). Logo, ∼ e tem que ser verdadeiro. Dáı podemos
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concluir que e é falso.
Sabendo que e é falso, e olhando a primeira premissa, descobrimos que s é verdadeiro (pois se s
fosse falso, a premissa não seria verdadeira, e premissas sempre são verdadeiras).
Finalmente, a segunda premissa nos garante que f é verdadeiro (pois já vimos que ∼ s é falso).
Observando as alternativas da questão, conclúımos que a correta é a letra E: surfo e fumo.
Exerćıcio 4 Leio jornal ou passeio. Passeio ou não como fora. Como fora ou cozinho. Leio jornal
e não cozinho.
(a) Escreva as proposições simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa)
e designe para cada uma delas uma letra diferente.
(b) Usando os śımbolos lógicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas
no enunciado.
(c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos parênteses abaixo:
( ) Leio jornal.
( ) Passeio.
( ) Como fora.
( ) Cozinho.
Solução:
(a) Proposições:
l: leio jornal;
p: passeio;
f : como fora;
c: cozinho;
(b) Premissas:
1) l ∨ p (Leio jornal ou passeio.)
2) p∨ ∼ f (Passeio ou não como fora. )
3) f ∨ c (Como fora ou cozinho.)
4) l∧ ∼ c (Leio jornal e não cozinho.)
(c) Pela última premissa já sabemos que l é verdadeira e c é falsa, isto é, leio jornal e não cozinho.
Pela terceira premissa, como já descobrimos que c é falsa, podemos deduzir que f é verdadeira,
ou seja, como fora.
Pela segunda premissa, como f é verdadeira, segue que ∼ f é falsa, o que implica que p tem
que ser verdadeira (ou a premissa seria falsa). Portanto, passeio.
Repare que mesmo sem usar a primeira premissa já sabemos tudo o que desejamos:
(V) Leio jornal.
(V) Passeio.
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(V) Como fora.
(F) Cozinho.
Exerćıcio 5 Sou brasileiro ou sou engenheiro. Sou magro ou não sou brasileiro. Sou engenheiro ou
sou advogado. Não sou magro ou não sou engenheiro. Sou advogado ou sou pedreiro. Não sou
magro e não sou pedreiro.
(a) Escreva as proposições simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa)
e designe para cada uma delas uma letra diferente.
(b) Usando os śımbolos lógicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas
no enunciado.(c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos parênteses abaixo:
( ) Sou brasileiro.
( ) Sou engenheiro.
( ) Sou magro.
( ) Sou advogado.
( ) Sou pedreiro.
(d) Para resolver o item anterior você precisou usar todas as premissas?
Solução:
(a) Proposições:
b: sou brasileiro;
e: sou engenheiro;
m: sou magro;
a: sou advogado;
p: sou pedreiro;
(b) Premissas:
1) b ∨ e
2) m∨ ∼ b
3) e ∨ a
4) ∼ m∨ ∼ e
5) a ∨ p
6) ∼ m∧ ∼ p
(c) Pela última premissa já sabemos que m e p são falsas.
Pela quinta premissa, como já descobrimos que p é falsa, podemos deduzir que a é verdadeira.
Pela segunda premissa, como m é falsa, segue que ∼ b é verdadeira, isto é, b é falsa.
Pela primeira premissa, como b é falsa, e tem que ser verdadeira.
Logo, temos:
(F) Sou brasileiro.
(V) Sou engenheiro.
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(F) Sou magro.
(V) Sou advogado.
(F) Sou pedreiro.
(d) Não. Foram utilizadas somente as premissas 1, 2, 5 e 6.
Exerćıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 3} e B = {a, b}. Decida se são verdadeiras ou falsas
as proposições a seguir.
(a) 3 ∈ A e a ∈ A;
(b) 1 ∈ A ou b ∈ A;
(c) 3 ∈ A e {a} ⊂ B;
(d) 1 6∈ A ou {b} ⊂ B
Observação: Nesta questão continua-se a trabalhar com os conectivos “e”e “ou”, e se reve as relações de pertinência
e inclusão de conjuntos estudados na Semana 1.
Solução:
(a) Falsa
Como a proposição 3 ∈ A é verdadeira, a proposição a ∈ A é falsa e a proposição composta é
formada pelo conectivo “e”, segue que a proposição composta é falsa;
(b) Verdadeira
Como a proposição 1 ∈ A é verdadeira, a proposição b ∈ A é falsa e a proposição composta é
formada pelo conectivo “ou”, segue que a proposição composta é verdadeira;
(c) Verdadeira
Como a proposição 3 ∈ A é verdadeira, a proposição {a} ⊂ B é verdadeira e a proposição
composta é formada pelo conectivo “e”, segue que a proposição composta é verdadeira;
(d) Verdadeira
Como a proposição 1 6∈ A é falsa, a proposição {b} ⊂ B é verdadeira e a proposição composta
é formada pelo conectivo “ou”, segue que a proposição composta é verdadeira;
Exerćıcio 7 Considere os conjuntos A =
{
−1
2
, −3 , −1
6
}
, B =
{
−6 , −1
3
, 2
}
e C = {6 , 10}.
Escreva por extenso as proposições matemáticas abaixo, e decida se elas são verdadeiras ou falsas.
Justifique suas respostas.
(a) ∀ x ∈ A, 1/x ∈ B.
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(b) ∃ x ∈ A | 1/x ∈ B.
(c) ∃ x ∈ B | ∀ y ∈ C, y/x é ı́mpar.
(d) ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ C | ∃z ∈ A | x = yz.
Solução:
(a) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposição. “Para todo x que pertence ao conjunto A, tem-se que
1/x pertence ao conjunto B”. Desta forma, para que a proposição seja verdadeira, é necessário
que o inverso de todos os elemento do conjunto A pertençam ao conjunto B. Isto é falso, pois
existe um elemento que pertence ao conjunto A, tal que seu inverso não pertence ao conjunto
B. De fato, o elemento x = −1/2 ∈ A é tal que que 1/x = −2 6∈ B. Para mostrarmos que a
proposição é falsa, observe que bastou encontrarmos um elemento de A, o elemento x = −1/2,
tal que seu inverso não pertence ao conjunto B.
(b) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposição. “Existe x que pertence ao conjunto A, tal que 1/x
pertence no conjunto B”. Para que a proposição acima seja verdadeira, devemos encontrar,
pelo menos, um elemento do conjunto A, de modo que 1/x pertença ao conjunto B. Isto
é verdadeiro, pois, para x = −3 ∈ A, temos que
1
x
= −1
3
∈ B. Para mostrarmos que a
proposição é verdadeira, observe que precisamos pegar apenas um dos elementos de A e mostrar
que o inverso dele é um elemento de B.
(c) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposição. “Existe x que pertence ao conjunto B, tal que para
todo y que pertence no conjunto C, temos que y/x é ı́mpar”. Para que a proposição acima seja
verdadeira, devemos encontrar, pelo menos, um elemento do conjunto B, de modo que para
todo elemento y do conjunto C, o quociente y/x é um número ı́mpar. Isto é verdadeiro. Os
elementos do conjunto C são: 6 , 10. Se tomarmos o elemento x = 2 ∈ B , para y = 6 ∈ C,
temos que
y
x
=
6
2
= 3 é ı́mpar e para y = 10 ∈ C, temos que
y
x
=
10
2
= 5 é ı́mpar.
(d) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposição. “Para todo x que pertence ao conjunto B, existe
y que pertence no conjunto C e existe z que pertence no conjunto A, tal que x = yz”.
Para que a proposição acima seja verdadeira, para todo elemento x do conjunto B, deve-
mos encontrar, pelo menos, um elemento y do conjunto C e, pelo menos, um elemento z do
conjunto A, tal que x seja o produto de y com z. Isto é falso. Os elementos do conjunto
A são: −1
2
, −3 , −1
6
, os elementos do conjunto B são: −6 , −1
3
, 2 e os elementos
do conjunto C são: 6 , 10. Se tomarmos, por exemplo, o elemento x = −6 ∈ B , te-
mos que −6 6= 6 ×
(
−1
2
)
= −3, −6 6= 6 × (−3) = −18, −6 6= 6 ×
(
−1
6
)
= −1,
−6 6= 10×
(
−1
2
)
= −5, −6 6= 10× (−3) = −30, −6 6= 10×
(
−1
6
)
= −5
3
. Para negarmos
a proposição, observe que bastou encontramos um elemento de B, o elemento x = 6, tal que
todas as combinações posśıveis de produtos envolvendo todos os elementos de C e todos os
elementos de A, onde uma das parcelas é um elemento de C e a outra é um elemento de A,
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nunca gera x = −6 como resultado.
Exerćıcio 8 Escreva por extenso as proposições matemáticas abaixo, e decida se são verdadeiras ou
falsas. Justifique suas respostas.
(a) ∀x ∈ Q; x > 1
(b) ∃y ∈ Z | y + 1 = −3
(c) ∃z ∈ Z | z + 3 = 1/3
(d) ∀m ∈ N; m+ 1 > 3
(e) ∀p ∈ Z; ∃q ∈ Z | p+ q = 0
(f) ∃q ∈ Z | ∀p ∈ Z, p+ q = 0
Solução:
(a) Para todo x racional, x é maior que 1. Falso, pois -1 é racional e não é maior que 1.
(b) Existe y inteiro tal que y + 1 = −3. Verdadeiro: considere y = −4.
(c) Existe z inteiro tal que z +3 = 1/3. Falso: para que z +3 = 1/3, z teria que ser igual a −8/3,
que não é um número inteiro.
(d) Para todo m natural, m+ 1 > 3. Falso: para m = 1, m+ 1 = 2 < 3.
(e) Para todo p inteiro, existe q inteiro tal que p+ q = 0. Verdadeiro. Para cada p inteiro, podemos
tomar q = −p, então teremos p+ q = 0 (e q será inteiro também).
(f) Existe q inteiro tal que para todo p inteiro p+ q = 0. Falso, pois existe, por exemplo, q = 2 ∈ Z
tal que nem todo elemento p de Z satisfaz p + 2 = 0. Considere, por exemplo, p = −3 ∈ Z.
Note que escolhendo um outro valor para q ∈ Z, sempre se conseguirá encontrar p ∈ Z tal que
a soma p+ q não seja igual a zero.
Observação para os itens (e) e (f): é muito importante perceber que o simples fato de ter mudado a
ordem dos quantificadores nos dois últimos itens, muda totalmente o significado das proposições. Em
(e) perguntávamos se para cada p existe um q que “o anula”, já no item seguinte, perguntávamos
se existe um mesmo q que “anula” todo e qualquer p.
Exerćıcio 9 Escreva a negação das afirmativas abaixo:
(a) Toda casa tem um dono.
(b) Existe gato que gosta de água.
(c) Existe cachorro que não persegue gato.
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(d) Toda menina baiana tem um jeito que Deus dá.
(e) Todo boteco que se preza diz que não vende fiado.
Solução:
(a) Existe casa que não tem um dono.
(b) Todo gato não gosta de água (ou nenhum gato gosta de água, ou, ainda, não existe gato que
gosta de água).
(c) Todo cachorro persegue gato.
(d) Existe menina baiana que não tem um jeito que Deus dá.
(e) Existe boteco que se preza que não diz que não vende fiado.
Exerćıcio 10 O conjunto A∪B pode ser descrito, por uma propriedade satisfeita por seus elementos,
como
A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Descreva, por meio de uma propriedade satisfeita por seus elementos (isto é, na forma {x|...}), os
conjuntos
(a) A ∩B
(b) A−B
(c) A ∩B ∩ C
(d) (A ∪B)− C
Solução: Descrevendo cada conjuntopor meio de uma propriedade, temos
(a) A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
(b) A−B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B} ou ainda A−B = {x|x ∈ A∧ ∼ (x ∈ B)}
(c) A ∩B ∩ C = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}
(d) (A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x /∈ C} ou ainda
(A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B)∧ ∼ (x ∈ C)}
Exerćıcio 11 A proposição “A ⊂ B”pode ser escrita, utilizando quantificadores, como
“∀x ∈ A, x ∈ B”. Note que as duas expressões são equivalentes. Escreva, utilizando quantifi-
cadores, expressões equivalentes a
(a) A 6⊂ B
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(b) A ⊂ (B ∪ C)
(c) A−B = ∅
Solução: Descrevendo cada conjunto por meio de uma propriedade, temos
(a) A 6⊂ B equivale a ∃x ∈ A|x /∈ B
(b) A ⊂ (B ∪ C) equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ∨ x ∈ C
(c) A−B = ∅ equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ou ainda @x ∈ A|x /∈ B
Exerćıcio 12 Considere os conjuntos A = {7, 8} e B = {9, 10}.
(a) Escreva por extenso a proposição abaixo e decida se ela é verdadeira ou falsa, justificando
cuidadosamente sua resposta.
p : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = a+ 2.
(b) Escreva por extenso a proposição abaixo e decida se ela é verdadeira ou falsa, justificando
cuidadosamente sua resposta.
q : ∃b ∈ B | ∀a ∈ A, b = a+ 2.
Solução:
(a) Vamos, primeiramente, escrever a proposição p por extenso.
p : Para todo a pertencente a A, existe b pertencente a B tal que b é igual a a mais dois.
A proposição p é verdadeira.
Para a = 7, tomamos b = 9 e temos que b = a+ 2.
Para a = 8, tomamos b = 10 e temos que b = a+ 2.
(b) Vamos, primeiramente, escrever a proposição p por extenso.
q : Existe b pertencente a B tal que, para todo a pertencente a A, b é igual a a mais dois.
A proposição q é falsa.
Para b = 9, tomamos a = 8, de modo que b 6= a+ 2.
Para b = 10, tomamos a = 7, de modo que b 6= a+ 2.
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Exerćıcio 13 Vimos que uma sequência da forma
∃x ∈ X|p(x)
é falsa apenas se
∀x ∈ X,∼ p(x),
isto é, é falso que “algum x em X tal que p(x) é verdadeiro”se “para todo x em X, p(x) for falso”.
Da mesma forma,
∀x ∈ X, p(x)
é falsa apenas se
∃x ∈ X| ∼ p(x),
isto é, é falso que “para todo x em X, p(x) é verdadeira”se “existe algum x em X para o qual p(x)
é falsa”.
Juntando as informações acima, escreva a negação das sentenças abaixo. Escreva com palavras, sem
utilizar simbologia lógico-matemática.
(a) Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o cartão.
(b) Algum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou com cartão.
(c) Todo cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso próprio.
(d) Algum cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso próprio.
(e) Todos os clientes que compraram ontem pagaram em cartão ou existe algum cliente que comprou
ontem que tenha comprado um presente.
(f) Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro e todos os clientes
que compraram ontem compraram um presente.
Nos itens acima, observe que a expressão “que comprou ontem”determina o conjunto de clientes
dos quais se fala, ou seja, fazem o papel do conjunto “X”nas expressões “∃x ∈ X”e “∀x ∈ X”.
Assim, por exemplo, a expressão, “Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o
cartão”pode ser pensada como “∀c ∈ X, ‘c comprou ontem’ ou ‘c pagou com o cartão’ ”; pensar
assim ajudará a escrever as negações.
Solução:
(a) Algum cliente que comprou ontem, não pagou em dinheiro e não pagou com o cartão.
Pode-se chegar a esta conclusão da seguinte forma:
Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o cartão.
m
∀c ∈ X, ‘c pagou em dinheiro’ ou ‘c pagou com o cartão’
Assim, a negação será
∃c ∈ X | ∼ (‘c pagou em dinheiro’ ou ‘c pagou com o cartão’)
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m
∃c ∈ X | ∼ (‘c pagou em dinheiro’) e ∼ (‘c pagou com o cartão′)
m
Algum cliente que comprou ontem, não pagou em dinheiro e não pagou com o cartão
(b) Todo cliente que comprou ontem não pagou em dinheiro e não pagou com cartão
Pode-se chegar a esta conclusão da seguinte forma:
Algum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou com cartão.
m
∃c ∈ X | ‘c pagou em dinheiro’ ou ‘c pagou com o cartão’
Assim, a negação será
∀c ∈ X,∼ (‘c pagou em dinheiro’ ou ‘c pagou com o cartão’)
m
∀c ∈ X,∼ (‘c pagou em dinheiro’) e ∼ (‘c pagou com o cartão’)
m
Todo cliente que comprou ontem não pagou em dinheiro e não pagou com o cartão
(c) Algum cliente que comprou ontem não adquiriu um presente ou não adquiriu um pro-
duto para uso próprio
Pode-se chegar a esta conclusão da seguinte forma:
Todo cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso próprio
m
∀c ∈ X, ‘c adquiriu um presente’ e ‘c adquiriu um produto para uso próprio’
Assim, a negação será
∃c ∈ X | ∼ (‘c adquiriu um presente’ e ‘c adquiriu um produto para uso próprio’)
m
∃c ∈ X | ∼ (‘c adquiriu um presente’) ou ∼ (‘c adquiriu um produto para uso próprio’)
m
Algum cliente que comprou ontem não adquiriu um presente ou não adquiriu um produto para uso próprio
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(d) Todo cliente que comprou ontem não adquiriu um presente ou não adquiriu um pro-
duto para uso próprio
Pode-se chegar a esta conclusão da seguinte forma:
Algum cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso próprio
m
∃c ∈ X | ‘c adquiriu um presente’ e ‘c adquiriu um produto para uso próprio’
Assim, a negação será
∀c ∈ X,∼ (‘c adquiriu um presente’ e ‘c adquiriu um produto para uso próprio’)
m
∀c ∈ X,∼ (‘c adquiriu um presente’) ou ∼ (‘c adquiriu um produto para uso próprio’)
m
Todo cliente que comprou ontem não adquiriu um presente ou não adquiriu um produto para uso próprio
(e) Algum cliente que comprou ontem não pagou em cartão e todo cliente que comprou
ontem, não comprou um presente
Para chegar a esta conclusão, podemos denotar
p : ‘Todos os clientes que compraram ontem pagaram em cartão’
q : ‘Existe algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente.’
Queremos escrever a negação de “p ou q”, que será “∼ p e ∼ q”. Temos
∼ p : ‘Algum cliente que comprou ontem não pagou em cartão’
∼ q : ‘Todo cliente que comprou ontem, não comprou um presente.’
Assim, a negação de “ ‘Todos os clientes que compraram ontem pagaram em cartão’ ou ‘existe
algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente’ ”é “ ‘Algum cliente que
comprou ontem não pagou em cartão’ e ‘Todo cliente que comprou ontem, não comprou um
presente’ ”.
(f) Todo cliente que comprou ontem não pagou em dinheiro ou algum cliente que comprou
ontem não comprou um presente
Para chegar a esta conclusão, podemos denotar
p : ‘Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro’
q : ‘Todos os clientes que compraram ontem compraram um presente.’
Queremos escrever a negação de “p e q”, que será “∼ p ou ∼ q”. Temos
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∼ p : ‘Todo cliente que comprou ontem não pagou em dinheiro’
∼ q : ‘Algum cliente que comprou ontem não comprou um presente.’
Assim, a negação de “ ‘Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em
dinheiro’ e ‘todos os clientes que compraram ontem compraram um presente’ ”é “ ‘Todo cliente
que comprou ontem não pagou em dinheiro’ ou ‘algum cliente que comprou ontem não comprou
um presente’ ”.
Complemento: Expressões em função de uma variável
Muitas vezes, precisamos representar expressões de grandezas1 que dependem de uma segunda gran-
deza. Dizemos que tal expressão da primeira grandeza está escrita em função da segunda grandeza.
Vejamos alguns exemplos abaixo.
Exemplos:
i. A idade i de João é o dobro da idade m de Maria: i = 2m
ii. O preço t do tênis excede em 30 reais o preço c da chuteira: t = c+ 30.
iii. O preço de cada cópia é R$0,20 quando sãofeitas até 100 cópias e cai para R$0,15 quando são
feitas mais de 100 cópias. Assim, o preço total t é dado em função da quantidade q de cópias
por
• t = 0,20 q, se q ≤ 100
• t = 0,15 q, se q > 100
iv. O número n de unidades compradas acima de 100 é dado por n = c− 100, onde c é o número
de unidades compradas, supondo c > 100.
v. Minha cota c de compras é metade do que exceder 10 toneladas na produção de p toneladas de
feijões: c =
1
2
(p− 10), supondo que p > 10.
vi. O preço de cada cópia é R$0,20 quando são feitas até 100 cópias. Após isso, apenas as cópias
acima da 100 custam R$0,15 quando. Assim, o preço total t é dado em função da quantidade
q de cópias por
• t = 0,20 q, se q ≤ 100
• t = 0,20 · 100 + 0,15 (q − 100), se q > 100
1Utilizamos aqui a palavra grandeza para expressar qualquer informação ou propriedade que possa ser quantificada
ou medida e que tenha valor um número, seja ele natural, inteiro, racional ou real. Como exemplos temos: um
preço, um comprimento, um peso, uma idade (que pode ser um número inteiro ou não, dependendo do contexto do
problema), uma quantidade, uma taxa, etc.
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Métodos Determińısticos I EP3 15
Muitas vezes, saber trabalhar com expressões escritas em função de uma variável é fundamental para
resolvermos um problema. Vejamos exemplos:
Exemplo: Dois terços de um grupo de pessoas usam condicionador ao lavar os cabelos. O número
dos que usam condicionador é 32 pessoas a mais do que os que não usam. Quantas pessoas há no
grupo?
Solução: Vamos chamar de n o número de pessoas no grupo. Temos então que:
• Pessoas que usam condicionador:
2
3
· n =
2n
3
.
• Pessoas que usam condicionador: n− 2n
3
=
3n− 2n
3
=
n
3
.
• O número dos que usam condicionador é 32 pessoas a mais do que os que não usam:
2n
3
=
n
3
+ 32,
logo
2n
3
− n
3
= 32
e então
2n− n
3
= 32,
ou ainda
n
3
= 32.
Com isso,
n = 32 · 3− 96.
Exemplo: Para a sua produção mensal de sabonetes, as Fábricas Paranapiacabenses possuem um
custo fixo de R$20.000, e mais um custo de R$2,00 por unidade produzida. A fábrica vende cada
unidade do sabonete por R$5,00. Nas 10.000 primeiras unidades vendidas, a fábrica recolhe R$0,50
de imposto por unidade e, nas unidades seguintes, R$1,00 real por unidade. O imposto aumenta
após esta produção por conta de um mecanismo fiscal para evitar que alguém domine o mercado
local.
Vamos expressar o L lucro da fábrica em função da quantidade q de sabonetes produzidas no mês,
supondo que q ≤ 10.000.
• Custo fixo: 20.000.
• Custo variável com unidades (dois reais por unidade): 2q.
• Imposto recolhido: 0,50 q, já que q ≤ 10.000
• Valor arrecadado com a venda dos sabonetes: 5 q
Com isso, para q ≤ 10.000,
L = 5q − 2q − 0,5 q − 20.000 = 2,5q − 20.000.
Vamos agora expressar o L lucro da fábrica em função da quantidade q de sabonetes produzidas no
mês, supondo que q > 10.000.
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Métodos Determińısticos I EP3 16
• Custo fixo: 20.000.
• Custo variável com unidades (dois reais por unidade): 2q.
• Imposto recolhido com as 10.000 primeiras unidades: 0,50 · 10.000 = 5.000
• Imposto recolhido com as unidades além da 10.000a: 1,00 · (q − 10.000) = q − 10.000
• Valor arrecadado com a venda dos sabonetes: 5 q
Com isso, para q > 10.000,
L = 5q − 2q − 5.000− (q − 10.000)− 20.000
= 5q − 2q − 5.000− q + 10.000− 20.000
= 2q − 15.000.
Vamos determinar a quantidade produzida para que a fábrica não tenha nem lucro e nem prejúızo.
Isso corresponde a igualar L = 0. Não sabemos se isso ocorre antes ou depois das 10.000 unidades
produzidas, por isso temos que trabalhar com as duas possibilidades:
2,5q − 20.000 = 0, com q ≤ 10.000 ou 2q − 15.000 = 0, com q > 10.000.
Resolvendo cada equação, temos
2,5q = 20.000, com q ≤ 10.000 ou 2q = 15.000, com q > 10.000
ou ainda
q =
20.000
2,5
= 8.000, com q ≤ 10.000 ou q =
15.000
2
= 7.500, com q > 10.000.
A única solução que corresponde à respectiva restrição de q é q = 8.000. O valor obtido na segunda
equação q = 7.500 não faz sentido, pois esta equação só vale quando q > 10.000.
Para determinar a quantidade produzida para que se tenha um lucro de R$30.000,00, teremos
2,5q − 20.000 = 30.000, com q ≤ 10.000 ou 2q − 15.000 = 30.000, com q > 10.000.
Resolvendo cada equação, temos
2,5q = 50.000, com q ≤ 10.000 ou 2q = 45.000, com q > 10.000
ou ainda
q =
50.000
2,5
= 20.000, com q ≤ 10.000 ou q =
45.000
2
= 22.500, com q > 10.000.
Assim, teremos q = 22.500.
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Métodos Determińısticos I EP3 17
Exerćıcio 14 Em geral, o preço de um produto ou serviço depende de alguma quantidade adqui-
rida/contratada. Por exemplo, o valor de sua conta de energia elétrica depende da quantidade de
energia consumida. Em muitos casos, há uma taxa fixa (assinatura, tarifa básica, etc.) e um valor
para cada unidade do produto ou serviço consumido.
Por exemplo, sua conta mensal de energia elétrica pode ter um valor fixo de 20 reais pelos serviços
de distribuição e mais 0,90 reais por kWh consumido. Neste caso, o valor da conta será dado em
reais por
20 + 0, 90x,
onde x é a quantidade de kWh de energia consumida no mês. Esta expressão é dita estar em função
da quantidade x de energia consumida.
(a) Para o envio de cargas, uma empresa de loǵıstica rodoviária cobra um valor fixo de 100 reais
mais 4 reais por quilo de carga. Determine a expressão, do preço do envio em função do peso
x, em quilos, da carga.
(b) Nas condições do item (a), quantos quilos precisam ser enviados para que o custo do envio seja
de 150 reais?
(c) Caso o valor fixo fosse de 200 reais e o preço por quilo fosse de 4 reais, qual seria a expressão
do preço do envio?
Para os itens (d) a (g), considere que a empresa de loǵıstica Rapidona cobre 100 reais fixos e mais 4
reais por quilo de carga, para envios de até 30 quilos, e 200 reais fixos e mais 4 reais por quilo para
envios com peso superior a 30 quilos. Isso pode ser explicado, por exemplo, pela necessidade de um
véıculo maior para cargas maiores.
(d) Qual o peso da carga que representa um custo de envio de 220 reais?
(e) Existe alguma algum peso de carga para o qual o envio custe 250 reais?
(f) Qual o peso da carga que representa um custo de envio de 350 reais?
(g) Suponha agora que a empresa de loǵıstica VeloXidade cobra um valor fixo de 250 reais para
qualquer peso e mais 3 reais por quilo de carga. Qual seria o peso de uma carga que custasse o
mesmo para ser enviada tanto pela Rapidona quanto pela VeloXidade?
Solução:
A solução em v́ıdeo desta questão está dispońıvel em https://youtu.be/ Rji06luBas
(a) Como no exemplo, o custo será dado por
100 + 4x.
(b) O custo será de 150 reais se, e somente se,
100 + 4x = 150,
ou, equivalentemente
4x = 150− 100⇔ 4x = 50⇔ x =
50
4
= 12,5.
Assim, a carga cujo custo de envio é de 150 reais pesa 12,5 quilos.
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https://youtu.be/_Rji06luBas
https://youtu.be/_Rji06luBas
Métodos Determińısticos I EP3 18
(c) Neste caso, a expressão seria de
200 + 4x.
Como diz o enunciado, para os itens seguintes vamos considerar que o custo de envio da Rapidona
é de
100 + 4x, para x 6 30;
200 + 4x, para x > 30 .
(d) Para um envio custar 220 reais, podemos ter
100 + 4x = 220 ou 200 + 4x = 220.
Temos que trabalhar com as duas possibilidades, pois não sabemos ainda o valor de x. As
possibilidades acima nos dão
100 + 4x = 220⇔ 4x = 120⇔ x = 30
ou
200 + 4x = 220⇔ 4x = 20⇔ x = 5.
Obviamente, é a primeira possibilidade a correta, pois a segunda ocorreria com uma carga de
5 quilos, o que não corresponderia à situação onde o custo é dado por 200 + 4x, pois isto só
ocorre com x > 30.
Assim, temos x = 30.
(e) Novamente, para um envio custar 250 reais, podemos ter
100 + 4x = 250 ou 200 + 4x = 250.
As possibilidades acima nos dão
100 + 4x = 250⇔ 4x = 150⇔ x = 37,5
ou
200 + 4x= 250⇔ 4x = 50⇔ x = 12,5.
Nenhuma das situações é posśıvel! Na primeira, teŕıamos um peso de 37,5 quilos, mas neste
caso a expressão so custo não seria mais 100 + 4x. Na segunda, como o peso é de 12,5 quilos,
a expressão utilizada não poderia ser 200 + 4x.
Portanto, o envio nunca custará 250 reais.
Outra forma de pensar é percebendo que o maior envio com custo dado por 100 + 4x é o de
30 quilos, logo com custo de 100 + 4 · 30 = 220 reais. A partir dáı, um envio com o custo
200 + 4x será dado por uma carga maior que 30 quilos, e custo maior que 200 + 4 · 30 = 320
reais. Portanto, nenhum envio custará 250 reais.
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Métodos Determińısticos I EP3 19
(f) Podemos ter
100 + 4x = 350 ou 200 + 4x = 350.
As possibilidades acima nos dão
100 + 4x = 350⇔ 4x = 250⇔ x = 62,5
ou
200 + 4x = 350⇔ 4x = 150⇔ x = 37,5.
Como o peso de 62,5 não corresponde à expressão 100 + 4, a primeira opção não é correta.
Assim, temos um peso de 37,5 quilos.
(g) O envio pela VeloXidade custará
250 + 3x
independentemente do valor de x. Assim, para que o envio pela Rapidona custe o mesmo que o
envio pela VeloXidade, podemos ter
100 + 4x = 250 + 3x ou 200 + 4x = 250 + 3x,
dependendo do valor do x.
As possibilidades acima nos dão
100 + 4x = 250 + 3x⇔ 4x− 3x = 250− 100⇔ x = 150
ou
200 + 4x = 250 + 3x⇔ 4x− 3x = 250− 200⇔ x = 50.
Não podemos ter x = 150 pois, neste caso, o custo do envio pela Rapidona não seria dado por
100 + 4x. Assim, o peso da carga cujo preço é igual no envio pelas duas empresas é 50 quilos.
Exerćıcio 15 Um quiosque de impressão pratica os seguintes preços para documentos simples im-
pressos/copiados em preto e branco em folhas de papel A4:
• Até 100 impressões/cópias: R$ 0,30 por impressão/cópia
• De 101 a 500 impressões/cópias: R$ 0,25 por impressão/cópia
• Acima de 500 impressões/cópias: R$ 0,20 por impressão/cópia
• Taxa de entrega: R$ 10,00 até 2000 impressões/cópias. Para um volume maior, favor consultar.
Considerando a taxa de entrega, temos os seguintes exemplos:
• 80 impressões: R$ 34,00
• 200 impressões: R$ 60,00
• 600 impressões: R$ 130,00.
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Métodos Determińısticos I EP3 20
(a) Escreva as expressões que representam os custos para n impressões/cópias, com taxa de entrega,
com n até 100, n entre 101 e 500, e n entre 501 e 2000. Note que todas as expressões estarão
em função de n.
(b) Quantas impressões foram encomendadas se o valor pago foi R$ 100,00, com a taxa de entrega?
(c) Quantas impressões foram encomendadas se o valor pago foi R$ 120,00, com a taxa de entrega?
(d) Uma pessoa quer encomendar impressões de um panfleto A4 em preto e branco para divulgar um
serviço. Para isso, dispõe de R$ 115,00 e gostaria de ter o maior número posśıvel de impressões.
Faria sentido esta pessoa pagar por 420 cópias? Em caso negativo, o que você sugeriria a ela?
Os preços são finais, não havendo qualquer possibilidade de negociação de preços mais baratos.
Solução:
(a) Com base nos preços unitários dados por faixa de quantidade e na taxa fixa de entrega de
R$10,00, temos as seguintes expressões:
• Até 100 impressões/cópias: 10 + 0,30n
• De 101 a 500 impressões/cópias: 10 + 0,25n
• Acima de 500 impressões/cópias: 10 + 0,20n
(b) Se o valor pago em uma encomenda foi R$ 100,00, podemos ter as possibilidades:
• Até 100 impressões/cópias:
10 + 0,30n = 100 ∴ 0,30n = 100− 10 ∴ 0,30n = 90
multiplicando por 10, temos
3n = 900 ∴ n =
900
3
= 300,
o que não é posśıvel, pois estamos supondo n < 100.
• De 101 a 500 impressões/cópias:
10 + 0,25n = 100 ∴ 0,25n = 100− 10 ∴ 0,25n = 90
multiplicando por 4, temos
n = 360,
que é um valor dentro da faixa que estamos supondo, isto é, 100 < n 6 500.
• Acima de 500 impressões/cópias:
10 + 0,20n = 100 ∴ 0,20n = 100− 10 ∴ 0,20n = 90
multiplicando por 5, temos
n = 450,
o que não é posśıvel, pois estamos supondo n > 500.
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Métodos Determińısticos I EP3 21
Assim, foram feitas 360 impressões/cópias.
(c) Se o valor pago em uma encomenda foi R$ 120,00, podemos ter as possibilidades:
• Até 100 impressões/cópias:
10 + 0,30n = 120 ∴ 0,30n = 120− 10 ∴ 0,30n = 110
multiplicando por 10, temos
3n = 1100 ∴ n =
1100
3
≡ 366,666...,
o que não é posśıvel, pois estamos supondo n < 100. Além disso, este valor sequer é
inteiro!
• De 101 a 500 impressões/cópias:
10 + 0,25n = 120 ∴ 0,25n = 120− 10 ∴ 0,25n = 110
multiplicando por 4, temos
n = 440,
que é um valor dentro da faixa que estamos supondo, isto é, 100 < n 6 500.
• Acima de 500 impressões/cópias:
10 + 0,20n = 120 ∴ 0,20n = 120− 10 ∴ 0,20n = 110
multiplicando por 5, temos
n = 550,
que é um valor dentro da faixa que estamos supondo, n > 550.
Assim, podem ter sido feitas 440 ou 550 impressões.
(d) Você deve ter percebido no item anterior que quantidades diferentes de impressões/cópias po-
dem resultar em um mesmo valor. Isto acontece pois, ao aumentar um pouco a quantidade de
impressões/cópias, entramos em uma nova faixa de preço, mais interessante. Isto acontece, na
prática, com bastante frequência; quem nunca se deparou com uma promoção do tipo “acima
de 200 reais em compras, ganhe 10% de desconto”? Dáı, você que estava com 191 reais em
compras, pegou mais um par de meias só para chegar a 201 reais em compras e pagar, com o
desconto, 180,90 reais.
Raramente, pelo menos ao se considerar o varejo, se trabalha com preços escalonados, cujo
desconto incide apenas sobre o que ultrapassa uma faixa. Seria algo do tipo “acima de 200
reais em compras, ganhe 10% de desconto sobre o que exceder os 200 reais”... que acabaria
gerando muita confusão e tornando o anúncio da promoção muito complicado e pouco atrativo.
Por outro lado, há uma situação real de aĺıquotas escalonada: o imposto de renda, em que a
aĺıquota aumenta a cada faixa de rendimentos, sendo aplicada somente àquela faixa.
Voltemos ao problema agora...
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Métodos Determińısticos I EP3 22
Uma encomenda de 420 cópias resultaria no preço de 10 + 0,25 · 420 = 10 + 105 = 115 reais.
Porém, esta não é a única quantidade que resulta neste preço. Acima de 500 impressões/cópias,
temos
10 + 0,20n = 115 ∴ 0,20n = 105 ∴ n = 525.
Assim, não vale a pena pagar por 420 cópias, caso você queira a maior quantidade posśıvel, pois
encomendar 525 cópias teria o mesmo custo.
Exerćıcio 16 Para esta questão, considere as seguintes definições:
• O lucro obtido com uma venda é o preço de venda menos os custos envolvidos (custo de
fabricação ou aquisição junto a um fornecedor, impostos, etc).
• O ponto de equiĺıbrio financeiro (ou break-even, como é muito usual se dizer) é atingido
quando não há lucro ou prejúızo em uma determinada transação ou atividade.
Após um levantamento sobre o processo de fabricação e venda de um determinado produto, um
fabricante percebeu que:
• Um terço do preço do preço pelo qual vende seus produtos às lojas é formado por impostos,
isto é, deve ser recolhido para o governo;
• O custo com matérias-primas, por unidade do produto, é de R$10,00;
• O pagamento de mão de obra, maquinário e instalações representa um gasto fixo mensal,
independente da quantidade fabricada, de R$100.000,00.
(a) Determine a expressão do lucro L com a fabricação e venda de um produto, considerando apenas
o custo com matérias primas e impostos, tendo como variável o preço P de venda às lojas.
(b) Determine a expressão que representa o lucro Lt mensal obtido com a fabricação e venda de
N unidades mensais do produto, vendidas às lojas pelo preço P . Para este lucro, considere os
gastos que incidem sobre cada unidade (matérias-primas e impostos) e os gastos fixos.
(c) Para que o ponto de equiĺıbrio financeiro (break-even) seja atingido, quantas unidades precisam
ser produzidas em um mês, considerando-seque todas serão vendidas?
Solução:
(a) Considerando a venda de apenas um produto, e sendo P seu preço de venda às lojas, pelo
primeiro item informado acima, os impostos correspondem a
1
3
P . Pelo segundo item, o custo
com matérias primas é de R$10,00. Com isso, o custo total é de C =
P
3
+10, logo, o lucro, em
reais, obtido na venda de um produto é dado por
L = P −
(
P
3
+ 10
)
= P − P
3
− 10 =
2P
3
− 10.
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Métodos Determińısticos I EP3 23
(b) A venda de N unidades do produto pelo preço P resultará numa receita de Rt = N · P , e em
custos de Ct = N ·
(
P
3
+ 10
)
+ 100.000 (impostos e custo por unidade, adicionados do custo
fixo). Assim, o lucro total será de
Lt = Rt − Ct = NP −
[
N ·
(
P
3
+ 10
)
+ 100.000
]
= NP − NP
3
− 10N − 100.000.
∴ Lt =
2NP
3
− 10N − 100.000.
(c) No ponto de equiĺıbrio financeiro, não há lucro ou prejúızo, isto é, Lt = 0. Mas
Lt = 0 ⇔ 2NP
3
− 10N − 100.000 = 0
⇔ N
(
2P
3
− 10
)
= 100.000
⇔ N =
100.000
2P
3
− 10
⇔ N =
100.000
2P−30
3
⇔ N =
300.000
2P − 30
Assim, será necessário produzir
300.000
2P − 30
unidades. Note que isto só faz sentido para P > 15.
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