Aula 2 - Sinais senoidais

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Disciplina: Circuitos Elétricos 
Aula: Sinais senoidais 
Professor: Willi Gonçalez Osaka 
E-mail: willi.osaka@ifpr.edu.br 
 
Referências Bibliográficas: 
MENDONÇA, Roberlam Gonçalves de; SILVA, Rui Vagner Rodrigues. Eletricidade Básica. 
Curitiba: Editora do Livro Técnico, 2010. 
 
Objetivos: 
• Compreender as características dos sinais senoidais: valor de pico; pico a pico; 
período; frequência; velocidade angular; fase e defasagem. 
• Conhecer as 4 formas de representar a tensão/corrente senoidal: gráfica; 
matemática; diagrama fasorial; número complexo. 
• Representar a tensão e corrente senoidal adequadamente. 
• Resolver circuitos puramente resistivos com tensão e corrente senoidal. 
• Saber o que o valor eficaz e valor de pico, e qual a relação matemática entre 
eles. 
 
Conteúdo: 
• Análise do sinal senoidal e representação gráfica 
• Representação matemática. 
• Representação com diagrama fasorial. 
• Representação com números complexos. 
• Circuitos em CA. 
• Valor eficaz. 
• Exemplos. 
 
 
I. SINAL CONTÍNUO X SINAL ALTERNADO 
O sinal contínuo (C.C. – Corrente contínua ou D.C. – Direct current) tem sempre a mesma 
polaridade e seu valor pode ser constante ou variável ao longo do tempo. 
 
 
O sinal alternado (C.A. – Corrente alternada ou A.C. – Alternate current) varia de 
polaridade e valor ao longo do tempo. 
 
 
 
 
 
II. ANÁLISE DO SINAL SENOIDAL 
A. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Uma tensão ou corrente senoidal pode ser representada graficamente no domínio 
temporal e angular. 
 
1. Valor de pico e valor de pico a pico 
• Valor de pico (𝑉"): amplitude máxima (positiva ou negativa) que a tensão 
senoidal pode atingir. 
• Valor de pico a pico (𝑉""): amplitude total entre o máximo positivo e negativo. 
2. Período e frequência 
• Período (T): tempo que a função necessita para completar um ciclo. 
• Frequência (f): número de vezes que um ciclo se repete por segundo. 
𝑓 =
1
𝑇
 
Sendo: 
Período: segundos [s] 
Frequência: Hertz [Hz] 
3. Frequência angular 
A frequência angular ou velocidade angular (w) é a variação do ângulo “q” em função do 
tempo. 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
 
 
 
4. Fase inicial 
Quando o sinal senoidal não inicia seu ciclo no instante 𝑡 = 0	𝑠, dizemos que o sinal 
possui uma fase inicial 𝜃/. 
• Se o sinal senoidal inicia o seu ciclo adiantado: +𝜃/ (positivo). 
• Se o sinal senoidal inicial o seu ciclo atrasado: −𝜃/ (negativo) 
 
5. Defasagem 
A diferença de fase (Δ𝜃) entre dois sinais senoidais de mesma frequência é denominada 
defasagem. A medida é realizada tomando um dos sinais como referência. 
 
 
 
 
 
B. REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA 
A tensão e corrente elétrica senoidais podem ser representadas matematicamente por: 
𝑣(5) = 𝑉" ∙ sin(𝜔𝑡 + 𝜃/) 
Sendo: 
𝑉(5);𝑉<: valor da tensão no instante “t” ou ângulo “q” [V] 
𝑉": valor de pico ou amplitude máxima da tensão [V] 
w: frequência angular (radianos/s) 
𝜃/: fase inicial [graus ou radianos] 
 
 
 
 
 
 
C. REPRESENTAÇÃO COM DIAGRAMA FASORIAL 
Diagrama fasorial é outra forma de representar um sinal senoidal, por meio de um fasor 
(vetor girante) de amplitude igual ao valor de pico (𝑉"), girando no sentido anti-horário, com 
velocidade angular (w). 
 
 
 
 
 
D. REPRESENTAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS 
Uma forma de representar o sinal senoidal é por meio dos números complexos, usando 
apenas os dados mais relevantes para os cálculos do circuito: 
• Módulo: amplitude do sinal. 
• Ângulo: fase do sinal. 
𝑣(5) = 𝑉" ∙ sin(𝜔𝑡 + 𝜃/) 
𝑉 = 𝑉"Ð𝜃/ 
𝑣 = 𝑉" ∙ cos 𝜃/ + 𝑗 ∙ sin 𝜃/ 
Exemplo: 
 
 
 
 
III. CIRCUITOS RESISTIVOS EM CA 
Quando a resistência elétrica é submetida a uma tensão alternada, produz uma corrente 
elétrica com as seguintes características: 
• mesma forma de onda; 
• mesma frequência; 
• mesma fase; 
• amplitude depende da tensão e resistência (Lei de Ohm). 
A. TENSÃO E CORRENTE NA RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
Sendo: 
𝑣(5) = 𝑉" ∙ sin(𝜔𝑡 + 𝜃/) 
Pela primeira Lei de Ohm: 
𝑖(5) =
𝑉(5)
𝑅
 
𝑖(5) =
𝑉"
𝑅
∙ sin(𝜔𝑡 + 𝜃/) 
𝑖(5) = 𝐼" ∙ sin(𝜔𝑡 + 𝜃/) 
 
Conforme se observa, o resistor não provoca nenhuma defasagem entre tensão e 
corrente. Portanto, a resistência elétrica pode ser representada por um número complexo com 
a parte imaginária nula. 
 
 
 
B. LEI DE OHM 
Sendo: 
• 𝑣 = 𝑉"Ð𝜃/ 
• 𝑅 = 𝑅Ð0° 
𝑖 =
𝑣
𝑅
 
𝑖 =
𝑉"Ð𝜃/
𝑅Ð0°
 
𝑖 =
𝑉"
𝑅
Ð𝜃/ − 0° 
𝑖 = 𝐼"Ð𝜃/ 
C. POTÊNCIA DISSIPADA PELA RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
Características: 
• Potência sempre positiva, com o dobro da frequência. 
• Potência de pico: 𝑃D = 𝑉D ∙ 𝐼D 
• Potência média: 𝑃 = DE
F
= GE∙HE
F
 
 
 
 
 
D. VALOR EFICAZ 
O valor eficaz 𝑉IJ ou 𝑉KLM corresponde ao valor da tensão contínua que, se aplicada a 
uma resistência, faria com que ela dissipasse a mesma potência média caso fosse aplicada essa 
tensão alternada. 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma: 
𝑉IJ =
𝑉D
√2
 
𝐼IJ =
𝐼D
√2
 
 
 
 
 
IV. EXEMPLOS 
Exemplo 1) Dado o circuito a seguir, calcule: 
 
a) Tensão de pico: 𝑉D = 5	𝑉 
b) Tensão de pico a pico: 𝑉DD = 10	𝑉 
c) Período: 𝑇 = 0,25	𝑠 
d) Frequência: 𝑓 = Q
R
= Q
/,FS
= 4	𝐻𝑧 
e) Frequência angular: 𝜔 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 4 = 8 ∙ 𝜋	𝑟𝑎𝑑/𝑠 
f) Representação matemática do sinal senoidal: 𝑣(5) = 𝑉" ∙ sin𝜔𝑡 = 5 ∙ sin(8 ∙ 𝜋 ∙ 𝑡) 
g) Tensão no tempo 𝑡 = 0,6	𝑠: 𝑣(5;/,]) = 𝑉" ∙ sin𝜔𝑡 = 5 ∙ sin(8 ∙ 𝜋 ∙ 0,6) = 2,94	𝑉 
 
 
 
 
Exemplo 2) Representar graficamente o seguinte sinais senoidal: 
𝑣Q(5) = 10 ∙ sin _20𝑘 ∙ 𝜋 ∙ 𝑡	 +	
𝜋
3
b	[𝑉] 
A frequência de 𝑓Q vale: 
𝑓Q =
𝜔
2𝜋
=
20𝑘 ∙ 𝜋
2 ∙ 𝜋
= 10𝑘	𝐻𝑧 
Portanto, o período é de: 
𝑇 =
1
𝑓
=
1
10𝑘
= 0,1	𝑚𝑠 = 100	𝜇𝑠 
O sinal inicia o seu ciclo adiantado de g
h
	[𝑟𝑎𝑑], e para 𝑡 = 0, tem-se: 
𝑣Q(5;/) = 10 ∙ sin_
𝜋
3
b = 8,66	𝑉 
 
 
 
 
Exemplo 3) Calcule a defasagem entre os seguintes sinais: 
a) 𝑣Q(5) = 10 ∙ sin(𝜔𝑡 + g
F
)	[𝑉];	𝑣F(5) = 5 ∙ sin	(𝜔 ∙ 𝑡)	[𝑉] 
 
Resposta: 𝑣Q está adiantado em relação a 𝑣F. ∆𝜃 = kg
F
	[𝑟𝑎𝑑] 
b) 𝑣Q(5) = 12 ∙ sin(𝜔𝑡 + g
l
)	[𝑉];	𝑣F(5) = 8 ∙ sin	(𝜔𝑡	 −	g
F
)	[𝑉] 
 
Δ𝜃 = 𝜃/F − 𝜃/Q = −
𝜋
2
−
𝜋
4
= −
3𝜋
4
	[𝑟𝑎𝑑] 
 
 
 
Exemplo 4) Representar as tensões 𝑣Q(5) = 10 ∙ sin(𝜔𝑡) 	[𝑉] e 𝑣F(5) = 15 ∙ sin(𝜔𝑡 +
60°) 	[𝑉]: 
 
 
 
 
Exemplo 5) Uma fonte CA com tensão de pico 𝑉D = 100	𝑉 alimenta um resistor de valor 𝑅 =
100	W. Qual a tensão CC que, aplicada a esse resistor, faz com que ele dissipe a mesma 
potência? 
 
A tensão eficaz vale: 
𝑉KLM =
𝑉D
√2
=
100
√2
= 70,7	𝑉 
A potência dissipada pelo resistor vale: 
𝑃 =
𝑉KLMF
𝑅
=
(70,7)F
100
= 50	𝑊 
 
 
 
Exemplo 6) No Brasil, as residências recebem pela rede elétrica as tensões de 110	𝑉KLM e 
220	𝑉KLM , as duas com frequência de 60 Hz. Determinar para 110	𝑉KLM e 220	𝑉KLM . 
a) Período: 
𝑇 =
1
𝑓
=
1
60
= 16,67	𝑚𝑠 
b) Frequência angular: 
𝜔 = 2𝜋 ∙ 𝑓 = 2𝜋 ∙ 60 = 377	𝑟𝑑/𝑠 
c) Valores de pico e pico a pico: 
 
𝑉KLM = 110	𝑉 𝑉KLM = 220	𝑉 
𝑉D = √2 ∙ 𝑣KLM 
𝑉D = √2 ∙ 110 
𝑉D = 156	𝑉 
𝑉D = √2 ∙ 𝑣KLM 
𝑉D = √2 ∙ 220 
𝑉D = 311	𝑉 
𝑉DD = 2 ∙ √2 ∙ 𝑉KLM	
𝑉DD = 2 ∙ √2 ∙ 110	
𝑉DD = 311	𝑉	
𝑉DD = 2 ∙ √2 ∙ 𝑉KLM 
𝑉DD = 2 ∙ √2 ∙ 220 
𝑉DD = 622	𝑉 
 
d) Expressões matemáticas: 
𝑉KLM = 110	𝑉 
𝑣(5) = 𝑉D ∙ sin(𝜔 ∙ 𝑡) 
𝑣(5) = 156 ∙ sin(377 ∙ 𝑡) 
𝑉KLM = 220	𝑉 
𝑣(5) = 𝑉D ∙ sin(𝜔 ∙ 𝑡) 
𝑣(5) = 311 ∙ sin(377 ∙ 𝑡) 
 
 
 
 
Exemplo 7) Um chuveiro elétrico residencial tem o circuito interno e as especificações a seguir: 
• Alimentação: 220	𝑉KLM 
• Potência inverno: 3500	𝑊 
• Potência verão: 3500	𝑊 
 
a) Qual o valor das resistências 𝑅Q e 𝑅F? 
Na posição inverno, apenas a resistência 𝑅Q é alimentada: 
𝑃o =
𝑉KLMF
𝑅Q
 
𝑅Q =
220F
2500
 
𝑅Q ≈ 13,83	W 
Na posição verão, as duas resistências ficam associadas em série: 
𝑃G =
𝑉KLMF
𝑅Q + 𝑅F
 
𝑅Q + 𝑅F =
220F
2500
 
𝑅Q + 𝑅F ≈ 19,36	W 
Portanto: 
𝑅F = 19,36− 𝑅Q 
𝑅F = 19,36 − 13,83 
𝑅F = 5,53	W 
b) Qual o valor dos fusíveis (o certo seria disjuntor) que devem ser utilizados para 
proteção da instalação elétrica? 
A corrente é mais intensa na posição inverno: 
𝐼KLM =
𝑃o
𝑉KLM
 
 
 
𝐼KLM =
3500
220
 
𝐼KLM = 15,91	𝐴 
O valor de pico dessa corrente vale: 
𝐼D = √2 ∙ 𝐼KLM 
𝐼D = √2 ∙ 15,91 
𝐼D = 22,5	𝐴 
 
 
 
V. RESUMO 
 
As quatro diferentes formas de representar uma tensão / corrente senoidal 
Forma de onda 
 
Diagrama fasorial 
 
Expressão 
trigonométrica 
𝑣(5) = 12 ∙ sin(𝜔𝑡 + 60°)	[𝑉] 
Número 
𝑣 = 12Ð60°	[𝑉]	
𝑣 = 6 + 𝑗10,39	[𝑉]