Dr Eng Moisés de Mattos Dias__Circ_II_Apo_II

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2. CIRCUITOS COM ALIMENTAÇÃO SENOIDAL – DOMINIO 
FREQUÊNCIA 
 
2.1. ANÁLISE FASORIAL 
 
2.1.1. Cálculo de Impedâncias e Admitâncias 
 
 O cálculo das impedâncias dos circuitos com R, L e C, quando alimentados com 
corrente alternada senoidal em regime permanente (t  ), obedecem as seguintes 
características: 
 
a) Resistor 
A relação entre tensão e corrente (resistência) é calculada a partir da Lei de Ohm. 
 
b) Capacitor 
A relação entre tensão e corrente (reatância capacitiva), é considerada como uma 
impedância complexa, sendo calculada como 
 
jwCfC
jjXZ CC
1
2
1


 [2.1] 
 
onde ZC = impedância do capacitor (número complexo sem parte real) [] 
 XC = reatância capacitiva (parte imaginária da impedância complexa) [] 
 j = -11/2 (índice da parte imaginária de um número complexo) 
 f = frequência da tensão senoidal de alimentação [Hz] 
 C = capacitância [F] 
 w = velocidade angular da onda senoidal de alimentação [rad/s] 
 
c) Indutor 
A relação entre tensão e corrente (reatância indutiva), é considerada como uma 
impedância complexa, sendo calculada como 
 
jwLfLjjXZ LL  2 [2.2] 
 
onde ZL = impedância do indutor (número complexo sem parte real) [] 
 XL = reatância indutiva (parte imaginária da impedância complexa) [] 
 j = -11/2 (índice da parte imaginária de um número complexo) 
 f = frequência da tensão senoidal de alimentação [Hz] 
 L = indutância [H] 
 w = velocidade angular da onda senoidal de alimentação [rad/s] 
 
 A Fig. 2.1 mostra um circuito R,L,C, onde a impedância total é calculada como: 
 
jXRXXjRjXjXRZ CLCL  )( [2.3] 
 2
 
 
 
Fig. 2.1 - Impedância complexa do circuito R,L,C 
 
 A Tabela 2.1 mostra a relação entre corrente e tensão nos componentes R,L,C, na 
forma senoidal e cossenoidal. 
 
Tabela 2.1 - Relação entre tensão e corrente nos componentes R,L,C 
 
 
 
 3
 Uma fonte de tensão alternada (Fig. 22), com amplitude Vmax ou Vpico pode ser 
representada matematicamente como 
 
)()90cos( maxmax   wtsenVwtVv [2.4] 
onde 
2
1 w
T
f  [2.5] 
 
 
 
Fig. 2.2 - Forma de onda de tensão senoidal 
Obs: 
 As formas de onda de tensão ou corrente em circuitos elétricos são geralmente 
representados por cossenoides. 
 A tensão da fonte que alimenta o circuito é geralmente considerada como referência, 
iniciando no tempo Zero, e não possui atraso. 
 O atraso de tensão ou corrente nos outros componentes do circuito são sempre 
considerados com relação a fonte de alimentação. 
 
 O circuito da Fig. 2.3 mostra a tensão vL num indutor, quando é aplicada uma 
corrente i , expressa como 
wtIi cos [2.6] 
 
 
 
Fig. 2.3 - Relação entre tensão e corrente num indutor 
 4
 Conforme se pode observar, a tensão sobre o indutor está adiantada com relação a 
corrente (ou a corrente está atrasada com relação a tensão), e é calculada como 
 
wLIsenwtwtwLI
dt
diLv o
L  )90cos( [2.7] 
 
 Da mesma forma, a tensão num capacitor está atrasada de 90 graus com relação a 
corrente. 
 
2.1.2. Fasores em Diversas Frequências 
 
 Uma rápida olhada nas senóides de corrente e de tensão já vistas mostrará que as 
diferenças de fase e de amplitude são os dois pontos importantes. Um segmento linear 
orientado, ou fasor, tal como o que é mostrado girando no sentido anti-horário a uma 
velocidade angular constante w (rad/s) na Fig. 2.4, produz uma projeção na horizontal que 
é uma função co-seno. O comprimento do fasor é a amplitude da curva co-seno; o ângulo 
entre as duas posições do fasor é a diferença de fase entre os pontos correspondentes na 
curva co-seno. 
 Nesta apostila, os fasores serão definidos a partir da função co-seno. Se uma 
expressão de corrente ou tensão está na forma de um seno, ela será mudada para um co-
seno, subtraindo-se 90 graus da fase. Observa-se que os fasores são vetoriais por 
natureza. Assim, o diagrama do fasor pode ser considerado como uma foto do vetor 
girando no sentido anti-horário tomando em t=0. 
 
 
 
Fig. 2.4 - Posição angular do fasor em função do sinal no tempo 
 5
 
 A Fig. 2.5-a mostra a forma das ondas de tensão e corrente no tempo, e a Fig. 2.5-
b mostra a representação fasorial destes sinais. Pode-se observar que, como a tensão está 
adiantada em relação a corrente, ou seja, a onda de tensão inicia mais a esquerda que a 
onda de corrente, o fasor de tensão está adiantado, no sentido anti-horário, com relação 
ao fasor de corrente. 
 
 
 
Fig. 2.5 - (a) Formas de ondas no tempo de tensão e corrente - (b) representação 
fasorial 
 
2.1.3. Métodos Analíticos de Solução 
 
 Quando o eixo de projeção horizontal é identificado com o eixo real do plano 
complexo, os fasores tornam-se números complexos. Assim, em vista da identiddade de 
Euler 
 jsene j  cos [2.8] 
 
 Existem três notações equivalentes para um fasor: 
 
 forma polar 
VV [2.9] 
 forma retangular 
 jVsenVV  cos [2.10] 
 forma expenencial 
jVeV  [2.11] 
 
 Na forma de solução analítica, basta transformar as grandezas de tensão corrente e 
impedância em números complexos, e resolver a partir das leis de Kirchoff. 
 
2.1.4. Técnicas Gráficas e Diagramas Fasoriais 
 
 Relação dos passos para o traçado do diagrama fasorial, de um circuito série. 
 Traçar uma circunferência; 
 6
 Traçar uma reta que passa pelo centro da circunferência. Esta reta é a própria tensão da 
fonte; 
 Analisar a direção da corrente. Se o circuito é indutivo, a corrente está atrasada em 
relação a tensão da fonte, e o fasor que representa a corrente estará apontando para 
baixo. Se o circuito é capacitivo, a corrente estará adiantada em relação a tensão da 
fonte, e o fasor que representa a corrente estará apontando para cima. Se o circuito for 
puramente resistivo, a corrente está em fase com a tensão da fonte, mesma direção e 
sentido. 
 Analisar a tensão sobre os elementos do circuito, iniciando pela parte de baixo da fonte, 
percorrendo o caminho onde estão os componentes, até a parte de cima da fonte. Se 
for um capacitor, a tensão sobre este estará atrasada de 90 graus com relação a 
corrente. Se for um indutor, a tensão sobre este estará adiantada de 90 graus com 
relação a corrente. Se for um resistor, tensão e corrente estão em fase. 
 
 Para circuitos com ramos paralelos, fazer um diagrama independente para cada 
ramo, sempre considerando a fonte de alimentação como referência e após fazer um 
análise comparativa. 
 Para circuitos com muitos componentes em série e paralelo, resolver 
analiticamente o circuito por números complexos. 
 
2.1.5. Ressonância Senoidal: Cálculo, Condições e Figura de Mérito 
 
 Quando um circuito possui capacitores e indutores e é alimentado com uma fonte 
alternada, pode ocorrer o fenômeno de ressonância. Isto ocorre quando XL = XC, e esta 
frequência é calculada como 
LC
f R
2
1
 [2.12] 
 
 A Fig. 2.6 mostra circuitos LC em série (a) e paralelo (b), e a Fig. 2.7, mostra o 
gráfico da impedância em função da frequência para estes mesmo circuitos 
respectivamente. 
 
 
Fig. 2.6 - Circuitos LC - (a) Serie - (b) Paralelo 
 7
 
 
Fig. 2.7 - Gráficos da impedância em função da frequência para circuitos LC - (a) 
Série - (b) Paralelo 
 
 Pode observar destas figuras o seguinte: 
 No circuito série, quando a frequência de alimentação é igual a frequência de 
ressonância, a impedância destes elementos tende a zero (curto-circuito). 
 No circuito paralelo, quando a frequência de alimentação é igual a frequência de 
ressonância, a impedância destes elementos tende a infinito (circuito aberto). 
 
2.1.6. Valores Eficazes – Potência Real, Reativa e Aparente 
 
 Embora tensões e correntes variem com o tempo, é conveniente associá-las com 
seus valores específicos, chamados valores eficazes. Valores eficazez são usados, por 
exemplo, na especificação de eletrodomésticos. As especificações de 110 V para um 
secador de cabelo, ou a de 220V para uma secadora de roupa, são valores eficazes. 
 Por definição, o valor eficaz de uma tensão ou corrente periódica (Vef ou Ief) é 
uma tensão ou corrente CC positiva que produz a mesma perda de potência média em um 
resistor, assim: 
R
VRI
R
V
P ef
ef
med 2
2
max2  [2.13] 
 
onde Pmed = Potência média [W] 
 R = resistência elétrica [] 
 Vef = tensão eficaz [V] 
 Ief = corrente eficaz [V] 
 Vmax = amplitude da onda de tensão (tensão máxima ou de pico) [V] 
 
 A partir da Eq. 2.13 conclui-se 
 
max
max 717,0
2
V
V
Vef  [2.14] 
 
portando o valor eficaz de uma tensão ou corrente senoidal é igual ao valor de pico 
dividido por raiz de dois. 
 8
 Outro nome usado para valor eficaz é valor rms, do inglês root mean square. As 
notações correspondentes são Vrms e Irms, que são as mesmas de Vef e Ief. Este nome se 
origina do procedimento utilizado para a obtenção dos valores eficazes de qualquer tensão 
ou corrente periódica, não apenas senoidal. 
 
2.1.7. Triângulo de Potências 
 
 A Fig. 2.8 mostra o triângulo de impedâncias, tensões e potência para uma carga, 
alimentada com tensão alternada senoidal (Fig. 2.9). 
 
 
 
Fig. 2.8 - Triângulo de impedâncias, tensões e potência 
 
 
Fig. 2.9 - Circuito com resistor e indutor alimentado com tensão alternada senoidal 
 
 Os valores de tensão indicados são eficazes uma vez que a corrente também é 
eficaz. 
 A potência fornecida pela fonte, é a potência aparente Papa ou S [VA], e é 
calculada como 
 
efief
ief
efapa IV
Z
V
ZISP )(
2
)(2
||
||  [2.15] 
 
 A potência dissipada no resistor é a potência ativa Pat ou P [W], e é calculada 
como 
 9
cos
| )(
2
)(2
apaefRef
Ref
efat PIV
R
V
RIPP  [2.16] 
 
 A potência no indutor é a potência reativa Preat ou Q [VAR], e é calculada como 
 
senPIV
X
V
XIQP apaefXef
L
Xef
Lefreat L
L  )(
2
)(2
|
 [2.17] 
 
 Assim, a potência aparente pode ser calculado como 
 
22
reatatapa PPP  [2.18] 
 
 Em circuitos com vários componentes resistivos, indutivos e capacitivos, as 
potências totais, tanto ativa quanto reativa, é a soma algébrica simples das potências em 
cada componentes respectivamente. Evidentemente, potência ativa deve ser adicionada a 
potência ativa e reativa, adicionada (ou subtraída) de reativa. Finalmente, a potência total 
da fonte Papa pode ser calculado a partir da Eq. 2.18. 
 
2.1.8. Fator de Potência e Compensação Do FP 
 
 As Figs. 2.3 e 2.5 mostram as formas de tensão e corrente em função do tempo. 
Observa-se destas figuras que a corrente está atrasada em relação a tensão da fonte de  
graus, e esta defasagem poderá ser medida a partir de um transferidos (medidor de 
ângulos). Observa-se que a corrente está atrasada de uma fração de comprimento de onda 
de i graus, e esta defasagem por ser medida a partir de um osciloscópio. Por este motivo, 
 deve ser idêntico a i. 
 Esta defasagem entre tensão e corrente, pode ser identificado com o Fator de 
Potência FP, calculado como 
 
iFP  coscos  [2.19] 
 
 No consumo de uma grande quantidade de potência, um elevado fator de potência 
é desejado, idealmente igual a 1 (um). A razão é que a corrente solicitada para 
desenvolver uma determinada potência em uma carga é inversamente proporcional ao 
fator de potência da carga. Assim, para uma dada tensão aplicada, a redução do fator de 
potência aumenta a corrente I para uma carga. Uma maior solicitação de corrente é 
indesejável porque, consequentemente, provocará um aumento de perdas de tensão e das 
perdas de potência na linha e nos demais equipamentos de distribuição. De uma forma 
prática, baixos falores de potência são sempre resultado de cargas indutivas, porque a 
maioria das cargas industriais é indutiva. Resumidamente, a correção do fator de potência 
indutivo é realizado, acrescentando capacitores ao circuito. O valor dos capacitores é 
calculado, igualando a potência reativa total do circuito a uma hipotética potência reativa 
nos capacitores adicionados. 
 10
 
EXEMPLOS – ÁREA I – CAP. 2.1 
 
1. Considere o circuito abaixo: 
 
 
onde a tensão da fonte é representada por: 
 
).000.1cos(10)( ttvi  
 
I. Determine: 
 
a) i(t) , vR(t) , vL(t) , vC(t) 
b) Diagrama Fasorial 
c) Gráficos no tempo 
d) Potências 
 
a) Determinação de i(t) , vR(t) , vL(t) , vC(t) . 
 
Para determinação da corrente e tensão é necessária algumas considerações. Considere a 
tensão da rede de P.Alegre. 
 
HzfVVV feRMS 60.127.127 .  
 
Uma tensão alternada expressa na forma de uma equação resulta: 
 
)cos(.).cos(.)().()(  PP VtVvtvtv  
 
Observa-se que, uma onda senoidal ou cossenoidal, pode ser representada em função do 
tempo ou em função do ângulo. Assim, a seguinte relação pode ser estabelecida. 
 
t.  
 
Na análise de circuitos elétricos, muitas vezes é conveniente expressar uma forma de onda 
de tensão ou corrente, utilizando como variável o Ângulo e não o Tempo. Isto ocorre uma 
vez que, a relação de atraso ou adianto no tempo para um sinal senoidal em regime 
 11
permanente, pode ser representado unicamente em função do ângulo que este sinal está 
adiantado ou atrasado em relação a outro sinal. 
 
No exemplo da tensão da rede monofásica de P.Alegre, deve-se determinar VP e . 
 
VxxVVV feP .18051,17921272.max  
 
segradf /.37760..2..2   
 
Assim, a tensão da rede de P.Alegre é representada por 
 
).377cos(.180)( ttv  
 
Para melhor visualização, considere agora uma tensão: 
 
HzfVV RMS 60.100  
 
calculando VP e  e denominando esta tensão de vi() resulta. 
 
)cos(.42,142)().377cos(.42,142).cos(.)(   iPi vttVtv 
 
Entretanto comparando uma outra tensão vX(), que está ADIANTADA um ângulo X 
em relação a vi() , esta é representada como: 
 
)cos(.42,142)().377cos(.42,142).cos(.)( XXXXPX vttVtv   
 
onde, no exemplo do gráfico acima, o ângulo X = 45o é positivo. 
 12
 
Comparando uma outra tensão vY(), que está ATRASADA um ângulo Y em relação a 
vi() , esta é representada como: 
 
)cos(.42,142)().377cos(.42,142).cos(.)( YYYYPY vttVtv   
 
onde, no exemplo do gráfico acima, o ângulo Y = - 45o é negativo 
 
Assim, as expressões resultam: 
 
).cos(.)( iP tIti   
).cos(.)( RPRR tVtv   
).cos(.)( LPLL tVtv   
).cos(.)( CPCC tVtv   
 
onde R, L e C representam resistor, indutor e capacitor respectivamente, VP as amplitudes 
e   os ângulo que, como ainda não foram calculados, não se sabe se são positivos 
(adiantado) ou negativos (atrasado). 
 
A Amplitude da Corrente ou Corrente Máxima ou Corrente de Pico é calculada como: 
 
mAx
Z
VI P
P 94,81094,8
118.1
10
||
3   
 
A Impedância Z é calculada como: 
 
jXRXXjRjXjXRZ CLCL  )( 
 
500000.1)000.1500.1(000.1000.1500.1000.1 jjjjZ  
 
O módulo da impedância é calculada como: 
 
 .118.1500000.1)(|| 222222 XRXXRZ CL 
 
onde XL é a Reatância Indutiva e XC é a Reatância Capacitância calculadas como 
 
 .500.15,1000.1. xLX L  

.000.1
10000.1
1
.
1
6xC
X C 
 
 
Entretanto, não se pode confundir X (reatância) com impedância. No caso as impedâncias 
do resistor, indutor e capacitor são representadas, respecitivamente por: 
 
 13
0jRZ R  LL jXZ  0 CC jXZ  0 
 
onde observa-se que, a impedância do resistor é uma grandeza puramente real, no caso a 
própria resistência do resistor. A impedância do indutor e capacitor é representada por um 
número complexo, mas uma grandeza puramente imaginária, ou seja, sem parte real. 
 
Os valores da amplitude da tensão da fonte VP e velocidade angular de onda de sinal da 
fonte  é determinada a partir da especificação de vi(t): 
 
).cos().000.1cos(10)( tVttv Pi  
desta relação resulta: 
VP = 10 V  = 1.000 rad / seg. 
 
As amplitudes da tensões do resistor, indutor e capacitor, respectivamente são calculadas 
como: 
VxxRIV PPR .94,8000.11094,8. 3  VxxXIV LPPL .41,13500.11094,8. 3   
 
VxxXIV CPPC .94,8000.11094,8. 3   
 
A confirmação do cálculo pode ser determinada pela seguinte expressão: 
 
2222 47,494,810)(  PCPLPRPiP VVVVV 
 
b) Diagrama Fasorial 
 
 14
 
Observe que, retirando os fasores de dentro da circunferência, estes formam um triângulo 
retângulo e assim, calculando os ângulos deste triângulo, relaciona-se os mesmos com as 
fases ou defasagens das tensões e corrente. 
 
 
oCL
P
P
pR
pCpL
R R
XXtg
I
I
V
VV
arctg 56,26
1
1
1 




 


















 
  
 
Observa-se acima que, o ângulo  R (ou a defasagem da tensão no resistor com relação a 
tensão da fonte) pode ser calculado a partir das tensões de pico ou das impedâncias. Para 
isto, basta dividir todos os membros pela corrente de pico já que o circuito é série e a 
corrente é idêntica para todos os componentes. 
 
O ângulo  L (ou a defasagem da tensão no indutor com relação a tensão da fonte) pode 
ser calculado considerando que, o somatório dos ângulos internos de um triângulo é igual 
a 180 graus, ou seja 
o
R
oo
L 44,6390180   
 
O ângulo  C (ou a defasagem da tensão no capacitor com relação a tensão da fonte) pode 
ser calculado considerando que  L e  C somam 180 graus, ou seja 
 
o
L
o
C 56,116180   
 
O ângulo  i (ou a defasagem da corrente com relação a tensão da fonte) é idêntico a  R 
uma vez que, tensão e corrente no resistor estão em fase, ou seja, a representação do fasor 
tem mesma direção e sentido. 
 
 15
É importante salientar que, os cálculos acima determinam somente o valor absoluto dos 
ângulos e defasagens em relação a tensão da fonte, mas não definem se estes são positivos 
ou negativos, ou seja, se estas tensões e correntes estão adiantadas ou atrasadas em 
relação a tensão da fonte. Assim, pode-se definir o seguinte: 
 
 Sempre que um fasor aparece apontado para BAIXO, indica que o valor do ângulo 
é NEGATIVO, e o sinal está ATRASADO em relação a tensão da fonte. 
 
 Sempre que um fasor aparece apontado para CIMA, indica que o valor do ângulo 
é POSITIVO, e o sinal está ADIANTADO em relação a tensão da fonte. 
 
Por este motivo os ângulos resultam: 
 
o
Ri 56,25  o
L 44,63 o
C 56,116 
 
Assim, as expressões resultam: 
 
)56,26.000.1cos(.00894,0)( otti  
)56,26.000.1cos(.94,8)( o
R ttv  
)44,63.000.1cos(.41,13)( o
L ttv  
)56,116.000.1cos(.94,8)( o
C ttv  
 
c) Determine os gráficos no tempo 
 
 
 16
 
Observe que, os gráficos sempre são referenciados a tensão da fonte que, aparece como 
referência em todos os gráficos. Se visualizado em um osciloscópio de dois canais, a 
tensão da fonte deverá aparecer como referência. 
 
d) Determine as potências 
 
A partir do diagrama fasorial também é possível observar o triângulo de potências, onde 
 
S – Potência Aparente ou Potência Fornecida pela Fonte 
P – Potência Ativa ou Potência Dissipada nas Resistências 
Q – Potência Reativa ou Potência (Energia) Armazenada nas Indutâncias e/ou 
Capacitâncias 
 
O cálculo das potências sempre é calculado a partir dos valores eficazes ou RMS (root-
mean-square) ou Raiz Quadrática Média de tensão ou corrente e são calculados como 
 
22
.
.
MaxP
RMSfe
VVVV  
22
.
.
MaxP
RMSfe
IIII  
 17
 
Para o exemplo proposto, a tensão eficaz ou RMS da fonte é calculada como: 
 
V
V
V Pi
ife .07,7
2
10
2)(.  
 
A corrente eficaz ou RMS é calculada como: 
 
mAII P
fe 32,6
2
00894,0
2.  
 
A tensão eficaz ou RMS sobre a resistência é calculada como: 
 
VVV PR
Rfe .32,6
2
94,8
2)(.  
 
A tensão eficaz ou RMS sobre a indutância é calculada como: 
 
VVV PL
Lfe .48,9
2
41,13
2)(.  
 
A tensão eficaz ou RMS sobre a capacitância é calculada como: 
 
V
V
V PC
Cfe .32,6
2
94,8
2)(.  
 
A Potência Aparente é calculada como 
 
mVAVAxxxIVS feife 45.045,0)1032,6(07,7 3
.)(.   
 
A Potência Ativa é calculada como 
 
mWWxxxIVP feRfe 40040,0)1032,6(32,6 3
.)(.   
 
A Potência Reativa é calculada como 
 
RRfeCfeLfe VAmVAxxxIVVQ .20.020,0)1032,6(|32,648,9||| 3
.)(.)(.   
 
Confirmando os cálculos a partir de relações trigonométricas do triângulo de potências: 
 
22 QPS  FPSSP i .)cos(.   )(. isenSQ  || CL QQQ  
 18
 
e) Resolver por Números Complexos 
 
O circuito proposto também pode ser resolvido a partir do conceito de números 
complexos. 
 
 
A equação a seguir mostra que um número complexo pode ser representado, 
respectivamente, na forma retangular e polar. 
 
 rj 
onde  - parte real 
 - parte imaginária 
r - raio 
 - ângulo 
 
As seguintes relações são importantes quando se necessita mudar a forma de 
representação do número complexo: 
 























)(.
)cos(.
1
22


 senr
r
tg
r
 
 
Um sinal elétrico, como a corrente por exemplo, pode ser representado por um número 
complexo, ou seja: 
iPiP IItIti  

).cos()( 
 
A relação acima mostra que a corrente, representada na forma de onda, também pode ser 
representada por um FASOR, que por sua vez é identificado com um número complexo, 
onde o módulo ou raio do número complexo representa a amplitude do sinal e o ângulo 
do número complexo representa a FASE ou DEFASAGEM do sinal. Um Fasor, cuja 
notação é uma letra com um ponto em cima, também é conhecido por Vetor Girante. 
 
e.1) Determinação de i(t) 
 
 19
o
o
o
CL
PIi mA
j
j
XXjR
jV
Z
V
I 56,2694,8
56,26118.1
010
500000.1
010
)(
0












 
 
333 1000,41000,856,261094,8)(   xjxxti o 
 
)56,26.000.1cos(.94,8)( otmAti  
 
e.2) Determinação de vR(t) 
 
oo
R xmAxRIV 56,2694,8000.1)56,2694,8( 

 
 
)56,26.000.1cos(.94,8)( o
R ttv  
 
e.3) Determinação de vL(t) 
 
oooo
LL xmAxjmAxZIV 44,6341,1390500.1()56,2694,8(500.1)56,2694,8( 

 
)44,63.000.1cos(.41,13)( o
L ttv  
 
e.4) Determinação de vC(t) 
 
oooo
CC xmAjxmAxZIV 56,11694,890000.1()56,2694,8()000.1()56,2694,8( 

 
)56,116.000.1cos(.94,8)( o
C ttv  
 
2. Determine vR1(t), vC1(t), vL1(t), vR2(t), vC2(t), vL2(t). 
 
 
Para resolver este exemplo, é conveniente reduzir uma parte do circuito, considerando as 
impedâncias Z1 e Z2. 
 
 20
I. Considerando a impedância Z1. 
 
 
112221 //}]//){[( CLCL jXjXRjXjXZ  
 
000.2.000.2
)105,0(000.1
1
.
1
16
1
1 jZ
xxC
X CC 

 
 
000.1.000.1
10000.1
1
.
1
26
2
2 jZ
xC
X CC 

 
 
000.1.000.11000.1. 111 jZxLX LL  
 
500.1.500.15,1000.1. 222 jZxLX LL  
 
000.2//}000.1]500.1//)000.1500.1{[(1 jjjjZ  
 
450150
500500.1
000.750
500.1500
500.1500]500.1//)000.1500.1[((*) j
j
j
j
xjjj 



 
 
23,769.415,846.1000.2//}000.1]450150{[000.2//}000.1{[(*)]1 jjjjjjZ 
 
oi xxjx
j
j
ZR
V
Iti 17,591000,181050,11022,9
)23,765.415,846.1(000.1
0100)( 323
11
11 




 


 
)17,59.000.1cos(.00,18)(1
otmAti  
 
o
RR jxxjxxRIVtv 17,5900,1846,1522,9000.1)1050,11022,9()( 23
1111  

 
 
)17,59.000.1cos(.00,18)(1
o
R ttv  
 
)23,769.415,846.1()1050,11022,9()()( 23
111111 jxxjxxZIVVtvtv CZCZ  

 
 
 21
o
CZCZ jVVtvtv 41,1000,9028,1655,88)()( 1111 

 
 
)41,10.000.1cos(.00,90)()( 11
o
CZ ttvtv  
 
II. Considerando a impedância Z2. 
 
 
450150(*)]//)[( 2222 jRjXjXZ CL  
 
22
21
1
22 1000,61073,1
)450150(000.1
28,1655,88)( 







 xjx
jj
j
ZZ
VIti
L
Z 
 
o
LLL jjxxjxxZIVtv 32,1676,6136,1727,59)000.1()1000,61073,1()( 22
1211  

 
 
)32,16.000.1cos(.76,61)(1
o
L ttv  
 
)450150()1000,61073,1()()( 22
222222 jxxjxxZIVVtvtv ZRZR  

 
 
o
ZRZR jxZIVVtvtv 30,260,2921,160,29)()( 222222 

 
 
)30,2.000.1cos(.60,29)()( 22
o
RZ ttvtv  
 
II. Considerando a impedância Z2.22
32,921092,50592,00024,0
000.1500.1
21,160,29)( 2
22
2
33 




 


xj
jj
j
ZZ
VIti
LC
Z 
 
o
LLL jjxjxZIVtv 32,287,8860,380,88)500.1()0592,00024,0()( 2322 

 
 
)32,2.000.1cos(.87,88)(2
o
L ttv  
 
o
CCC jjxjxZIVtv 67,17725,5940,220.59)000.1()0592,00024,0()( 2322 

 
 
)67,177.000.1cos(.25,59)(2
o
C ttv  
 
Os gráficos estão representados a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 23
3. Para os circuitos a seguir, determine Vpo() e (), onde  = 2f. 
 
a) R = 1k , C = 1F, Vpi = 1 V 
 
 
A reatância capacitiva XC = 1 / C = 1 / 2.f.C . Por divisor de tensão vo(t) é calculado 
como 
)(.
1
)(.)( tv
C
jR
Rtv
jXR
Rtv ii
C
o




 
 
Observe que, a expressão acima, resulta em um número complexo. Na análise de circuitos 
elétricos, o módulo de um número complexo, está relacionado com a Amplitude e o 
ângulo do número está relacionado com a Fase ou Defasagem. 
 
Fazendo Vpi = 1 V e fazendo o cálculo do módulo Vpo [V] , resulta 
 
2
2
22 1
)()(.|)(|











C
R
R
XR
RVtv
jXR
Rtv
C
poi
C
o

 
e o cálculo da Fase () , resulta 
 










  
CR
tg
R
X
arctg C


1)( 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24
Atribuindo valores para  e calculando XC Vpo e () 
 
 [rad/seg] XC [] 
 
Vpo [V] () 
0  0 90,0o 
0,001 1.000.000.000 10-6 90,0o 
0,01 100.000.000 10-5 90,0o 
0,1 10.000.000 10-4 89,9o 
1 1.000.000 0,001 89,9o 
10 100.000 0,010 89,4o 
100 10.000 0,099 84,2o 
1.000 1.000 0,707 45,0o 
10.000 100 0,995 5,7o 
100.000 10 0,999 0,57o 
1.000.000 1 0,999 0,057o 
 0 1,000 0,0o 
 
O gráfico de Vpo resulta 
 
O gráfico de () resulta 
 
 
 25
Destes gráficos, observa-se o seguinte: 
 
 Para baixas freqüências, a tensão de saída tende a zero. O capacitor, que está em 
série no circuito, abre as baixas freqüências, e se comporta como um circuito 
aberto para as baixas freqüências. 
 
 Para altas freqüências, a tensão de saída tende a ser igual a tensão da fonte. O 
capacitor, que está em série no circuito, deixa passar as altas freqüências, e se 
comporta como um curto circuito para as altas freqüências. 
 
 Este tipo de circuito é denominado de Filtro Passa Alta. 
 
 Para baixas freqüências, a fase da tensão de saída (ou defasagem entre entrada e 
saída) está adiantada. 
 
 Para altas freqüências, a tensão de saída tende a entrar em fase com tensão da 
fonte.. 
 
Entretanto, O QUE É CONSIDERADA ALTA E BAIXA FREQUÊNCIA? 
 
Neste caso, é necessário definir o conceito de FREQUÊNCIA DE CORTE fC , ou seja o 
valor em freqüência f ou velocidade  que separa a alta e baixa freqüência. 
Para o circuito RC, a freqüência de corte ocorre quando R = XC , ou seja; 
 
RC
f
CfC
RXR CC  2
1
..2
1
.
1
 
 
Fazendo R = 1k , C = 1F 
 
segradfHzf CCC /000.1.216,159
10102
1
63 



 
 
Observa-se dos gráficos que, na fC = 159,16 Hz ou C = 1.000 rad/seg.: 
 
2
1707,0)(
000.1

wpoV  
 
o
w
45)(
000.1


 
 
b) Trocando de posição o resistor com o capacitor, ainda com os mesmos valores 
R = 1k , C = 1F, Vpi = 1 V 
 26
 
A reatância capacitiva XC = 1 / C = 1 / 2.f.C . Por divisor de tensão vo(t) é calculado 
como 
)(.
1
1
)(.)( tv
C
jR
C
j
tv
jXR
jX
tv ii
C
C
o







 
 
Fazendo Vpi = 1 V e fazendo o cálculo do módulo Vpo [V] , resulta 
 
2
2
22 1
1
)()(.|)(|












C
R
C
XR
XVtv
jXR
jXtv
C
C
poi
C
C
o

 
e o cálculo da Fase () , resulta 
 










 




  
CR
tg
R
X
arctg
X
arctg oCC


190
0
)( 1 
 
O gráfico de Vpo resulta 
 
O gráfico de () resulta 
 
 27
 
Destes gráficos, observa-se o seguinte: 
 
 Para baixas freqüências, a tensão de saída tende a ser igual a tensão da fonte. O 
capacitor, que está em paralelo na saída do circuito, se comporta como um circuito 
aberto para as baixas freqüências. 
 
 Para altas freqüências, a tensão de saída tende a zero. O capacitor, que está em 
paralelo na saída do circuito, se comporta como um curto circuito para as altas 
freqüências. 
 
 Este tipo de circuito é denominado de Filtro Passa Baixa. 
 
 Para baixas freqüências, a tensão de saída tende a entrar em fase com tensão da 
fonte.. 
 
 Para altas freqüências, a fase da tensão de saída (ou defasagem entre entrada e 
saída) está atrasada. 
 
4. Para os circuitos a seguir, determine Vpo() e (), onde  = 2f. 
 
a) R = 1k , L = 1H, Vpi = 1 V 
 
 
A reatância indutiva XL = L = 2.f.L . Por divisor de tensão vo(t) é calculado como 
 
 28
)(.)(.)( tv
LjR
Rtv
jXR
Rtv ii
L
o 


 
 
Fazendo Vpi = 1 V e fazendo o cálculo do módulo Vpo [V] , resulta 
 
 2222
)()(.|)(|
LR
R
XR
RVtv
jXR
Rtv
L
poi
L
o







 
 
e o cálculo da Fase () , resulta 
 










 
R
Ltg
R
Xarctg L 
 1)( 
 
Atribuindo valores para  e calculando XL Vpo e () 
 
 [rad/seg] XL [] 
 
Vpo [V] () 
0 0 1 0 
0,001 0,001 1 - 5,73 x 10 - 5 
0,01 0,01 1 - 0,00057o 
0,1 0,1 1 - 0,0057o 
1 1 0,999 - 0,057o 
10 10 0,999 - 0,57o 
100 100 0,995 - 5,7o 
1.000 1.000 0,707 - 45,0o 
10.000 10.000 0,099 - 84,3o 
100.000 100.000 0,009 - 89,4o 
1.000.000 1.000.000 0,001 - 89,9o 
  0 - 90,0o 
 
O gráfico de Vpo resulta 
 
 29
O gráfico de () resulta 
 
 
Destes gráficos, observa-se o seguinte: 
 
 Para altas freqüências, a tensão de saída tende a zero. O indutor, que está em série 
no circuito, abre as altas freqüências, e se comporta como um circuito aberto para 
as altas freqüências. 
 
 Para baixas freqüências, a tensão de saída tende a ser igual a tensão da fonte. O 
indutor, que está em série no circuito, deixa passar as baixas freqüências, e se 
comporta como um curto circuito para as baixas freqüências. 
 
 Este tipo de circuito é denominado de Filtro Passa Baixa. 
 
 Para baixas freqüências, a fase da tensão de saída (ou defasagem entre entrada e 
saída) tende a entrar em fase com a tensão da fonte. 
 
 Para altas freqüências, a fase da tensão de saída está atrasada. 
 
Para o circuito RL, a freqüência de corte ocorre quando R = XL , ou seja; 
 
L
RfLfLRXR CL 

2
..2.  
 
Fazendo R = 1k , L = 1H 
 
segradfHzf CCC /000.1.216,159
12
1000
 

 
 
Observa-se dos gráficos que, na fC = 159,16 Hz ou C = 1.000 rad/seg.: 
 
 30
2
1707,0)(
000.1

wpoV  
 
o
w
45)(
000.1


 
 
b) Trocando de posição o resistor com o indutor, ainda com os mesmos valores 
R = 1k , L = 1H, Vpi = 1 V 
 
A reatância capacitiva XL = C = 2.f.L . Por divisor de tensão vo(t) é calculado como 
 
)(.)(.)( tv
LjR
Ljtv
jXR
jXtv ii
L
L
o 






 
 
Fazendo Vpi = 1 V e fazendo o cálculo do módulo Vpo [V] , resulta 
 
 2222
)()(.|)(|
LR
L
XR
XVtv
jXR
jXtv
L
L
poi
L
L
o









 
 
e o cálculo da Fase () , resulta 
 















  
R
Ltg
R
XarctgXarctg oLL 
 190
0
)( 
 
O gráfico de Vpo resulta 
 
 31
O gráfico de () resulta 
 
 
Destes gráficos, observa-se o seguinte: 
 
 Para baixas freqüências, a tensão de saída tende a zero. O indutor, que está na 
saída em paralelo no circuito, se comporta como um curto-circuito para as baixas 
freqüências. 
 
 Para altas freqüências, a tensão de saída tende a ser igual a tensão da fonte. O 
indutor, que está em paralelo na saída do circuito, deixa passar as altas 
freqüências, e se comporta como um circuito aberto para as altas freqüências. 
 
 Este tipo de circuito é denominado de Filtro Passa Alta. 
 
 Para baixas freqüências, a fase da tensão de saída (ou defasagem entre entrada e 
saída) está adiantada. 
 
 Para altas freqüências, a tensão de saída está entrando em fase com tensão da 
fonte. 
 
5. Para os circuitos a seguir, determine Vpo() e (), onde  = 2f. 
 
a) R = 1k , L = 1H, C = 1F, Vpi = 1 V 
 
 32
A reatância indutivaXL = L = 2.f.L . A reatância capacitiva XC = 1/C = 1/2.f.C . 
Por divisor de tensão vo(t) é calculado como 
 
)(.
1.
)(.)(.)( tv
C
LjR
Rtv
C
jLjR
Rtv
JXjXR
Rtv iii
CL
o





 









 
Fazendo Vpi = 1 V e fazendo o cálculo do módulo Vpo [V] , resulta 
 
2
2
22 1)(
)()(.|)(|





 





C
LR
R
XXR
RVtv
jXjXR
Rtv
CL
poi
CL
o


 
e o cálculo da Fase () , resulta 











 





 
 
R
C
L
tg
R
XXarctg CL 


1
)( 1 
Atribuindo valores para  e calculando XL Vpo e () 
 
 [rad/seg] XL [] 
 
XC [] 
 
Vpo [V] () 
0 0  0 90 
0,001 0,001 1000000000 1E-06 90,00214 
0,01 0,01 100000000 1E-05 90,00162 
0,1 0,1 10000000 0,0001 89,99647 
1 1 1000000 0,001 89,9449 
10 10 100000 0,0100005 89,42919 
100 100 10000 0,10049871 84,23417 
1.000 1000 1000 1 0 
10.000 10000 100 0,10049871 -84,2342 
100.000 100000 10 0,0100005 -89,4292 
1.000.000 1000000 1 0,001 -89,9449 
  0 0 - 90 
 
 
O gráfico de Vpo resulta 
 
 33
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
 
 
O gráfico de () resulta 
 
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
 
 
Destes gráficos, observa-se o seguinte: 
 
 Para baixas freqüências, a tensão de saída tende a zero. O capacitor, que está em 
série no circuito, abre as baixas freqüências, e se comporta como um circuito 
aberto para as baixas freqüências. 
 
 Para altas freqüências, a tensão de saída tende a zero. O indutor, que está em série 
no circuito, abre as altas freqüências, e se comporta como um circuito aberto para 
as altas freqüências. 
 
 Este tipo de circuito é denominado de Filtro Passa Faixa. 
 34
 
 Para baixas freqüências, a fase da tensão de saída (ou defasagem entre entrada e 
saída) está adiantada com relação a tensão da fonte. 
 
 Para altas freqüências, a fase da tensão de saída está atrasada. 
 
Para o circuito RLC, a freqüência de ressonância ocorre quando XL = XC , ou seja; 
 
LCLC
f
Cf
Lf
C
LXX RRCL
1
2
1
..2
1..2
.
1.  



 
 
Fazendo L = 1H : C = 1F 
 
./000.1
101
116,159
1012
1
66
segrad
x
Hz
x
f RR 



 
 
Observa-se dos gráficos que, na fR = 159,16 Hz ou C = 1.000 rad/seg.: 
 
1)(
000.1

wpoV  
 
o
w
0)(
000.1


 
 
b) R = 1k , L = 1H, C = 1F, Vpi = 1 V 
 
A reatância indutiva XL = L = 2.f.L . A reatância capacitiva XC = 1/C = 1/2.f.C . 
Por divisor de tensão vo(t) é calculado como 
)(.
1.
1.
)(.)(.)( tv
C
LjR
C
Lj
tv
C
jLjR
C
jLj
tv
JXjXR
JXjXtv iii
CL
CL
o





 





 















 
 
Fazendo Vpi = 1 V e fazendo o cálculo do módulo Vpo [V] , resulta 
 
 35
2
2
2
22
2
1
1
)(
)(
)()(.|)(|





 





 







C
LR
C
L
XXR
XX
Vtv
jXjXR
jXjXtv
CL
CL
poi
CL
CL
o




 
e o cálculo da Fase () , resulta 











 





 





 
 
R
C
L
tg
R
XXarctgXXarctg oCLCL 


1
90
0
)( 1 
Atribuindo valores para  e calculando XL Vpo e () 
 
 [rad/seg] XL [] 
 
XC [] 
 
Vpo [V] () 
0 0  1 0 
0,001 0,001 1000000000 1 0,002139 
0,01 0,01 100000000 1 0,001623 
0,1 0,1 10000000 1 -0,00353 
1 1 1000000 0,9999995 -0,0551 
10 10 100000 0,99994999 -0,57081 
100 100 10000 0,99493719 -5,76583 
1.000 1000 1000 0 0 
10.000 10000 100 0,99493719 5,765834 
100.000 100000 10 0,99994999 0,570814 
1.000.000 1000000 1 0,9999995 0,055101 
  0 1 0 
 
O gráfico de Vpo resulta 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
 
 36
 
O gráfico de () resulta 
 
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
 
 
Destes gráficos, observa-se o seguinte: 
 
 Este tipo de circuito é denominado de Filtro Rejeita ou Suprime Faixa. 
 
 Somente existe variação de fase próximo da freqüência de ressonância. 
 
Observa-se dos gráficos que, na fR = 159,16 Hz ou C = 1.000 rad/seg.: 
 
0)(
000.1

wpoV  
 
o
w
0)(
000.1


 
 
6. Para os circuitos a seguir, determine Vpo() e (), onde  = 2f. 
a) R = 1k , L = 1H, C = 1F, Vpi = 1 V 
 
 37
A reatância indutiva XL = L = 2.f.L . A reatância capacitiva XC = 1/C = 1/2.f.C . 
Por divisor de tensão vo(t) é calculado como 
 
)(.
||
)(.
)||(
)( tv
C
jLjR
Rtv
JXjXR
Rtv ii
CL
o





 





 
Fazendo Vpi = 1 V e fazendo o cálculo do módulo Vpo [V] , resulta 
 
2
2 .
)(.
.
|)(|)(.
)||(
|)(|




















CL
CL
po
CL
CL
oi
CL
o
XX
XXR
RV
XX
XX
jR
Rtvtv
jXjXR
Rtv 
e o cálculo da Fase () , resulta 
 





























R
XX
XX
arctg
R
XX
XX
arctg CL
CL
CL
CL ..
)( 
 
Atribuindo valores para  e calculando XL Vpo e () 
 
 [rad/seg] XL [] 
 
XC [] 
 
Vpo [V] () 
0 0  1 0 
0,001 0,001 1000000000 1 -5,72972E-05 
0,01 0,01 100000000 1 -0,000572972 
0,1 0,1 10000000 1 -0,005729718 
1 1 1000000 0,9999995 -0,057297216 
10 10 100000 0,99994999 -0,573009975 
100 100 10000 0,99493719 -5,768029636 
1.000 1000 1000 0 0 
10.000 10000 100 0,99493719 5,768029636 
100.000 100000 10 0,99994999 0,573009975 
1.000.000 1000000 1 0,9999995 0,057297216 
  0 1 0 
 
O gráfico de Vpo resulta 
 
 38
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
 
 
O gráfico de () resulta 
 
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
 
 
Destes gráficos, observa-se o seguinte: 
 
 Este tipo de circuito é denominado de Filtro Rejeita ou Suprime Faixa. 
 Somente existe variação de fase próximo da freqüência de ressonância. 
 
Observa-se dos gráficos que, na fR = 159,16 Hz ou C = 1.000 rad/seg.: 
 
0)(
000.1

wpoV  
 
o
w
0)(
000.1


 
 39
b) R = 1k , L = 1H, C = 1F, Vpi = 1 V 
 
A reatância indutiva XL = L = 2.f.L . A reatância capacitiva XC = 1/C = 1/2.f.C . 
Por divisor de tensão vo(t) é calculado como 
)(.
||
||
)(.
)||(
)||(
)( tv
C
jLjR
C
jLj
tv
JXjXR
JXjXtv ii
CL
CL
o





 





 








 
 
Fazendo Vpi = 1 V e fazendo o cálculo do módulo Vpo [V] , resulta 
 
2
2
2
.
.
)(.
.
.
|)(|)(.
)||(
)||(
|)(|




































CL
CL
CL
CL
po
CL
CL
CL
CL
oi
CL
CL
o
XX
XXR
XX
XX
V
XX
XXjR
XX
XXj
tvtv
jXjXR
jXjX
tv 
e o cálculo da Fase () , resulta 














R
XX
XX
arctg CL
CL
o
.
90)( 
 
Atribuindo valores para  e calculando XL Vpo e () 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40
 
 [rad/seg] XL [] 
 
XC [] 
 
Vpo [V] () 
0 0  0 90 
0,001 0,001 1000000000 1E-06 89,9999427 
0,01 0,01 100000000 1E-05 89,99942703 
0,1 0,1 10000000 0,0001 89,99427028 
1 1 1000000 0,001 89,94270278 
10 10 100000 0,0100005 89,42699003 
100 100 10000 0,10049871 84,23197036 
1.000 1000 1000 1 0 
10.000 10000 100 0,10049871 -84,23197036 
100.000 100000 10 0,0100005 -89,42699003 
1.000.000 1000000 1 0,001 -89,94270278 
  0 0 -90 
 
O gráfico de Vpo resulta 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
 
 
O gráfico de () resulta 
 
 41
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
 
 
Destes gráficos, observa-se o seguinte: 
 Este tipo de circuito é denominado de Filtro Passa Faixa. 
 Para baixas freqüências, a fase da tensão de saída (ou defasagem entre entrada e 
saída) está adiantada com relação a tensão da fonte. 
 Para altas freqüências, a fase da tensão de saída está atrasada. 
 
Observa-se dos gráficos que, na fR = 159,16 Hz ou C = 1.000 rad/seg.: 
 
1)(
000.1

wpoV  
o
w
0)(
000.1


 
 
7. Considere o circuito equivalente de um conjunto de alto falantes: 
 
 
Onde: A → 0 a 500 Hz → (woofer) 
 B → 500 a 5 kHz → (mid-range) 
C→ 5 kHz a ∞ → (tweeter) 
 42
 
Considerar a Impedância dos Alto Falantes ZA.F. = 8 Ω (puramente resistivo). 
 
Determine quais impedâncias devem ser colocadas em Z1 , Z2 , Z3 para que nos alto 
falantes A, B, C toquem respectivamente somente as faixas de freqüências indicadas. 
 
Como os alto falantes estão ligados em paralelo na fonte de sinal, pode-se analisar 
independentemente: 
 
a) Determinação de Z1 
 
Para que A reproduza as baixas freqüências (circuito equivalente resulta a seguir) pode-se 
observar que, a impedância de Z1 deverá ser um Indutor L, no caso, um filtro Passa Baixa 
em A. 
 
 
Para o circuito RL, a freqüência de corte ocorre quando R = XL , ou seja; 
 
C
L f
RLLfLRXR
..2
..2.

  
 
Fazendo R = 8 , f C = 500 Hz 
 
mHL .55,2
500..2
8


 
 
Fazendo Vpi = 1 V e fazendo o cálculo do módulo Vpa [V] , resulta 
 43
 
   222222 ...2
)()(.|)(|
LfR
R
LR
R
XR
RVtv
jXR
Rtv
CL
pai
L
a









 
b) Determinação de Z3 
 
Para que C reproduza as altas freqüências (circuito equivalente resulta a seguir) pode-se 
observar que, a impedância de Z3 deverá ser um Capacitor C, no caso, um filtro Passa 
Alta em C. 
 
Para o circuito RC, a freqüência de corte ocorre quando R = XC , ou seja; 
 
C
C fR
C
CfC
RXR
..2
1
..2
1
.
1

 
 
Fazendo R = 8 , f C = 5 kHz 
 
FC .98,3
5000.8.2
1 

 
 
Fazendo Vpi = 1 V e fazendo o cálculo do módulo VpC [V] , resulta 
 
 44
2
2
2
2
22
...2
11
)()(.|)(|



















Cf
R
R
C
R
R
XR
RVtv
jXR
Rtv
C
C
pCi
C
C

 
 
c) Determinação de Z2 
 
Para que B reproduza as médias freqüências (circuito equivalente resulta a seguir) pode-se 
observar que, a impedância de Z2 deverá ser um Indutor L e um capacitor C em série, no 
caso, um filtro Passa Faixa em B. 
 
 
Para o circuito RLC, a freqüência de ressonância fR ocorre quando XL = XC , ou seja; 
 
LCLC
f
Cf
Lf
C
LXX RRCL
1
2
1
..2
1..2
.
1.  



 
 
Determinando fR como a média a seguir: 
 
Hzxf R .512.1000.5500  
 
Arbitrando L = 2,55 mH , f R = 1,512 kHz 
 
  F
mHxxxfL
C
LC
f
LC
f
R
RR 

98,3
151255,24
1
...4
1
2
1
2
1
2222
2
2 






 
 45
 
 
Fazendo Vpi = 1 V e fazendo o cálculo do módulo Vpb [V] , resulta 
 
2
2
22 1)(
)()(.|)(|





 





C
LR
R
XXR
RVtv
jXjXR
Rtv
CL
pbi
CL
b


 
2
2
...2
1...2
|)(|








Cf
LfR
Rtv
R
R
b


 
Os gráficos resultam: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 46
2.2. CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 
 
2.2.1. Introdução 
 
 A energia elétrica é gerada, transmitida, distribuída e consumida industrialmente 
através de circuitos trifásicos. A analise de sistemas deste tipo constitui um vasto campo 
de estudos. Felizmente, a compreensão do funcionamento de sistemas trifásicos 
equilibrados no regime senoidal estacionário é suficiente para os engenheiros elétricos cuja 
área de especialização não é a geração e distribuição de energia elétrica. As técnicas de 
análise de circuitos demonstradas em capítulos anteriores podem ser aplicadas a circuitos 
trifásicos equilibrados ou desequilibrados. Neste capítulo, usaremos estas técnicas para 
formular vários princípios simplificadores que facilitarão a análise de circuitos trifásicos 
equilibrados. 
 Por razões econômicas, os sistemas trifásicos quase sempre são projetados para 
funcionar no regime equilibrado. Assim, em caráter introdutório, é justificável que se 
concentre mais em circuitos equilibrados. A análise de circuitos trifásicos desequilibrados, 
se baseia em uma perfeita compreensão do funcionamento dos circuitos equilibrados. 
 Um sistema trifásico é constituído por fontes de tensão ligadas a cargas através de 
transformadores e linhas de transmissão. Para analisar um circuito desse tipo, podemos 
reduzi-lo a uma fonte de tensão ligada a uma carga através de uma linha. A omissão do 
transformador simplifica a discussão sem modificar a natureza dos cálculos envolvidos. A 
Fig. 01 mostra um circuito básico. A característica principal de um circuito trifásico 
equilibrado é o fato de que sua fonte produz uma tensão trifásica equilibrada. Inicialmente, 
será analisado em que consistem essas tensões. A seguir, as relações entre tensões e 
correntes nos circuitos Y-Y e Y- e, finalmente os cálculos e medidas de potência em 
circuitos trifásicos. 
 
 
 
Fig. 01 – Circuito trifásico 
 
2.2.2. Tensões Trifásicas Equilibradas 
 
Um conjunto de tensões trifásicas equilibradas é constituído por três tensões 
senoidais de mesma frequência e amplitude, mas defasadas entre si de exatamente 120º . 
As três fases são quase sempre chamadas de a , b e c , e a fase a é tomada como fase de 
referência. As três tensões são conhecidas como tensão da fase a , tensão da fase b e 
tensão da fase c. 
 Só existem duas relações possíveis entre a fase da tensão da fase a e as fases das 
tensões b e c. Uma das possibilidades é a de que a tensão da fase b esteja atrasada de 
 47
120º em relação à tensão da fase a , caso em que a tensão da fase c deverá estar adiantada 
de 120º em relação à tensão da fase a . Esta relação entre as três fases é conhecida como 
sequência de fases abc ou sequência de fases positiva. A outra possibilidade é de que a 
tensão da fase b esteja adiantada de 120º em relação à tensão da fase a , caso em que a 
tensão da fase c deverá estar atrasada de 120º em relação à tensão da fase a . Esta relação 
entre as fases é conhecida como sequência de fases acb ou sequência de fases negativa. 
Em notação fasorial, os dois conjuntos possíveis de tensões de fase equilibradas são: 
 
o
ma VV 0 
 
o
mb VV 120 
 
o
mc VV 120 
 [01] 
e 
o
ma VV 0 
 
o
mb VV 120 
 
o
mc VV 120 
 [02] 
 
As Eqs. 01 se aplicam à sequência abc ou positiva e as Eqs. 02 à sequência acb ou 
negativa. A Fig. 02 mostra os diagramas fasoriais das tensões representadas pelas Eqs. 01 
e 02. A sequência de fases corresponde ao sentido horário na Fig. 02. O fato de que um 
circuito trifásico pode ter duas sequencias de fase diferentes deve ser levado em 
consideração sempre que dois desses circuitos são ligados em paralelo. Os circuitos só 
funcionarão corretamente se tiverem a mesma sequência de fases. 
 
 
 
Fig. 02 – Diagramas fasoriais de dois conjuntos de tensões equilibradas - (a) com a 
sequência de fases abc ou positiva - (b) com a sequência de fases acb ou negativa 
 
 Outra característica importante de um conjunto de tensões trifásicas equilibradas é 
que a soma das três tensões é zero. Assim, tanto para as tensões da Eq. 01 como para as 
da Eq. 02, 
 48
0 cba VVV [03] 
 
Se a soma das tensões fasoriais é zero, a soma dos valores instantâneos das tensões 
também deve ser zero; assim, 
 
0 cba vvv [04] 
 
 Na medida em que foi colocado o que significa um conjunto de tensões trifásicas 
equilibradas, é possível enunciar o primeiro dos princípios simplificadores citados na 
introdução: 
Para conhecer um conjunto de tensões trifásicas equilibradas, basta conhecer 
uma das tensões e a sequência de fases. Assim, no caso de um sistema trifásico 
equilibrado, pode-se limitar a análise à determinação da tensão (ou corrente) em uma 
única fase. 
 
2.2.3. Fontes de Tensão Trifásica 
 
 Uma fonte de tensão trifásica é um gerador com três enrolamentos separados 
distribuídos ao longo da periferia do estator. Cada enrolamento constitui uma das fases do 
gerador. O rotor do gerador é um eletroímã acionado com velocidade angular constante 
por uma máquina motriz, como uma turbina a gás ou a vapor. A rotação do eletroímã 
induz tensões senoidais nos três enrolamentos Os enrolamentos são projetados de tal 
forma que as tensões senoidais nelas induzidas têm a mesma amplitude e estão defasadas 
de 120o. A frequência da tensão induzida peloeletroímã rotativo é a mesma nos três 
enrolamentos, já que eles permanecem estacionários durante todo o processo. A Fig. 03 
mostra a estrutura interna de um gerador trifásico. 
 
 
 
Fig. 03 – Estrutura interna de um gerador trifásico 
 
 Existem duas formas de ligar os enrolamentos de um gerador trifásico; estas 
configurações denominadas Y e  são mostradas na Fig. 04, na qual os enrolamentos do 
gerador foram representados por fontes de tensão independentes. O terminal comum da 
 49
ligação em Y, rotulado como n na Fig. 04-a, é chamado de terminal neutro do gerador. 
O terminal neutro pode estar ou não disponível para conexões externas. 
 
 
 
Fig. 04 – Dois tipos de ligação possíveis de um gerador trifásico ideal - (a) Ligação 
tipo Y - (b) Ligação tipo  
 
 
EXEMPLOS – ÁREA I – CAP. 2.2 
 
1.Com relação aos circuitos trifásicos 3 determine: 
 
 a) Represente graficamente no domínio do tempo, as três fases de uma rede trifásica. 
 
 
 
)cos()()cos()()(  PaPaa VvtVtvtv  
 
 50
 
)120cos()()120cos()()( o
Pb
o
Pbb VvtVtvtv   
 
 
)120cos()()120cos()()( o
Pc
o
Pcc VvtVtvtv   
 
A plotagem das três fases num mesma gráfico esta representada a seguir: 
 
 
 
 51
b) Para um tensão de ´pico de 311,13 V entre fases, qual a tensão eficaz de linha e de fase. 
 
 
 
 
 
VL = Tensão de Linha ou Tensão Entre Duas Fases 
Quaisquer 
 
VF = Tensão de Fase ou Tensão Uma Fase Qualquer e 
Neutro 
 
3
L
F
VV  
 
VL , VF  Veficaz ou VRMS 
 
 
FFefLLefLinhaP VVVVVVVV  .127
3
220.220
2
13,311.13,311 )()()( 
 
2. Uma rede 3 de 220 V, determine a tensão de fase para uma carga: 
 
a) Ligada em  (Triângulo) 
 
 
VVV deLaCF .220)(Re)arg(   (Não Utiliza o Neutro) 
 
3
)(Re
)arg(
deL
aCF
I
I  
 
 
 
b) Ligada em Y (Estrela) 
 52
 
 
V
V
VV deL
deFaCF .127
3
)(Re
)(Re)arg(  
 
)(Re)arg( deLaCF II  
 
Se as cargas são equilibradas (todas resistências iguais) então 
 

 0NTSR IIII  (Pode-se Não Utilizar o Neutro) 
 
3. Três resistências RL 220 Ω cada, são ligadas em uma rede 3 de 220 V, determine qual 
a corrente de fase, de linha e potência dissipada em cada resistência para: 
 
a) Ligada em  (Triângulo) 
 
 
VVV deLaCF .220)(Re)arg(   (Não Utiliza o Neutro) 
 
 53
AV
R
V
I
L
aCF
aCF 1
220
.220)arg(
)arg( 

 
 
AII aCFdeL 73,13)arg()(Re  
 
WxxPPWxxIVP FTotalFFFase 660220332201220  
 
Uma outra forma de calcula a Potência Total é: 
 
WxxxIxVP LLT .66073,122033  
 
b) Ligada em Y (Estrela) 
 
 
V
V
VV deL
deFaCF .127
3
220
3
)(Re
)(Re)arg(  
 
AV
R
V
II
L
aCF
deLaCF 57,0
3
1
220
.127)arg(
)(Re)arg( 

 
 
WxxPPWxxIVP FTotalFFFase .2207333.7357,0127  
 
Uma outra forma de calcula a Potência Total é: 
 
WxxxIxVP LLT .22057,022033  
 
Observa-se que é possível determinar a Potência Total, tanta na ligação em estrela como 
triângulo, considerando apenas as tensões e corrente de Linha. Isto é extremamente útil 
uma vez que, em alguns casos pode ser complicado, ou ate mesmo impossível medir a 
 54
corrente de fase. Um exemplo é um motor elétrico onde não é possível medir diretamente 
as correntes de fase. 
 
4. Determine Fasorialmente e no Domínio do Tempo, todas as tensões da rede 3 de 
Linha e de Fase, tomando como referência a tensão entre a Fase R e o Neutro 
 
RMSefLTS
RMSefFRN
VVVVV
VVVVV




.220
.127
: 
 
o
RNRNRNRN VtVtvV 0)cos()( 

 
o
SN
o
SNSNSN VtVtvV 120)120cos()( 

 
o
TN
o
TNTNTN VtVtvV 120)120cos()( 

 
o
SR
o
SRSRSR VtVtvV 150)150cos()( 

 
o
ST
o
TSTSTS VtVtvV 90)90cos()( 

 
o
RT
o
RTRTRT VtVtvV 30)30cos()( 

 
Obs 
 

SNV 

RNV 

TNV  Tensões de Fase 

SRV 

TSV 

RTV  Tensões de Linha 
 
Observe que, o módulo do fasor nestes exemplos está identificado com o valor RMS e não 
com a Amplitude. Isto ocorre seguidamente em análise de circuitos uma vez que, 
Amplitude e Valor RMS diferem somente do valor 2 . 
Foi atribuída uma VF = 100 V de Amplitude e VL = 142 V e os gráficos traçados a seguir: 
 55
 
 
 
 
5. Uma carga RL = 10 + j10 é ligada a uma rede trifásica. Determine as correntes e tensões 
nos componentes para: 
a) Ligação Estrela ( VL = 380 V ) 
b) Ligação Triângulo ( VL = 220 V ) 
 
a) Tomando como referência o
RNV 0220

 
 
 
 
 
Diagrama 
Fasorial 
 
o
o
RN
RN j
jZ
VI 4555,1500,1100,11
1010
0220






 
 
 56
o
o
SN
SN j
jZ
VI 7555,1502,1502,4
1010
120220






 
 
o
o
TN
TN j
jZ
VI 16555,1502,402,15
1010
120220






 
 
0)02,402,15()02,1502,4()1111( 

jjjIIII TNSNRNN 
 
b) Tomando como referência o
RTV 0220

 
 
As Correntes de Fase são calculadas como: 
o
o
RT
RT j
jZ
VI 4555,1500,1100,11
1010
0220






 
 
o
o
SR
SR j
jZ
VI 7555,1502,1502,4
1010
120220






 
 
o
o
TS
TS j
jZ
VI 16555,1502,402,15
1010
120220






 
 
 
 
 
Diagrama 
Fasorial 
 
As Correntes de Linha são calculadas como: 
 
 57
o
SRRTRSRRRT jjjIIIIII 7594,2602,2698,6)02,1502,4()1111( 

 
o
TSSRSTSSSR jjjIIIIII 4594,2604,1904,19)02,402,15()02,1502,4( 

 
o
RTTSTRTTTS jjjIIIIII 16594,2698,602,26)1111()02,402,15( 

 
 
6. Considere a carga trifásica desequilibrada ligada em Estrela. Determine as corrente 
tomando como referência o
RTV 0220

 
a) Com Neutro Ligado 
b) Com Neutro Desligado 
 
 
a) Com Neutro Ligado 
 
 
Diagrama 
Fasorial 
 
o
o
oo
RN
RN
jZ
VI 13,2370,12
13,5310
30127
86
30127









 
 
o
o
oo
SN
SN
jZ
VI 9047,8
015
90127
015
90127









 
 
o
o
oo
SN
TN
jZ
VI 57,17636,11
57,2618,11
150127
510
150127









 
 
 
 58
 
a) Com Neutro Desligado 
 
 
 
0)510()15( 

jIIV TSTS 
 
o
TSR jIII 120220120220)510()15()0( 

 
 
 
 
 
0)86()15( 

jIIV RSSR 
 
o
TSR IIjI 120220)0()15()86( 

 
 
 59
 
 
0)510()86( 

jIjIV TRRT 
 
o
TSR jIIjI 0220)510()0()86( 

 
 
As três equações acima resultam em um sistema de equações de números complexos 
sendo um cálculo bastante complicado. Uma vez que a carga é desequilibrada, as 
correntes nas três fases também são diferentes, tanto em amplitude quanto em defasagem. 
Assim, o centro da estrela na carga, resulta em uma Tensão de Neutro Deslocada, que 
pode ser denominado de VN’ para diferenciar do neutro da rede VN. 
 
A tensão na carga VSN’ referenciada a VN’ é calculada como: 
 
 
 
)015(' jxIV SSN 

 
 
'''' 0 SNSNNNNNSNSN VVVVVV

 
 
As outras tensões na carga VRN’ e VTN’ referenciada a VN’ são calculadas de forma 
análoga: 
 
 
 
 
 
 60
7. O circuito abaixo, é o circuito equivalente, por fase, de um motor de indução trifásico 
de 10 HP, VL = 380 V ligação em estrela, rendimento η = 0,76 , FP = 0,85. 
 
 
 
a) Determine uma impedância RL equivalente para este circuito 
 
Como um motor é um sistema equilibrado, pode-se considerar somente a fase R, por 
exemplo, e extrapolar que as outras fases terão as mesmas características de corrente. 
 
Ativaio
o
io PPPW
P
PWxP  ,.79,815.9
76,0
460.7.460.774610

 
 
WPPP At
FaseAtiva .93,271.3
3
79,815.9
3Re/  
 
VA
P
PVA
FP
P
P Apa
FaseApa
i
Apa .33,849.3
3
.548.11
85,0
79,815.9
/  
 
A
V
P
IxIVxIVP
t
FaseApa
aatefefFaseApa 50,17
220
33,849.3/
/  
 
 .68,10
5,17
93,271.3
22
Re2
Re
a
eea I
PRxRIP 
 
oFP 8,31)85,0(cos)(cos 11   
 
R
o
FaseApaFaseat VAxsensenPP .43,028.2527,033,849.3)8,31(.33,849.3)(.//Re   
 
 62,6
5,17
43,028.2. 22
Re2
/Re
a
atFase
eeaXeFaseat I
PXXIPP 
 
H
f
XLLfX e
eee 018,0
60..2
62,6
..2
...2 

 
 61
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O triângulo de potênciaspor fase está representado a seguir 
 
 
b) Determine os capacitores para correção do Fator de Potência 
 
 
 
Neste caso, o capacitor será colocado em paralelo por fase. (O mais comum é colocar 
entre fases, mas isto dificultaria os cálculos do exemplo). 
 62
 
Cf
X
X
V
PP C
C
t
XatXat CL ...2
143,028.2
2
)(Re)(Re 
 
 
VFCVVVF
Vf
P
C fepfe
t
Xat C .311/16,1112.220/16,111
220.60..2
43,028.2
...2 ..22
)(Re 

