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Circuitos Resistivos em CA 2.6 - Dado circuito seguinte, determine: V1 v=12|90° V V2 a) Expressões de v(t) e i(t) nas formas trigonométrica e complexa; b) Formas de onda e representações fasoriais de v(t) e i(t); c) Expressões de e nas formas trigonométrica e complexa; d) Formas de onda e representações fasoriais de e e) Potências de pico e média fornecida pelo gerador e dissipada por cada resistor; f) Formas de onda das potências do item anterior. 2.7 - Dado circuito seguinte, determine: i v=12|90° a) Expressões de v(t) e i(t) nas formas trigonométrica e complexa; b) Formas de onda e representações fasoriais de v(t) e i(t); c) Expressões de i1(t) e nas formas trigonométrica e complexa; d) Formas de onda e representações fasoriais de Sinais Senoidais 592.2 - Uma tensão senoidal tem frequência de 100Hz, valor de pico 10V e inicia ciclo com atraso de /3 rd. Pedem-se: a) Período e frequência angular; b) Expressão matemática; c) Representação gráfica. Diagrama Fasorial 2.3 - Represente os sinais do Exercício Proposto 2.1 por diagrama fasorial. Representação com Números Complexos 2.4 - Represente os sinais do Exercício Proposto 2.1 por números complexos. Operações com Diagrama Fasorial e Números Complexos 2.5 - Dadas as tensões 0° V e = 20.sen(wt + / 2) (V), pedem-se os sinais: = + V2 fasorialmente; b) V3 = matematicamente através de números complexos; c) = + V2 matematicamente através das expressões trigonométricas; d) V3 = V1 + V2 graficamente (soma ponto a ponto); = fasorialmente; = V2 matematicamente através de números complexos; g) V4 = V1 - V2 matematicamente através das expressões trigonométricas; h) V2 graficamente (subtração ponto a ponto). 58Exercícios Propostos Análise Gráfica e Matemática do Sinal Senoidal 2.1 - Dado gráfico das tensões senoidais em seguida, pedem-se para ambos os sinais: 12 t (ms) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -12 16 t 0 (ms) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -16 a) Valor de pico e valor de pico a pico; b) Período, frequência e frequência angular; c) Fase inicial e defasagem entre eles; d) Expressão matemática. Sinais Senoidais 573) Um chuveiro elétrico residencial tem circuito interno e as especificações a seguir: R1 R2 I=? MM Alimentação: 220 Vrms rms Potência inverno: 3500 W Inverno 60 Hz I=? Verão Potência verão: 2500 W Desligado a) Qual valor das resistências R1 e R2? Na posição inverno, apenas a resistência R1 é alimentada. Assim sendo, seu valor pode ser calculado da seguinte forma: 13,830 Na posição verão, as duas resistências ficam associadas em série. Então, valor de R2 pode ser calculado da seguinte forma: R1 R2 19,360 + = R2 =19,36-R1 = R2 =19,36-13,83 = R2 = 5,530 b) Qual valor dos fusíveis que devem ser utilizados para proteção da instalação elétrica? A corrente é mais intensa quando chuveiro está na posição inverno: 3500 Irms =15,91A = O valor de pico dessa corrente vale: = Assim, os fusíveis devem ser dimensionados para uma corrente maior que 22,5 A. Comercialmente existe, por exemplo, fusível de 30 A. 562) No Brasil, as residências recebem pela rede elétrica as tensões de 110V e rms' as duas com frequência de 60 Hz. Determinar rms para rms : a) O período: É O mesmo para ambos os sinais: 60 b) A frequência angular: É a mesma para ambos os sinais: 3 = 2. f = 2.60 = 377 c) Valores de pico e de pico a pico: rms = V Vpp = = rms = Vpp = = 622V d) Expressões matemáticas: rms = v(t) = 156.sen377t (V) rms = wt v(t) = 311.sen377t (V) Sinais Senoidais 55i(t) R R Figura 2.11 - Correspondência entre e Vcc A potência pode ser calculada por uma das seguintes expressões: P ou ou = Apenas para finalizar, já vimos que as tensões e correntes alternadas senoidais num circuito podem ser representadas por números complexos. Daqui em diante, os seus módulos podem ser expressos em valores de pico ou eficazes, e neste último caso, suas grandezas ou unidades devem vir acompanhadas da sigla rms para que não sejam confundidas, isto é: Em valores eficazes: = Vrms e Em valores de pico: e Exemplos 1) Uma fonte CA com tensão de pico Vp = 100V alimenta um resistor de valor R= Qual a tensão CC que, aplicada a esse resistor, faz com que ele dissipe a mesma potência? A tensão eficaz vale: v(t) R=1000 = 100 2 = V A potência dissipada pelo resistor vale: 2 R 100 50W Assim, a mesma potência seria dissipada se fosse ligada ao resistor de uma tensão contínua de 70,7V. 54v(t) Vrms t 0 T i(t) i(t) V (t) R 0,707V Irms t 0 T -Ip (a) Circuito (b) Sinais Figura 2.10 - Sinais senoidais num circuito resistivo. A tensão e a corrente eficazes no resistor valem Vrms Vp 2 = e Irms = onde: R A potência dissipada pelo resistor, calculada em função dos valores eficazes de corrente e tensão, é equivalente à potência média P analisada no tópico anterior, ou seja: P = = Vp 2 2 = 2 Desta forma, para sinais alternados senoidais é muito mais fácil trabalhar em função de valores eficazes, uma vez que a potência resultante nos cálculos já corresponde à potência média P. Essa mesma potência seria dissipada caso fosse aplicada ao resistor uma tensão CC de valor igual ao da tensão eficaz, conforme indica a Figura 2.11. Sinais Senoidais 53são dadas sempre em valores eficazes. Matematicamente, para uma tensão alternada senoidal, a tensão eficaz V pode ser calculada a partir do valor de pico ou de pico a pico V pp com as rms seguintes expressões: = p = V pp ou Vrms Observações A sigla rms significa root mean square ou raiz média quadrática. O conceito de valor eficaz é aplicado também à corrente elétrica. As tensões da rede elétrica são dadas em valores eficazes (110V rms e 220 rms Para compreender melhor significado físico desse valor, consideremos um sinal senoidal com tensão de pico alimentando um resistor R, conforme a Figura 2.10: 522.7 - Valor Eficaz Para sinais alternados senoidais, existe um conceito muito importante denominado valor eficaz ou rms. O valor eficaz V ou V de uma tensão alternada corresponde ao valor ef rms de uma tensão contínua que, se aplicada a uma resistência, faria com que ela dissipasse a mesma potência média caso fosse aplicada essa tensão alternada. do tonsão de corrente alternadas realizadas por multímetrosA Figura 2.9 mostra como fica a forma de onda da potência: p(t) v(t) P i(t) Pp wt 0 Figura 2.9 - Tensão, corrente e potência CA num resistor. Como resultado, a potência elétrica consumida é pulsante e sempre positiva, pois num mesmo instante a tensão e a corrente são ambas positivas ou negativas, que prova que, independente da polaridade da tensão ou do sentido da corrente, a resistência comporta-se sempre como um receptor, consumindo a potência fornecida pela fonte, que se comporta sempre como um gerador. Além disso, nota-se que a frequência da forma de onda da potência é dobro da frequência da tensão e da corrente. Neste caso, Pp representa a potência de pico e vale: Pela Figura 2.9 percebe-se também que, enquanto a corrente e a tensão têm valores médios iguais a zero, a potência média P dissipada pelo resistor é a metade da potência de pico, ou seja: Pr P = 2 2 Como será visto a seguir, a potência média é a que interessa na análise da potência nos circuitos em corrente alternada. Sinais Senoidais 51v(t) i(t) 0 (a) Diagrama Fasorial (b) Formas de Onda Figura 2.8 - Tensão e corrente CA num resistor. Como se vê, resistor não provoca nenhuma defasagem entre tensão e corrente, portanto a resistência elétrica pode ser representada por um número complexo com módulo R e fase nula (na forma polar) ou composto apenas pela parte real R (na forma cartesiana), isto é: Forma polar: R=R 0°=R Forma cartesiana: Representando a Primeira Lei de Ohm com números complexos: e R=R 0° V p Vp = R R 0° R Potência Dissipada pela Resistência Elétrica Vejamos agora que acontece com a potência elétrica numa resistência submetida a uma tensão alternada senoidal. A potência instantânea p(t) dissipada por uma resistência elétrica R pode ser obtida pelo produto, ponto a ponto, entre v(t) e i(t), ou em função de R, isto é: ou ou 502.6 - Circuitos Resistivos em CA e A resistência elétrica, quando submetida a uma tensão alternada, produz uma corrente elétrica com a mesma forma de onda, mesma frequência e mesma fase da tensão, porém com amplitude que depende dos valores da tensão aplicada e da resistência, conforme a Primeira Lei de Ohm, que pode agora ser generalizada para sinais alternados senoidais. Tensão e Corrente na Resistência Elétrica Considere circuito seguinte no qual uma fonte de tensão senoidal v(t) alimenta um resistor R: Sendo: Pela Primeira Lei de Ohm tem-se: R = R + i(t) = sendo = R valor de pico da corrente. i(t) v(t) R Figura 2.7 - Circuito resistivo em CA. A forma de onda da tensão e da corrente, bem como a representação fasorial desses sinais, está na Figura 2.8. Sinais Senoidais 49v(V) 22,36 20 V1 (1) 10 V2 180° 360° wt 0 -10 -20 -22,36 (10 -30°) V1 - V2 = 20 60° + 10 - 30°+180° V1- V2 = V1-V2 = 22,36 86,56° V v(V) V V1 22,36 20 V1-V2 V1 V1 10 V2 86,56° 180° -V2 wt 0 360° -10 -20 -22,36 Multiplicação e Divisão Para realizar operações de multiplicação e divisão que envolvem tensões, correntes e potências complexas, basta utilizar a forma polar, conforme foi visto no Capítulo 1, uma vez que por diagrama fasorial tais operações seriam extrema- mente complicadas. 48b) V1 = 20 V e V2 = 12 -90°V V1 + V2 = 20 -90° = - 30,96° V v(V) V1 23,32 V V1 20 V2 12 V1 wt 0 30,96° 180° 360° V2 -12 -20 -23,32 20 0° (12 -90° ) = 20 0° + 12 -90°+180° V1 V2 = - V1 V2 = 20 0° + 12 90° = 20 + j12 = 23,32 30,96° V v(V) V1-V2 23,32 V 20 V1 12 V2 -V2 V2 30,96° 180° wt 0 360° V1 -12 -20 -23,32 c) V1 = 20 60° V e V2 = 10 -30° V V2 = 20 60° + 10 -30° = 10 + j17,32 + 8,66 - j5 V1 + V2 = = 22,36 33,43° V Sinais Senoidais 47Exemplos Dadas as tensões seguintes, obter V1 + V2 - por diagrama fasorial e por números complexos, representando resultado graficamente: a) 0° V e V2 = 0° V = 20 0° = 20 10° V v(V) V1+V2 25 V1 20 V V2 5 V2 V1 V1 +V2 180° 360° -5 -20 -25 V1 V2 = 20 0° (5 0° ) = 20 0° + 5 180° V1 V2 = 20-5=15 = 15 0° V v(V) V V1 20 15 V1-V2 5 0 V1-V2 V1 360° -5 -V2 180° -15 -20 46ser complexos representam tensões, correntes e potências. Com diagrama fasorial tais operações podem ser realizadas por um processo gráfico denominado método do paralelogramo. Énecessário conhecer uma propriedade da representação por diagrama fasorial, como segue: Número Negativo (ou Multiplicado por-1) Num diagrama fasorial, dado um fasor, seu negativo corresponde ao deslocamento do fasor em 180°. Nos números complexos, corresponde a: Forma polar Somar ou subtrair 180° na fase. Forma cartesiana Trocar os sinais das partes real e imaginária. Sinais Senoidais 45Expressão trigonométrica: v(t) = (V) Número complexo: 60° V ou v=6+j10,39 V 2.5 - Operações com Diagrama Fasorial e Números Complexos Para a resolução de circuitos elétricos em corrente alternada, são necessárias diversas operações matemáticas entre tensões, correntes e potências. As operações de adição e subtração podem ser realizadas tanto com diagrama fasorial como através dos números complexos, embora este último processo seja mais indicado, devido à facilidade e, principalmente, à precisão dos resultados. Já as operações de multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada devem ser realizadas somente com números complexos, dadas as limitações do digrama fasorial. Adição e Subtração Já vimos no Capítulo 1 como as operações de adição e subtração podemPor que quatro formas de representação de um sinal senoidal? Forma de onda: representa visualmente sinal tal como ele é e como aparece no osciloscópio, durante a análise de um circuito. Ele pode estar no domínio temporal v(t) ou angular v(0). Diagrama fasorial: representa fenômeno graficamente de forma mais simplificada que a forma de onda, permitindo, inclusive, operações de soma e subtração de vários sinais. Expressão trigonométrica: matematicamente é a função com todos os seus detalhes, como amplitude, frequência angular e fase inicial, além de permitir cálculo de valores instantâneos. Número complexo: matematicamente é a função de forma mais simplificada que a expressão trigonométrica, informando apenas a amplitude e a fase inicial, facilitando, porém, operações de soma, subtração, multiplicação e divisão de vários sinais. Exemplo Vejamos as quatro formas diferentes de representar uma tensão senoidal: Forma de onda v(0)[ [V] 12 0 wt 60° 120° 180° 240° 300° 360° 420° 480° -12 Diagrama fasorial v(0) t=0 60° 442.4 - Representação com Números Complexos Como foi visto no Capítulo 1, um número complexo tem um módulo e fase, como na representação fasorial. Isso sugere a possibilidade de representar um sinal senoidal também por um número complexo, sendo a amplitude e a fase inicial do sinal correspondentes, respectivamente, ao módulo e ao ângulo do número complexo. Nomenclaturas utilizadas matematicamente: Expressão trigonométrica: v(t) = Vp. sen(wt + v(t) tensão instantânea (variável) letra minúscula tensão de pico (valor fixo) letra maiúscula p Expressão em número complexo: V tensão complexa (variável) letra minúscula Vp tensão de pico (valor fixo) letra maiúscula p Exemplo Representar as tensões e a seguir na forma de números complexos: Forma Trigonométrica Número Complexo =10. sen wt (V) V1 = 10 0° V (V) V2 = 15 60° V Observação No caso de tensões, correntes e potências elétricas representadas por números complexos, os módulos podem ser dados tanto por valores de pico quanto por valores eficazes. Este último conceito será estudado mais adiante neste capítulo. Sinais Senoidais 43w=20 15 t (ms) 0 100 15V -7,5 30° -15 A defasagem entre dois sinais senoidais de mesma frequência pode também ser visualizada num diagrama fasorial. Exemplo Representar os seguintes sinais senoidais graficamente e através do diagrama fasorial correspondente, determinando a defasagem entre eles: (V) (V) Pelas expressões, as representações gráfica e fasorial desses sinais são as seguintes: v(V) 8 V2 5 V1 4,33 wt(rd) 0 2 V2 4 -5 -8 Assim, tanto pelo diagrama fasorial como pelo gráfico, é possível verificar que a defasagem entre os sinais é de rd ou 90°, sendo que V1 está adiantado em relação a 42Exemplo Representar os seguintes sinais senoidais graficamente e através do diagrama fasorial correspondente: = (V) - 100 A frequência de vale = 50Hz Portanto, seu período é de = 1 50 1 = 20ms O sinal inicia seu ciclo adiantado de /3 rd, e para t = 0: V1 = 3 (1) = 100 v,(V) 10 10V 8,66 t (ms) 0 20 3rd -10 A frequência de = Portanto, seu período é 1 10 = O sinal inicia seu ciclo atrasado de 30° (ou TO / 6 rd), e para t = 0: = = Sinais Senoidais 41Os valores instantâneos podem ser calculados facilmente por: 0=0 = 0=60° = 0=90° v(0) = e assim por diante para quaisquer outros valores de Se no instante t=0 vetor OP formar um ângulo 0 com a referência do diagrama fasorial (parte positiva do eixo horizontal), significa que O sinal possui uma, fase inicial e, portanto, valor instantâneo da tensão será dado por: v(t) Se sinal inicia seu ciclo adiantado, é positivo. Se sinal inicia seu ciclo atrasado, é negativo, como na Figura 2.6. Na Figura 2.6, V é a tensão no instante t=0. (1) (1) (0) (0) (0) 0 1 (a) Sinal adiantado (b) Sinal atrasado Figura 2.6 - Representação fasorial da fase inicial. 40A projeção do segmento OP = no eixo vertical é uma função seno, p reproduzindo, portanto, a tensão senoidal v(t) ou v(t) = Vp.sen wt ou v(0) Vp.sen 0 A Figura 2.5 mostra diagrama fasorial e os valores instantâneos de tensão para vários valores de ou wt: (0) 90° 120° 60° 150° Vp 0 Vp 210° 240° 270° 300° 330° 360° 180° 0 = (rd) 0° 30° 60° 90° 120° 150°180° -Vp 210° 3300 240° 270° Figura 2.5 - Valores instantâneos de um sinal senoidal. Sinais Senoidais 39t P Função Senoidal v(t) 0 0 Figura 2.4 - Diagrama fasorial de um sinal senoidal.Graficamente, tem-se: v(V) V1 12 V2 8 0 wt(rd) -8 -12 10=1356 Em relação a tem-se: - 2 4 = - 4 Portanto, V2 está atrasado de rd em relação a Em relação a 4 2 Portanto, V1 está adiantado de rd em relação a 2.3 - Diagrama Fasorial Outra forma de representar um sinal senoidal é através de um fasor ou vetor girante de amplitude igual ao valor de pico do sinal, girando no sentido anti-horário com velocidade angular W. A esse tipo de representação dá-se nome de diagrama fasorial, como indica a Figura 2.4. 38v(V) V1 10 5 0 TO 2 2 2 2 -5 -10 b) = - / 4) (V) = 12. sen(wt - /4) (V) Graficamente, tem-se: v(V) V1 18 12 wt(rd) 0 -12 -18 Portanto, V1 e V2 iniciam ciclo atrasados em / 4 rd, mas a defasagem entre eles é nula = isto é, os sinais estão em fase ou em sincronismo. c) V1(t) = + / 4) (V) = - /2) (V) Sinais Senoidais 3715 250 t(us) 0 -7,5 -15 Defasagem Num circuito elétrico, é muito comum a análise de mais de um sinal senoidal, sendo necessário, às vezes, conhecer a diferença de fase entre eles. A diferença de fase entre dois sinais de mesma frequência é denominada defasagem, a qual é medida tomando-se um dos sinais como referência. Exemplos Qual a defasagem entre os seguintes sinais: a) = /2) (V) (V) Observe em seguida a representação gráfica. Verifique que V1 está adiantado de /2 rd em relação a V2 ou V2 está atrasado de / 2 rd em relação a V1 Isso significa que a defasagem de V1 em relação a V2 é de = rd ou a defasagem de V2 em relação a V1 é de rd. 36Exemplo Representar graficamente os seguintes sinais senoidais: = (V) = (V) A frequência de 20k = Portanto, seu período é de 1 = 1 = 0,1ms = 100us 10k O sinal inicia seu ciclo adiantado de /3 rd, e para t = 0, tem-se: 10 8,66 t(us) 0 100 -10 A frequência de = = 4kHz Portanto, seu período é de: 1 = 1 = 0,25ms = 250us 4k O sinal inicia seu ciclo atrasado de 30° (ou /6 rd), e para t = 0, tem-se: = 15. sen(-30°) = -7,5V Sinais Senoidais 35Fase Inicial Nos circuitos elétricos, nem sempre um sinal senoidal inicia seu ciclo no instante t=0 S. Neste caso, dizemos que sinal possui uma fase inicial Assim sendo, a expressão completa para representar sinal senoidal deve incluir essa fase inicial, conforme segue: v(t) = Se sinal inicia seu ciclo adiantado, é positivo. Se sinal inicia seu ciclo atrasado, é negativo, conforme a Figura 2.3. v(V) wt(rd) 0 (a) Sinal adiantado v(V) wt(rd) 0 -0 (b) Sinal atrasado Figura 2.3 - Representação gráfica da fase inicial. 34Tensão de pico: Tensão de pico a pico: pp Como um ciclo completo se repete a cada 0,25 seu período vale T = 0,25 S. Em 1 S são completados quatro ciclos, isto é, a frequência Matematicamente, tem-se, portanto: f = 1 1 A frequência angular vale Como essa tensão está representada graficamente no domínio do tempo, sua expressão é: wt => Para sabermos valor da tensão num determinado instante t, por exemplo, em t = 0,6 basta substituirmos este valor na sua expressão matemática: v(t) = = 2,94V v(V), 5 2,94 t(s) 0 0,25 0,5 0,6 0,75 1,0 -5 Sinais Senoidais 33v(t) = Vp.senwt e Sendo: = valor da tensão no instante t ou para ângulo Vp = valor de pico ou amplitude máxima da tensão (em V) = frequência angular (em rd/s) = ângulo (em rd) Frequência Angular A frequência angular ou velocidade angular, representada pela letra grega (ômega), corresponde à variação do ângulo do sinal em função do tempo. Das expressões matemáticas anteriores tem-se a relação = wt. Pelos gráficos da Figura 2.2, quando tem-se que Assim, é válida a relação Portanto, a frequência angular pode ser calculada por ou T Exemplo Analisemos seguinte sinal senoidal: v(V), 5 t(s) 0 0,25 0,5 0,75 1,0 -5 32v(0)[v] Vp wt = 0 (rd) 0 TO (b) Domínio angular Figura 2.2 - Gráficos da tensão senoidal. Valor de Pico e Valor de Pico a Pico A amplitude máxima, positiva ou negativa, que a tensão senoidal pode atingir é denominada tensão de pico V e a amplitude total, entre os valores máximos positivo e negativo, é denominada tensão de pico a pico sendo: 2.Vp Período e Frequência O tempo que a função necessita para completar um ciclo chama-se período (T) e número de vezes que um ciclo se repete por segundo chama-se frequência (f), sendo a relação entre eles a seguinte: 1 f T Sendo: segundo ou c/s hertz ou ciclos/segundo Representação Matemática Matematicamente, os gráficos da tensão senoidal nos domínios temporal e angular podem ser representados, respectivamente, por: Sinais Senoidais 31Sinal Alternado (CA ou AC) O sinal alternado (CA - Corrente Alternada ou AC - Alternate Current) varia de polaridade e valor ao longo do tempo e, dependendo de como essa variação ocorre, há diversas formas de sinais alternados (senoidal, quadrada, triangular etc.). Dessas formas de onda, a mais importante para estudo é a senoidal, que será abordada daqui em diante. 2.2 - Análise Gráfica e Matemática do Sinal Representação Gráfica Uma tensão senoidal pode ser representada graficamente de duas formas: nos domínios temporal e angular, como indica a Figura 2.2. v(t)[v] Vp Vpp t (s) 0 T (a) Domínio temporal 302 Sinais Senoidais 2.1 Introdução 2.2 - Análise Gráfica e Matemática do Sinal Senoidal 2.3 - Diagrama Fasorial 2.4 Representação com Números Complexos 2.5 - Operações com Diagrama Fasorial e Números Complexos 2.6 Circuitos Resistivos em CA 2.7 - Valor Eficaz - Exercícios Propostos 2.1 - Introdução Os circuitos elétricos trabalham com tensões e correntes contínuas e alternadas. Em diversos dispositivos, a forma de onda da corrente depende da forma de onda da tensão neles aplicada, além da natureza dos dispositivos, ou seja, se são resistivos, indutivos ou capacitivos. Este capítulo aborda estudo gráfico e matemático da forma de onda senoidal, que é a mais importante para a análise de circuitos em corrente alternada. Sinal Contínuo (CC ou DC) O sinal contínuo (CC Corrente Contínua ou DC Direct Current) tem sempre a mesma polaridade, e seu valor pode ser constante ou variável. A Figura 2.1(a) mostra um resistor alimentado por uma fonte de tensão contínua e constante, bem como as formas de onda da tensão (b) e da corrente (c). V(v) I(A) I V V I R t t (a) Circuito (b) Tensão contínua (c) Corrente contínua Figura 2.1 - Formas de onda da tensão e corrente contínuas. Sinais Senoidais 29Exercícios Propostos Representação dos Números Complexos 1.1 - Converter os seguintes números complexos na forma polar: f) = 1.2 - Converter os seguintes números complexos na forma cartesiana: = 30° = 150° = 0° c) -30° g) Z7 =3,56 = 90° h) 180° Operações com Números Complexos 1.3 - Dados os números complexos Z2, e efetuar as seguintes operações, deixando as respostas na forma cartesiana: = = 30° = -20 - j40 b) h) d) 1.4 Efetuar as operações dos itens (g), (h), (i) e (j) do Exercício Proposto 1.3 usando a forma cartesiana. 28Conjugado de um Número Complexo Dado um número complexo genérico ou seu , conjugado é definido como: ou Im b Z Z R Z -b 2* Figura 1.4 - Conjugado de um número complexo. A multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado tem a qualidade de eliminar a parte imaginária do número, pois: = (resultado somente com parte real) A divisão entre dois números complexos na forma cartesiana pode ser realizada como segue: Divisão: acha-se conjugado (z*) do denominador, multiplica-se pelo numerador e pelo denominador, e realizam-se as operações necessárias para simplificar resultado. Exemplo Usando a forma cartesiana, realizar a operação conforme item (i) do exemplo visto anteriormente e comparar os resultados: -25+j43,3+j43,3+75 = 50 + j86,6 = 60° Números Complexos 274 -90° 4 h) 10 60° = 10 - 90°-60° = 0,4 10 120° 10 i) - 120°-60° =1 60° 10 60° 10 j) 10 4 -90° = 10 4 120°-(-90°) = 2,5 210° É possível também realizar as operações de multiplicação e divisão com a forma cartesiana, todavia processo é um pouco mais trabalhoso. Multiplicação: aplica-se a propriedade distributiva e somam-se as partes reais e imaginárias resultantes. Exemplo Usando a forma cartesiana, realizar a operação conforme item (a) do exemplo anterior, e comparar os resultados: = (j4.5) + (j4.j8,66) = = 20 + j54,64 34,64 = -14,64+j54,64 Convertendo resultado na forma polar, tem-se: = = 54,64 = 14,64 logo, = 180 - 75=105° = e, portanto, = 56,6 Para realizar a operação de divisão entre dois números complexosna forma cartesiana, é necessário utilizar conceito de conjugado. 26as operações multiplicação e divisão Z1/Z2 podem ser realizadas conforme segue: Multiplicação: Divisão: Z2 Z2 Exemplos Considere os seguintes números complexos: = 45° 60° Z3 = -90°= 4 270° -5 + j8,66 = 10 120° Obter: a) 45° . 10 60° 45°+60° = 56,6 b) =10 60° 4 = 4 60°-90° = 40 -30° ou 60° 4 270° = 10. 4 60°+270° = 40 330° c) =4 -90° 10 120° - 4.10 = 40 30° d) = 10 120° = 165° e) 45°-60° = -15° 60° 10 10 f) = 135° 45° 4/2 g) = 4 Números Complexos 25Exemplos Considere os seguintes números complexos: = = Z4 = Obter: a) = = b) Z3 + Z4 = = - j5 c) Z1 + Z4 = = -j10 d) = = e) Z1 = = j6 f) = = - j6 g) = - = h) Z3 = [-10 - (-5)] + j(-20 - 15) = -5 - j35 i) = [5 - = 10 j11 j) = = Multiplicação e Divisão Para multiplicar ou dividir dois números complexos, utiliza-se a forma polar da seguinte maneira: Multiplicação: multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos (ângulos). Divisão: dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos (ângulos). Assim, considerando os seguintes números complexos genéricos: e 24Im f) 20 240° a = 20.cos = = 240° -10 b = 20.sen 240° = 20.(-0,866) = - 17,32 0 R = 20 g) = Im 21,21 a = = = 30 b = 45°=30 = 21,21 45° Z7 =21,21+j21,21 = 0 21,21 R 1.2 - Operações com Números Complexos As quatro operações matemáticas básicas podem ser realizadas com números complexos de modo bastante simples, conforme veremos a seguir. Soma e Subtração Para somar ou subtrair dois números complexos, utiliza-se a forma cartesiana, somando ou subtraindo as partes real e imaginária correspondentes. Assim, considerando os seguintes números complexos genéricos: e as operações soma e subtração podem ser realizadas conforme segue: Soma: Subtração: = - Números Complexos 23Exemplos Transformar os seguintes números complexos da forma polar em cartesiana, representando-os no plano cartesiano: a) = 60° Im 8,66 a = = 5 10 b = 10. sen 60° = 10 0,866 = 8,66 60° = 0 5 R b) Z2 = 20 120° Im 17,32 a = 20. COS = - -10 b = 20. sen 120° = 20 0,866 = 17,32 20 120° Z2 = -10 0 R c) = Im 43,40 a = 50.cos(-30°) = 50 0,866 = 43,30 0 -30° R b = 50.sen(-30°) = 50. (-0,5) = -25 50 - j25 -25 Z3 d) Im = a = 100. = -100 180° b = 100.sen = 0 -100 100 0 R e) Im a = 6. = = 0 b = 6.sen(-90°) = 6.(-1) = -6 Z5 = -j6 0 R -90° 6 -6 25h) Im 0 4 R -3 Zg 323° ou -37° Transformação da Forma Polar em Cartesiana Da Figura 1.3 obtêm-se por trigonometria as expressões de a e b: = e Im Z b Z Z. sen o 0 Z. a R Figura 1.3 - Forma trigonométrica do número complexo. Estas expressões podem ser utilizadas para transformar a forma polar em cartesiana. Portanto, um número complexo pode também ser representado na forma trigonométrica como segue: Números Complexos 21c) Z3 = j3 (não tem parte real) Im = Z3 3 90° Z3 Q3 Poderíamos representar R 0 também por: Z3 = 3 -270° d) = j2 Im = 0'4 = 2 logo, = 146° Z4 R = 146° -3 0 e) Im Z5=5 Z5 Z5 f) R -5 0 Im = = -4 0 R logo, 06 = 180 37 = 217° 217° -3 Z6 g) Im 0 R = = Z7 4 270° ou 4 -90° 203) Segmento OZ no 4° = Logo: ou Im 3 R 0 A -2 Z Sabendo as expressões do módulo e da fase de um número complexo e orientando-se pelo plano cartesiano para a devida correção da fase, pode-se fazer a transformação da forma cartesiana em polar. Exemplos Transformar os números seguintes complexos da forma cartesiana em polar, representando-os no plano cartesiano: Im a) 4 Z1 Z1 = 4/2 R 0 4 b) (não tem parte imaginária) Im 0° R 0 7 Números Complexos 19Exemplos 1) Segmento OZ no 2° quadrante: = 2 = 34° Logo: = = 146° Im Z 2 R -3 0 2) Segmento OZ no 3° quadrante: = = Logo: = = = 214° ou = 146° Im -3 0 R -2 Z 18Observações De uma forma geral, um número complexo genérico é representado por uma letra minúscula (z), sendo seu módulo representado por uma letra maiúscula (Z), salvo algumas exceções. Isso ocorre porque, como será visto mais adiante, os números complexos servem para representar grandezas que variam em função do tempo, sendo esta a representação usual. Nas como também será visto mais adiante, tanto número complexo quanto seu módulo são representados por letras maiúsculas. Alguns autores representam número complexo desta forma: Conversão entre Graus e Radianos O ângulo pode ser dado em graus (°) ou em radianos (rd). A conversão de uma unidade em outra é feita por uma simples regra de três, tomando como referência que rd corresponde a 180°. Exemplos Converter em radianos e /6 rd em graus. 180° 180 45 rd = 30° = 180 4 Transformação da Forma Cartesiana em Polar Para transformar a forma cartesiana em polar, valem as expressões: Z e = arctg a Dependendo do quadrante em que está localizado segmento OZ, cálculo do ângulo precisa ser corrigido para que seu valor tenha como referência sempre a parte positiva do eixo real. Números Complexos 17b 0 Figura 1.2 - Forma pol Na forma polar, segmento número complexo Z e (letra grega fi) re de z, tomando como referência a parte 1 Assim, a forma polar de repre 16a Polar a + jb representado no plano cartesiano, m A Z Z R a ar do número complexo. de reta OZ = Z representa módulo do presenta argumento (ângulo ou fase) positiva do eixo real. um número complexo é a seguinte: ZNo plano cartesiano, estes números ficam representados da seguinte forma: Im 4 Z1 3 Z3 Z4 2 1 Z5 Z2 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 R -1 -2 -3Forma Cartesiana Genericamente, todo número complexo Z pode ser representado na forma cartesiana por: Sendo: a e b números reais j representa a unidade imaginária O plano cartesiano utilizado para representar um número complexo Z é formado por um eixo real (abcissa), onde se localiza a quantidade a, e um eixo imaginário (ordenada), onde se localiza a quantidade b, conforme a Figura 1.1. Eixo imaginário (Im) z(a,b) b Eixo real (R) a Figura 1.1 - Plano cartesiano para números complexos. Exemplos Representar os números complexos a seguir no plano cartesiano: =4+j4 (não tem parte imaginária) (não tem parte real) Números Complexos 15