Lista 1 - Revisao - 2007-2

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Sistemas Realimentados - 2007/2 - Lista 1 - Revisão
Prof. Julio Elias Normey Rico
Problemas:
1. O código de um programa de controle discreto do tipo PID (proporcional, integral, derivativo)
com filtro de referência é representado pela seguinte sequência de instruções:
espere o periodo de amostragem
leia y(kT )
calcule
r(kT ) = ar((k − 1)T ) + (1 − a)yr(kT )
e(kT ) = r(kT ) − y(kT )
u(kT ) = u((k − 1)T ) + k1e(kT ) + k2e((k − 1)T ) + k3e((k − 2)T )
envie o sinal de controle u(kT )
atualize as variáveis
e((k − 2)T ) = e((k − 1)T )
e((k − 1)T ) = e(kT )
u((k − 1)T ) = u(kT )
r((k − 1)T ) = r(kT )
volte ao modo espere
Onde y(kT ) é o sinal amostrado da sáıda do processo cont́ınuo y(t). Por outro lado, o processo
cont́ınuo responde com uma dinâmica de segunda ordem dada pela equação diferencial:
d2y
dt2
+ 3
dy
dt
+ 2y(t) = 4u(t)
onde u(t) é obtido a partir de u(kT ) utilizando um sustentador de ordem zero Bo(s).
• (a) Desenhe um diagrama de blocos do sistema de controle com as correspondentes funções
de transferencia do processo G(s) e do controle, indicando os sinais cont́ınuos e discretos
envolvidos assim como os blocos de amostragem e sustentação.
• (b) Calcule a função de transferência amostrada do processo com sustentador BoG(z) para
um peŕıodo de amostragem T = 0.2 segundos.
• (c) Para ajustar o controlador define-se uma estrategia conhecida como PID-IMC (PID
por modelo interno) que escolhe os zeros do controle PID de forma a cancelar os pólos
de BoG(z) e obter uma função de transferência de malha fechada H(z) de segunda ordem
com um zero. Em um segundo passo, ajusta-se o filtro F (z) para eliminar o zero de H(z).
Encontre os valores de k1, k2, k3 e a para que a resposta do sistema em MF tenha pólos
reais e um tempo de resposta t5% = 1.5 segundos. Qual o ganho estático de MF?
2. O diagrama de blocos de um sistema de controle é mostrado na figura 1 onde: r é a referência,
u é o sinal de controle, q é uma perturbação e y é a sáıda. O processo é dado por:
G(s) =
1
s(1 + s)
1
e o controle por
C(s) = K
1 + Ts
1 + αTs
.
Figure 1: Diagrama de blocos do sistema de controle.
• (a) Calcule a função de transferência do sistema em malha fechada para as entradas r e q
aplicando o principio de superposição.
• (b) Suponha que o controle se ajusta com T = 1 segundo. Defina os valores a serem usados
em K e α para que o sistema em MF tenha uma resposta ao degrau em r com pico de 20%
e t5% = 1 segundo. A resposta ao degrau de q é também de 1 segundo? Calcule o valor de
y em regime permanente para r = 1(t) e para q = 0.1 ∗ 1(t).
3. Um sistema de controle discreto é representado pela equação não linear:
y(n + 2) −
√
y(n + 1)u2(n) + 0.24y(n) = bu(n + 1) n ∈ Z, n ≥ 0
• (a) Ajuste o parâmetro b para que o sistema tenha um ponto de equiĺıbrio dado por u0 = 2
e y0 = 4. Encontre o modelo linearizado para o sistema nesse ponto de equiĺıbrio.
• (b) Calcule a resposta impulsiva h(n) do sistema e verifique a resposta usando transformada
Z.
4. O código de um programa de controle discreto do tipo PID (proporcional, integral, derivativo)
é representado pela seguinte sequência de instruções:
espere o periodo de amostragem
leia y(kT )
calcule
r(kT ) = ar((k − 1)T ) + (1 − a)yr(kT )
e(kT ) = r(kT ) − y(kT )
u(kT ) = u((k − 1)T ) + k1e(kT ) + k2e((k − 1)T ) + k3e((k − 2)T )
envie o sinal de controle u(kT )
atualize as variáveis
e((k − 2)T ) = e((k − 1)T )
e((k − 1)T ) = e(kT )
u((k − 1)T ) = u(kT )
r((k − 1)T ) = r(kT )
volte ao modo espere
Onde y(kT ) é o sinal amostrado da sáıda do processo cont́ınuo y(t). Por outro lado, o processo
cont́ınuo responde com uma dinâmica de segunda ordem dada pela equação diferencial:
d2y
dt2
+ 5
dy
dt
= 5u(t)
onde u(t) é obtido a partir de u(kT ) utilizando um sustentador de ordem zero Bo(s).
• Desenhe um diagrama de blocos do sistema de controle com as correspondentes funções
de transferência do processo G(s), do filtro F (z) e do controlador PID C(z), indicando os
sinais cont́ınuos e discretos envolvidos assim como os blocos de amostragem e sustentação.
Calcule a função de transferência amostrada do processo com sustentador BoG(z) para
um peŕıodo de amostragem T = 0.05 segundos.
5. O modelo matemático de um sistema de controle de ńıvel em tanques pode ser aproximado pela
equação de estados:











[
Ḣ1
Ḣ2
]
=
[
−1 1
1 −3
] [
H1
H2
]
+
[
1
0
]
Ve(t) +
[
0
−1
]
Vs(t)
y =
[
1 0
]
[
H1
H2
]
onde Ve(t) é a vazão de entrada no primeiro tanque, H1(t) o ńıvel no primeirotanque e H2(t) o
ńıvel do segundo tanque. Nesta configuração Ve(t) é utilizada como sinal de controle e Vs(t) é
uma perturbação.
• (a) Calcule as funções de transferência entre a entrada de controle V e e a sáıda H2 e entre
a perturbação Vs e a sáıda H2.
• (b) Suponha que Vs = 0 e que se usa uma lei de controle do tipo Ve = Kp(Hr(t) − H2(t))
onde Hr é o ńıvel de referência. Calcule o parâmetros do controle Kp para que o sistema
em malha fechada tenha um ganho estático 0.99. Para o ganho achado, determine o pico
e o tempo de resposta t5% quando se aplica um degrau em Hr. Determine também, para o
mesmo valor de Kp, o valor da sáıda em regime permanente para um degrau de 0.1 em Vs.
6. Um engenheiro realiza alguns ensaios num sistema diferencial linear e invariante no tempo, que
supõe-se com grau(Q) > grau(P ) + 1, para determinar as suas carateŕısticas dinâmicas. No
primeiro ensaio, com o sistema inicialmente em repouso, aplica uma entrada do tipo:
u(t) = sen(t)degrau(t)
obtendo a sáıda:
y(t) = e−t + te−t + 2sen(t − φ) t ≥ 0.
No segundo ensaio, com entrada zero e condições iniciais y(0) = 2, dy
dt
(0) = 0, d2y
dt2
(0) = 0, obteve
uma resposta y(t) = 2, t ≥ 0.
• Determine a sáıda dos sistema para uma entrada u(t) = sen(4t)degrau(t) e condições
iniciais nulas e estude a estabilidade do sistema com e sem condições iniciais.
7. Um processo trocador de calor água vapor responde com uma dinâmica de segunda ordem dada
pela equação diferencial:
d2y
dt2
+ 3
dy
dt
+ 2y(t) = 10u(t)
onde u(t) é a abertura da válvula de vapor e y(t) a temperatura da água. Para controlar o
sistema utiliza-se um controlador discreto de código:
espere o periodo de amostragem
leia y(kT )
calcule
e(kT ) = r(kT ) − y(kT )
u(kT ) = k0u((k − 1)T ) + k1e(kT ) + k2e((k − 1)T )
envie o sinal de controle u(kT )
atualize as variáveis
e((k − 1)T ) = e(kT )
u((k − 1)T ) = u(kT )
volte ao modo espere
Onde y(kT ) é o sinal amostrado da sáıda do processo cont́ınuo y(t) e u(t) obtido a partir de
u(kT ) utilizando um sustentador de ordem zero Bo(s).
• (a) Desenhe um diagrama de blocos do sistema de controle com as correspondentes funções
de transferência do processo G(s) e do controlador C(z), indicando os sinais cont́ınuos e
discretos envolvidos assim como os blocos de amostragem e sustentação.
• (b) Calcule a função de transferência amostrada do processo com sustentador BoG(z) para
um peŕıodo de amostragem T = 0.1 segundos. Aproxime e−0.1 = 0.9 e e−0.2 = 0.82.
• (c) Supondo k0 = k2 = 0 encontre, se posśıvel, o valor de k1 para qual o ganho estático
do sistema em MF seja 0.95. Se k0 = 1 e k2 = −0.9k1, é posśıvel achar k1 para que o
ganho estático de MF seja 1? Se for posśıvel, indique a condição que k1 deve verificar (não
precisa calcular k1).
8. O diagrama de blocos de um sistema de controle de posição de um motor com realimentação de
velocidade é mostrado na figura 2. No esquema, r é referência, u o sinal de tensão de controle e
y a posição. Como o sistema é instável em MA e os parâmetros do motor não são conhecidos.
Utiliza-se um ensaio de resposta ao degrau em MF para encontrar o modelo do processo. Assim,
aplica-se uma variação do tipo degrau em r em t = 1 segundo medindo-se y. Para este ensaio
utilizam-se os seguintes ganhos de controle k1 = 0 e k2 = 15. Os resultados deste experimento
mostram-se nafigura 3.
r
u y
w
velocidade
r
referência1
referência y
posição
k2
k2
k1
k1
1
T.s+1
Parte Mecânica
ke
Pare Elétrica
1
s
Integrador
Figure 2: Sistema de controle.
• Calcule a função de transferência em MA do motor (com a tensão como entrada e a posição
como sáıda) e a função de transferência do sistema em malha fechada para valores genéricos
de k1 e k2.
• Defina os valores a serem usados em k1 e k2 para que o sistema em MF tenha uma resposta
ao degrau em r com pico de 10% e t5% = 0.3 segundos. Para os valores achados calcule o
ganho estático do sistema em malha fechada.
Figure 3: Diagrama de blocos do sistema de controle.
Figure 4: Diagrama de blocos do sistema de controle.
9. O diagrama de blocos de um sistema de controle mostra-se na figura 4, onde r é referência, u a
entrada da planta, q uma perturbação e y a sáıda. O processo representa o modelo linearizado
de um sistema não linear de equação:
d2y(t)
dt2
+ u2dy(t)
dt
= 4u(t) − 4 t ≥ 0.
O controle está representado ela equação diferencial linear:
du(t)
dt
+ bu(t) = K
de(t)
dt
+ Kae(t) t ≥ 0.
• (a) Calcule o modelo linearizado do processo no ponto de operação (1, 0), a resposta im-
pulsiva e a função de transferência G(s).
• (b) Calcule a função de transferência do do controle C(s) e a do sistema em malha fechada
para a entrada r supondo q = 0.
• (c) Suponha que o controle se ajusta com a = 1. Defina os valores a serem usados em K e
b para que o sistema em MF tenha uma resposta ao degrau em r com pico de 5% e t5% = 1
segundo. A resposta ao degrau de q também tem o t5% = 1 = 1 segundo? Calcule o valor
de y em regime permanente para uma entada q = 0.5 ∗ 1(t) supondo r = 0.
10. O código de um programa de controle discreto do tipo avanço de fase com filtro de referência é
representado pela seguinte sequência de instruções:
espere o periodo de amostragem
leia y(kT )
calcule
r(kT ) = ar((k − 1)T ) + (1 − a)yr(kT )
e(kT ) = r(kT ) − y(kT )
u(kT ) = bu((k − 1)T ) + k1e(kT ) + k2e((k − 1)T )
envie o sinal de controle u(kT )
atualize as variáveis
e((k − 1)T ) = e(kT )
u((k − 1)T ) = u(kT )
r((k − 1)T ) = r(kT )
volte ao modo espere
Onde y(kT ) é o sinal amostrado da sáıda do processo cont́ınuo y(t). Por outro lado, o processo
cont́ınuo responde com uma dinâmica de segunda ordem dada pela equação diferencial:
2
d2y
dt2
+
dy
dt
= 4u(t)
onde u(t) é obtido a partir de u(kT ) utilizando um sustentador de ordem zero Bo(s).
• (a) Desenhe um diagrama de blocos do sistema de controle com as correspondentes funções
de transferência do processo G(s) e do controlador C(z), indicando os sinais cont́ınuos e
discretos envolvidos assim como os blocos de amostragem e sustentação.
• (b) Calcule a função de transferência do do controle C(s) e a do sistema em malha fechada
para a entrada r supondo q = 0.
• (c) Para ajustar o controlador define-se a seguinte estratégia. Primeiro escolhe-se o zero do
controlador C(z) de forma a cancelar o pólo mais rápido de BoG(z). Os demais parâmetros
se escolhem para obter uma função de transferência de malha fechada (H(z)) com pólos
reais e um tempo de resposta t5% = 1.5 segundos. Em um segundo passo, ajusta-se o filtro
F (z) para eliminar o zero de H(z). Encontre os valores de k1, k2, b e a.