matematica média XXIX

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Explicação: A integral \( \int e^{x^2} \, dx \) não pode ser expressa em termos de funções 
elementares. 
 
23. Qual é o valor da integral \( \int_0^\infty \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)? 
 a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \pi \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \frac{\pi}{4} \) 
 Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 Explicação: Esta integral é conhecida e resulta em \( \frac{\pi}{2} \), que pode ser encontrado 
usando a substituição \( x = \tan(\theta) \). 
 
24. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)? 
 a) \( 2x e^{x^2} \) 
 b) \( x e^{x^2} \) 
 c) \( e^{x^2} \) 
 d) \( 2x \) 
 Resposta: a) \( 2x e^{x^2} \) 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia. Derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot \frac{du}{dx} \), 
onde \( u = x^2 \). Então, \( \frac{d}{dx} [e^{x^2}] = e^{x^2} \cdot 2x \). 
 
25. Qual é o valor de \( \int_0^\pi \cos^2(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \pi \) 
 c) \( \frac{\pi}{4} \) 
 d) \( \frac{3\pi}{4} \) 
 Resposta: a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 Explicação: Usamos a identidade trigonométrica \( \cos^2(x) 
 
 = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). A integral torna-se \( \frac{1}{2} \int_0^\pi 1 \, dx + \frac{1}{2} 
\int_0^\pi \cos(2x) \, dx = \frac{\pi}{2} \). 
 
26. Determine a integral \( \int_0^1 x^3 e^x \, dx \). 
 a) \( (e - 2) \) 
 b) \( (e - 1) \) 
 c) \( (e - 3) \) 
 d) \( (e - 4) \) 
 Resposta: a) \( (e - 2) \) 
 Explicação: Usamos integração por partes três vezes. O resultado é \( e - 2 \). 
 
27. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \)? 
 a) \( -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \) 
 b) \( -\frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}} \) 
 c) \( \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \) 
 d) \( \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}} \) 
 Resposta: a) \( -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \) 
 Explicação: Derivada de \( x^{-\frac{1}{2}} \) é \( -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \). 
 
28. Determine o valor de \( \int \frac{dx}{x \ln(x)} \). 
 a) \( \ln|\ln(x)| + C \) 
 b) \( \ln|x \ln(x)| + C \) 
 c) \( \ln|x| + C \) 
 d) \( \ln|x| + \ln|\ln(x)| + C \) 
 Resposta: a) \( \ln|\ln(x)| + C \) 
 Explicação: Usamos a substituição \( u = \ln(x) \), então \( du = \frac{1}{x} dx \). A integral 
torna-se \( \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln|\ln(x)| + C \). 
 
29. Qual é o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} \)? 
 a) \( \infty \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( e \) 
 Resposta: a) \( \infty \) 
 Explicação: A exponencial cresce mais rapidamente que qualquer polinômio, então o limite é 
\( \infty \). 
 
30. Qual é a integral de \( \int \frac{e^x}{x} \, dx \)? 
 a) \( \text{Ei}(x) + C \) 
 b) \( \frac{e^x}{x} + C \) 
 c) \( e^x \ln(x) + C \) 
 d) \( \text{Ei}(-x) + C \) 
 Resposta: a) \( \text{Ei}(x) + C \) 
 Explicação: Esta integral é representada pela função exponencial integral \( \text{Ei}(x) \), 
que não tem uma forma elementar simples. 
 
31. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1} \)? 
 a) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 b) \( \frac{x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2} \) 
 c) \( \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \) 
 d) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 Resposta: c) \( \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \) 
 Explicação: Usamos a regra do quociente. A derivada é \( \frac{(2x)(x^2 + 1) - x^2 (2x)}{(x^2 + 
1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \). 
 
32. Qual é o valor de \( \int_0^\pi \sin(x) \cos(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \pi \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( -\frac{\pi}{2} \) 
 Resposta: c) \( 0 \) 
 Explicação: Usamos a identidade trigonométrica \( \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \). A 
integral torna-se \( \frac{1}{2} \int_0^\pi \sin(2x) \, dx \), que é zero. 
 
33. Qual é a derivada de \( f(x) = \cos^{-1}(x) \)? 
 a) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)