mzwi contas sem fim

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A) \(\frac{3}{2}\) 
 B) \(0\) 
 C) \(\infty\) 
 D) \(1\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{3}{2}\) 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \(x^2\), obtemos \(\lim_{x 
\to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x^2}}{2 - \frac{7}{x^2}} = \frac{3 + 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}\). 
 
13. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)?** 
 A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 B) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 C) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 D) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
14. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx\)?** 
 A) \(0\) 
 B) \(1\) 
 C) \(\frac{1}{2}\) 
 D) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** B) \(1\) 
 **Explicação:** A função integrada é \((x - 1)^4\), que é \(0\) em \(x = 0\) e \(x = 1\). Assim, 
a integral é \(1\). 
 
15. **Qual é a solução da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = 3y\)?** 
 A) \(y = Ce^{3x}\) 
 B) \(y = Ce^{-3x}\) 
 C) \(y = 3x + C\) 
 D) \(y = \frac{3}{x} + C\) 
 **Resposta:** A) \(y = Ce^{3x}\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução 
geral é dada por \(y = Ce^{3x}\), onde \(C\) é uma constante. 
 
16. **Qual é o valor de \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx\)?** 
 A) \(1\) 
 B) \(e - 1\) 
 C) \(\ln(e)\) 
 D) \(0\) 
 **Resposta:** A) \(1\) 
 **Explicação:** A antiderivada de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avaliando de 1 a \(e\), temos 
\(\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1\). 
 
17. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\)?** 
 A) \(3\) 
 B) \(0\) 
 C) \(1\) 
 D) \(6\) 
 **Resposta:** A) \(3\) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador. 
A derivada de \(\tan(3x)\) é \(3\sec^2(3x)\) e a de \(x\) é 1. Assim, o limite se torna 
\(3\sec^2(0) = 3\). 
 
18. **Qual é a integral \(\int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx\)?** 
 A) \(-\frac{1}{3} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
 B) \(\frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 C) \(-\frac{1}{2} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 D) \(-\frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 **Resposta:** D) \(-\frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 **Explicação:** Essa integral pode ser resolvida por substituição. Ao substituir \(u = 
e^{2x}\), obtemos uma integral que pode ser resolvida usando integração por partes. 
 
19. **Qual é o valor de \(\int_0^\pi \sin^2(x) \, dx\)?** 
 A) \(\frac{\pi}{2}\) 
 B) \(\frac{\pi}{4}\) 
 C) \(\frac{\pi}{3}\) 
 D) \(\frac{\pi}{6}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral se 
torna \(\int_0^\pi \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2}\). 
 
20. **Qual é a derivada da função \(f(x) = x^5 - 5x^3 + 4x\)?** 
 A) \(5x^4 - 15x^2 + 4\) 
 B) \(5x^4 - 15x^3 + 4\) 
 C) \(15x^4 - 4x^3\) 
 D) \(5x^4 + 15x^2 + 4\) 
 **Resposta:** A) \(5x^4 - 15x^2 + 4\) 
 **Explicação:** Para calcular a derivada, aplicamos a regra de potência: \(f'(x) = 5x^4 - 
15x^2 + 4\). 
 
21. **Qual é a integral \(\int (3x^2 + 4x + 5) \, dx\)?** 
 A) \(x^3 + 2x^2 + 5x + C\) 
 B) \(x^3 + 2x^2 + 5 + C\) 
 C) \(\frac{3}{3}x^3 + 2x^2 + 5x + C\) 
 D) \(\frac{3}{3}x^3 + 2x^2 + 5 + C\) 
 **Resposta:** A) \(x^3 + 2x^2 + 5x + C\) 
 **Explicação:** A antiderivada é calculada separadamente: \(\int 3x^2 \, dx = x^3\), \(\int 
4x \, dx = 2x^2\), e \(\int 5 \, dx = 5x\). Portanto, a integral é \(x^3 + 2x^2 + 5x + C\). 
 
22. **Qual é o resultado do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\)?** 
 A) \(1\) 
 B) \(0\) 
 C) \(\infty\) 
 D) Não existe 
 **Resposta:** A) \(1\)