aulas com questões AB

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31. **Qual é a solução da equação \( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0 \)?** 
 a) \( x = 1 \) 
 b) \( x = -1 \) 
 c) \( x = 0 \) 
 d) \( x = 2 \) 
 
 **Resposta: a) \( x = 1 \)** 
 **Explicação:** A equação é um cubo perfeito: \( (x - 1)^3 = 0 \). Portanto, a solução é \( x = 
1 \). 
 
32. **Qual é a integral de \( \int x^2 \ln(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{9} + C \) 
 b) \( \frac{x^3 \ln(x)}{3} + \frac{x^3}{9} + C \) 
 c) \( \frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{3} + C \) 
 d) \( \frac{x^3 \ln(x)}{3} + \frac{x^3}{3} + C \) 
 
 **Resposta: a) \( \frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{9} + C \)** 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos \( \frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{9} 
+ C \). 
 
33. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{2x}{x^2} \) 
 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
 **Explicação:** Aplicando a regra da cadeia, obtemos \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
34. **Qual é a solução da equação \( \frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0 \)?** 
 a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 b) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 c) \( y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x} \) 
 d) \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} \) 
 
 **Resposta: a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \)** 
 **Explicação:** A equação diferencial é de segunda ordem com coeficientes constantes. A 
solução geral é \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \). 
 
35. **Qual é o valor de \( \int e^x \cos(x) \, dx \)?** 
 a) \( e^x \sin(x) + C \) 
 b) \( e^x \cos(x) + C \) 
 c) \( e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 d) \( e^x (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 
 **Resposta: c) \( e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \)** 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos \( e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \). 
 
36. **Qual é a solução da equação \( \log_b(x) = 3 \)?** 
 a) \( x = b^3 \) 
 b) \( x = b^{-3} \) 
 c) \( x = 3b \) 
 d) \( x = \frac{1}{b^3} \) 
 
 **Resposta: a) \( x = b^3 \)** 
 **Explicação:** Transformando a equação para a forma exponencial, obtemos \( x = b^3 \). 
 
37. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 b) \( -\frac{1}{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{x^2} + C \) 
 d) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 
 **Resposta: a) \( -\frac{1}{2x^2} + C \)** 
 **Explicação:** Integrando \( x^{-3} \), obtemos \( -\frac{1}{2x^2} + C \). 
 
38. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \arccos(x) \right) \)?** 
 a) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 c) \( -\frac{1}{1 - x^2} \) 
 d) \( \frac{1}{1 - x^2} \) 
 
 **Resposta: a) \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)** 
 **Explicação:** A derivada de \( \arccos(x) \) é \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 
39. **Qual é a solução da equação \( x^2 - x - 6 = 0 \)?** 
 a) \( x = 3, -2 \) 
 b) \( x = -3, 2 \) 
 c) 
 
 \( x = 2, -3 \) 
 d) \( x = -2, 3 \) 
 
 **Resposta: a) \( x = 3, -2 \)** 
 **Explicação:** Fatorando a equação, obtemos \( (x - 3)(x + 2) = 0 \), resultando em \( x = 3 
\) e \( x = -2 \). 
 
40. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx \)?** 
 a) \( \sec^{-1}(x) + C \) 
 b) \( \csc^{-1}(x) + C \) 
 c) \( \ln \left| x + \sqrt{x^2 - 1} \right| + C \) 
 d) \( \arctan(x) + C \) 
 
 **Resposta: a) \( \sec^{-1}(x) + C \)**