Questões resolvidas
Calcule \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \, dx \).
Encontre \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 x \, dx \).
Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \, dx \).
Determine \(\int_0^\pi x \sin^2 x \, dx\).
Encontre \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1 + \sin^2 x} \, dx \).
Calcule \( \int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos x \, dx \).
Determine \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1 - x^2)^{5/2}} \, dx \).
Encontre \( \int_{0}^{1} \frac{1}{(x^2 + 1) \sqrt{x^2 + 2x + 2}} \, dx \).
Calcule \( \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin x}{\cos x} \, dx \).
Determine \( \int_{0}^{\pi} \frac{x \cos x}{\sin x} \, dx \).
Encontre \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{1 + \cos^2 x} \, dx \).
Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(x^2 + 1) \sqrt{x^2 + x + 1}} \, dx \).
Determine \( \int_{0}^{\pi} \sin x \ln (\sin x) \, dx \).
Encontre \( \int_{0}^{\pi} x \cos^2 x \, dx \).
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32. **Problema**: Calcule \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \, dx \).
**Resposta**: \( \frac{2}{3} \).
**Explicação**: Use identidades trigonométricas e integrais de funções trigonométricas.
33. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{x} \, dx \).
**Resposta**: Não existe.
**Explicação**: A integral não converge.
34. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 x \, dx \).
**Resposta**: \( \frac{3\pi}{8} \).
**Explicação**: Utilize identidades para simplificar a integral.
35. **Problema**: Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \, dx \).
**Resposta**: \( \frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \).
**Explicação**: Use substituições e simplificações apropriadas.
36. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{\pi} x \sin^2 x \, dx \).
**Resposta**: \( \frac{\pi^2}{4} \).
**Explicação**: Use a identidade \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \) para simplificar a
integral.
37. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1 + \sin^2 x} \, dx \).
**Resposta**: \( \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \).
**Explicação**: Utilize a substituição \( \tan x = t \) e simplifique.
38. **Problema**: Calcule \( \int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos x \, dx \).
**Resposta**: \( \frac{1}{2} \).
**Explicação**: Use a identidade \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \) e integre.
39. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1 - x^2)^{5/2}} \, dx \).
**Resposta**: \( \frac{1}{6} \).
**Explicação**: Use a substituição \( x = \sin \theta \), simplificando a integral.
40. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{1} \frac{1}{(x^2 + 1) \sqrt{x^2 + 2x + 2}} \, dx \).
**Resposta**: \( \frac{\pi}{4 \sqrt{2}} \).
**Explicação**: Use a substituição \( x + 1 = \sqrt{2} \tan \theta \) para simplificar.
41. **Problema**: Calcule \( \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin x}{\cos x} \, dx \).
**Resposta**: \( \ln (\sqrt{2} + 1) \).
**Explicação**: Use a substituição \( u = \cos x \), então a integral é \( -\int \frac{du}{u} \).
42. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{\pi} \frac{x \cos x}{\sin x} \, dx \).
**Resposta**: \( \pi \ln 2 \).
**Explicação**: Use a substituição \( u = \sin x \) e simplifique a integral resultante.
43. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{1 + \cos^2 x} \, dx \).
**Resposta**: \( \frac{\pi}{4} \).
**Explicação**: Use a substituição \( u = \tan x \) e simplifique a integral.
44. **Problema**: Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(x^2 + 1) \sqrt{x^2 + x + 1}} \, dx \).
**Resposta**: \( \frac{\pi}{6} \).
**Explicação**: Use substituições e simplificações para resolver a integral.
45. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{\pi} \sin x \ln (\sin x) \, dx \).
**Resposta**: \( -\pi \ln 2 \).
**Explicação**: Use a simetria e propriedades logarítmicas para resolver a integral.
46. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi} x \cos^2 x \, dx \).
**Resposta**: \( \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2} \).
**Explicação**: Use identidade trigonométrica e integração por partes.Mais conteúdos dessa disciplina
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