questões respondidas k

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64. **Problema:** Encontre a integral definida de \(\int_{0}^{1} \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-1\). 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos o resultado de \(-1\). 
 
65. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2 y \). 
 **Resposta:** \( y = Ce^{\frac{x^3}{3}} \). 
 **Explicação:** Separando variáveis e integrando, obtemos a solução dada. 
 
66. **Problema:** Calcule o valor de \(\int_0^\pi \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Usando a identidade trigonométrica \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), 
integramos. 
 
67. **Problema:** Determine a série de Taylor de \(e^x\) em torno de \(x = 0\). 
 **Resposta:** \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\). 
 **Explicação:** A série é dada pela expansão em série infinita das derivadas de \(e^x\) 
avaliadas em 0. 
 
68. **Problema:** Resolva a equação \( \int_0^1 \frac{1}{1 - x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** A integral resulta na função arco-tangente quando aplicada. 
 
69. **Problema:** Calcule o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Usando a definição da derivada de \(\tan(x)\) em \(x = 0\), o limite é 1. 
 
70. **Problema:** Encontre a integral definida de \(\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), integramos sobre 
o intervalo. 
 
71. **Problema:** Determine o intervalo de convergência da série \(\sum_{n=0}^\infty 
\frac{x^n}{n!}\). 
 **Resposta:** \(-\infty < x < \infty\). 
 **Explicação:** Esta série é a expansão em série de Taylor para \(e^x\), que converge para 
todo \(x\). 
 
72. **Problema:** Encontre a função geradora da sequência \(\{2, 4, 6, 8, \ldots\}\). 
 **Resposta:** \(\frac{2x}{(1-x)^2}\). 
 **Explicação:** A função geradora de uma sequência aritmética é dada por essa fórmula 
 
. 
 
73. **Problema:** Resolva a equação \( \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\text{não converge}\). 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{e^{-x}}{x} \) de 0 a \(\infty\) não converge. 
 
74. **Problema:** Calcule o valor de \(\int_{0}^{1} x \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{4}\). 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos o resultado final de \(-\frac{1}{4}\). 
 
75. **Problema:** Determine o intervalo de convergência da série \(\sum_{n=0}^\infty 
\frac{n^2 x^n}{n!}\). 
 **Resposta:** \(-\infty < x < \infty\). 
 **Explicação:** Usando o teste da razão, obtemos que a série converge para todo \(x\). 
 
76. **Problema:** Encontre a integral definida de \(\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x} \, dx\). 
 **Resposta:** 2. 
 **Explicação:** Esta é uma integral conhecida como integral gamma para \(n = 3\), 
resultando em 2. 
 
77. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \).