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12. **Problema**: Resolva o sistema de equações lineares: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 x + y = 3 \\ 
 2x - y = 4 
 \end{cases} 
 \] 
 **Resposta**: \( x = 2 \), \( y = 1 \). 
 **Explicação**: Adicionando as duas equações, obtemos \( 3x = 7 \), então \( x = 2 \). 
Substituindo em \( x + y = 3 \), obtemos \( y = 1 \). 
 
13. **Problema**: Calcule a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \), a integral se 
torna \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx \), resultando em \( \frac{\pi}{4} \). 
 
14. **Problema**: Determine a série de Fourier para a função periódica \( f(x) = x \) no 
intervalo \([- \pi, \pi]\). 
 **Resposta**: \( f(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n} \). 
 **Explicação**: A série de Fourier para uma função ímpar \( x \) é baseada nas funções 
seno. 
 
15. **Problema**: Encontre os valores próprios da matriz 
 \[ 
 A = \begin{pmatrix} 
 2 & 1 \\ 
 1 & 2 
 \end{pmatrix} 
 \] 
 **Resposta**: \( 3 \) e \( 1 \). 
 **Explicação**: Os valores próprios são obtidos resolvendo o polinômio característico \( 
\det(A - \lambda I) = 0 \). 
 
16. **Problema**: Resolva a integral \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \). 
 **Explicação**: A integral da função gaussiana sobre toda a reta é \( \sqrt{\pi} \). No 
intervalo dado, resulta em \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \). 
 
17. **Problema**: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 **Resposta**: \( y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \). 
 **Explicação**: A solução é dada pelas funções trigonométricas, pois as raízes do polinômio 
característico são imaginárias. 
 
18. **Problema**: Calcule a integral \( \int_{0}^{1} x e^x \, dx \) usando integração por partes. 
 **Resposta**: \( e - 2 \). 
 **Explicação**: Usando a fórmula de integração por partes, \( \int u \, dv = uv - \int v \, du 
\), com \( u = x \) e \( dv = e^x \, dx \). 
 
19. **Problema**: Determine a matriz inversa de 
 \[ 
 B = \begin{pmatrix} 
 1 & 2 \\ 
 3 & 4 
 \end{pmatrix} 
 \] 
 **Resposta**: \( B^{-1} = \begin{pmatrix} 
 -2 & 1 \\ 
 1.5 & -0.5 
 \end{pmatrix} \). 
 **Exp 
 
licação**: Usamos a fórmula para a inversa de uma matriz \(2 \times 2\), \( B^{-1} = 
\frac{1}{\det(B)} \text{adj}(B) \). 
 
20. **Problema**: Calcule a integral \( \int x \cos(x) \, dx \) usando integração por partes.