questões ap

Prévia do material em texto

65. **Problema**: Resolva a equação diferencial \( y' + y \tan(x) = \sin(x) \). 
 **Resposta**: \( y = e^{-\int \tan(x) \, dx} \left( \int e^{\int \tan(x) \, dx} \sin(x) \, dx \right) 
\). 
 **Explicação**: Usando o fator integrante, a solução é dada pela fórmula. 
 
66. **Problema**: Calcule a integral \( \int_{0}^{\pi} \cos(x) \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( 0 \). 
 **Explicação**: A função \( \cos(x) \sin(x) \) é ímpar em relação a \( \pi/2 \), resultando em 
integral zero. 
 
67. **Problema**: Encontre a série de Taylor para \( \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \). 
 **Resposta**: \( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \). 
 **Explicação**: A série é obtida derivando \( \cos(x) \) sucessivamente e avaliando em \( x = 
0 \). 
 
68. **Problema**: Calcule a integral \( \int e^x \cos(x) \, dx \) usando integração por partes. 
 **Resposta**: \( \frac{e^x}{2} (\sin(x) + \cos(x)) + C \). 
 **Explicação**: Usando a fórmula de integração por partes duas vezes, obtemos a integral 
desejada. 
 
69. **Problema**: Determine a integral \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{e - 1}{2} \). 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = x^2 \), obtemos a integral resultante em \( 
\frac{e - 1}{2} \). 
 
70. **Problema**: Encontre os valores próprios da matriz 
 \[ 
 F = \begin{pmatrix} 
 1 & 2 \\ 
 2 & 1 
 \end{pmatrix} 
 \] 
 **Resposta**: \( 3 \) e \( -1 \). 
 **Explicação**: Resolvendo o polinômio característico, obtemos os valores próprios. 
 
71. **Problema**: Calcule a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{16} \). 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \sin^2(x) \cos^2(x) = \frac{1}{4} \sin^2(2x) \), a 
integral se torna \( \frac{\pi}{16} \). 
 
72. **Problema**: Determine a antiderivada de \( \frac{1}{x^2 + 4} \). 
 **Resposta**: \( \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C \). 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = \frac{x}{2} \), obtemos a integral desejada. 
 
73. **Problema**: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y = 0 \). 
 **Resposta**: \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \). 
 **Explicação**: As raízes do polinômio característico são \( \pm 2 \). 
 
74. **Problema**: Calcule a integral \( \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx \). 
 **Resposta**: \( (2 - e) \). 
 **Explicação**: Usando integração por partes duas vezes, obtemos o resultado \( 2 - e \). 
 
75. **Problema**: Determine a série de Taylor para \( \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \). 
 **Resposta**: \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \). 
 **Explicação**: A série é obtida derivando \( \sin(x) \) sucessivamente e avaliando em \( x = 
0 \). 
 
76. **Problema**: Resolva a equação diferencial \( y'' + y' - 6y = 0 \). 
 **Resposta**: \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} \). 
 **Explicação**: As raízes do polinômio característico são \( 2 \) e \( -3 \). 
 
77. **Problema**: Calcule a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação**: Esta integral é conhecida como o arco seno de \( x \), avaliado de 0 a 1.