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\end{pmatrix} 
 \] 
 **Resposta**: \( 4 \) e \( 2 \). 
 **Explicação**: Resolvendo o polinômio característico, obtemos os valores próprios. 
 
53. **Problema**: Calcule a integral \( \int x \sin(x) \, dx \) usando integração por partes. 
 **Resposta**: \( -x \cos(x) + \sin(x) + C \). 
 **Explicação**: Usando a fórmula de integração por partes, obtemos a integral desejada. 
 
54. **Problema**: Determine a integral \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{8} \). 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \sin^2(x) \cos^2(x) = \frac{1}{4} \sin^2(2x) \), a 
integral se torna \( \frac{\pi}{8} \). 
 
55. **Problema**: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 5y' + 6y = 0 \). 
 **Resposta**: \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} \). 
 **Explicação**: As raízes do polinômio característico são \( -2 \) e \( -3 \). 
 
56. **Problema**: Calcule a integral \( \int_{0}^{1} \ln(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( -1 \). 
 **Explicação**: Usando integração por partes, obtemos o resultado \( -1 \). 
 
57. **Problema**: Determine a série de Taylor para \( \frac{1}{1-x} \) em torno de \( x = 0 \). 
 **Resposta**: \( 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \). 
 **Explicação**: Esta é a série geométrica com razão \( x \). 
 
58. **Problema**: Encontre a matriz de rotação no plano para um ângulo de \( \frac{\pi}{4} \) 
radianos. 
 **Resposta**: \( \begin{pmatrix} 
 \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 
 \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} 
 \end{pmatrix} \). 
 **Explicação**: Esta é a matriz de rotação padrão para um ângulo de \( \frac{\pi}{4} \). 
 
59. **Problema**: Resolva a equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \). 
 **Resposta**: \( y = (C_1 + C_2 x) e^x \). 
 **Explicação**: As raízes do polinômio característico são reais e iguais, resultando na 
solução dada. 
 
60. **Problema**: Calcule a integral \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) e^{-x} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{1 - e^{-\pi}}{1 + 1} \). 
 **Explicação**: Usando integração por partes, obtemos o resultado desejado. 
 
61. **Problema**: Determine a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \tan^2(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{2} - 1 \). 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \), a integral se torna \( 
\frac{\pi}{2} - 1 \). 
 
62. **Problema**: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 **Resposta**: \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \). 
 **Explicação**: 
 
 As raízes do polinômio característico são \(\pm 2i\), resultando na solução geral dada. 
 
63. **Problema**: Calcule a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x(1-x)} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \ln\left(\frac{1}{1 - 1}\right) \) (divergente). 
 **Explicação**: A integral é divergente, pois apresenta singularidades em \( x = 0 \) e \( x = 1 
\). 
 
64. **Problema**: Determine a antiderivada de \( \frac{e^x}{x} \). 
 **Resposta**: Não existe uma antiderivada elementar. 
 **Explicação**: A integral \( \int \frac{e^x}{x} \, dx \) não pode ser expressa em termos de 
funções elementares.