deveres n

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**Resposta:** A integral não possui uma solução elementar, mas pode ser aproximada pela 
série. 
 **Explicação:** Utilize a série de Taylor de \(e^{x^2}\) e integre termo a termo. 
 
7. **Problema:** Determine o valor de \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \tan(\theta)\) e a integral resulta em uma função 
arcotangente. 
 
8. **Problema:** Calcule a transformada de Laplace da função \(f(t) = t e^{3t}\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{(s-3)^2}\). 
 **Explicação:** Use a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas 
por \(t\). 
 
9. **Problema:** Resolva a equação \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 1, 2, 3\). 
 **Explicação:** Fatorize o polinômio ou use o método de tentativa e erro para encontrar as 
raízes. 
 
10. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{2}{15}\). 
 **Explicação:** Use a identidade \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\) para simplificar a integral. 
 
11. **Problema:** Determine o valor de \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\ln(\ln(2)) - \ln(\ln(1))\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \ln(x)\) para simplificar a integral. 
 
12. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{\pi} x \cos(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\pi\). 
 **Explicação:** Use integração por partes, onde \(u = x\) e \(dv = \cos(x) \, dx\). 
 
13. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{-1}^{1} x^3 \, dx\). 
 **Resposta:** \(0\). 
 **Explicação:** A função \(x^3\) é ímpar e a integral de uma função ímpar sobre um 
intervalo simétrico é zero. 
 
14. **Problema:** Determine a solução da equação \(y'' + 4y = 0\). 
 **Resposta:** \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\). 
 **Explicação:** Resolva a equação característica associada. 
 
15. **Problema:** Calcule a série de Taylor de ordem 4 para \(e^x\) em torno de \(x = 0\). 
 **Resposta:** \(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}\). 
 **Explicação:** Expanda \(e^x\) usando a fórmula da série de Taylor. 
 
16. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\). 
 **Explicação:** Utilize a fórmula da integral de Gauss. 
 
17. **Problema:** Determine a série de Fourier de \(f(x) = x\) no intervalo \([- \pi, \pi]\). 
 **Resposta:** \(f(x) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)\). 
 **Explicação:** Use a fórmula da série de Fourier para funções periódicas. 
 
18. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\). 
 **Resposta:** \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\). 
 **Explicação:** A solução geral é obtida a partir da equação característica. 
 
19. **Problema:** Encontre a integral \(\int e^{2x} \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{e^{2x}}{5} (\sin(x) - 2 \cos(x)) + C\). 
 **Explicação:** Use integração por partes duas vezes. 
 
20. **Problema:** Calcule o valor de \(\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \tan(\theta)\).