ANALISE-COMBINATORIA

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Questão 158 – ENEM 2020 Regular 
 
Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram 
em um condomínio fechado de uma cidade. O 
quadriculado representa a localização das ruas 
paralelas e perpendiculares, delimitando quadras 
de mesmo tamanho nesse condomínio, em que 
nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de 
André, Bernardo e Carlos, respectivamente. 
 
 
 
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa 
de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, 
seguindo ao longo das ruas do condomínio, 
fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) 
ou para cima ( ↑ ), segundo o esquema da figura. 
O número de diferentes caminhos que André 
poderá utilizar para realizar o deslocamento nas 
condições propostas é 
 
a) 4. 
b) 14. 
c) 17. 
d) 35. 
e) 48. 
 
 
Questão 163 – ENEM 2020 Regular 
 
Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do 
personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a 
frase “I AM LORD VOLDEMORT”. 
 
Suponha que Harry quisesse formar todos os 
anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma 
que as vogais e consoantes aparecessem sempre 
intercaladas, e sem considerar o espaçamento 
entre as letras. 
 
Nessas condições, o número de anagramas 
formados é dado por: 
 
a) – 9! 
b) – 4!5! 
c) – 2 x 4! 5! 
d) – 9! / 2 
e) – 4!5! / 2 
 
 
 
Questão 143 – ENEM 2020 Reaplicação 
 
Um determinado campeonato de futebol, 
composto por 20 times, é disputado no sistema de 
pontos corridos. Nesse sistema, cada time joga 
contra todos os demais times em dois turnos, isto 
é, cada time joga duas partidas com cada um dos 
outros times, sendo que cada jogo pode terminar 
empatado ou haver um vencedor. 
 
Sabendo-se que, nesse campeonato, ocorreram 
126 empates, o número de jogos em que houve 
ganhador é igual a 
 
a) 64. 
b) 74. 
c) 254. 
d) 274. 
e) 634 
 
 
Questão 173 – ENEM 2020 Reaplicação 
 
A prefeitura de uma cidade está renovando os 
canteiros de flores de suas praças. Entre as 
possíveis variedades que poderiam ser plantadas, 
foram escolhidas cinco: amor-perfeito, cravina, 
petúnia, margarida e lírio. Em cada um dos 
canteiros, todos com composições diferentes, 
serão utilizadas somente três variedades distintas, 
não importando como elas serão dispostas. 
 
Um funcionário deve determinar os trios de 
variedades de flores que irão compor cada 
canteiro. 
 
De acordo com o disposto, a quantidade de trios 
possíveis é dada por 
 
𝑎)	5 
	
𝑏)	5 ∗ 3 
	
𝑐)	
5!
(5 − 3)!
 
	
𝑑)
5!
(5 − 3)! 2!
 
	
𝑒)
5˜
(5 − 3)! 3!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 175 – ENEM 2020 Reaplicação 
 
O governador de um estado propõe a ampliação 
de investimentos em segurança no transporte 
realizado por meio de trens. Um estudo para um 
projeto de lei prevê que se tenha a presença de 
três agentes mulheres, distribuídas entre os 6 
vagões de uma composição, de forma que duas 
dessas agentes não estejam em vagões 
adjacentes, garantindo assim maior segurança 
aos usuários. 
 
Disponível em: www.sisgraph.com.br. Acesso em: 29 jan. 2015 
(adaptado). 
 
A expressão que representa a quantidade de 
maneiras distintas das três agentes serem 
distribuídas nos vagões é 
 
𝑎)	𝐶!" + 3! 
	
𝑏)	𝐶#" 
	
𝑐)	𝐶!"	𝑋	3! 
	
𝑑)	𝐴#" 
	
𝑒)	𝐴!"	𝑥	3! 
 
 
Questão 156 – ENEM 2019 Regular 
 
Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois 
são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei 
de praia. Eles precisam formar quatro duplas para 
a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser 
formada por dois jogadores canhotos. De quantas 
maneiras diferentes podem ser formadas essas 
quatro duplas? 
 
a) 69 
b) 70 
c) 90 
d) 104 
e) 105 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 159 – ENEM 2019 Regular 
 
O dono de um restaurante situado às margens de 
uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa 
de propaganda de seu restaurante ao longo da 
rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto 
aos seus clientes e concluiu que a probabilidade 
de um motorista perceber uma placa de anúncio é 
!
"
, com isso, após autorização do órgão 
competente, decidiu instalar novas placas com 
anúncios de seu restaurante ao longo dessa 
rodovia, de maneira que a probabilidade de um 
motorista perceber pelo menos uma das placas 
instaladas fosse superior a 
##
!$$
. 
 
A quantidade mínima de novas placas de 
propaganda a serem instaladas é 
 
a) 99 
b) 51 
c) 50 
d) 6 
e) 1 
 
 
Questão 171 – ENEM 2019 Regular 
 
Uma empresa confecciona e comercializa um 
brinquedo formado por uma locomotiva, pintada 
na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e 
tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 
são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na 
cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado 
utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, 
ordenados crescentemente segundo suas 
numerações, conforme ilustrado na figura. 
 
 
 
 
De acordo com as possíveis variações nas 
colorações dos vagões, a quantidade de trens que 
podem ser montados, expressa por meio de 
combinações, é dada por 
 
 
 
 
Questão 147 – ENEM 2019 Reaplicação 
 
Uma pessoa comprou um aparelho sem fio para 
transmitir músicas a partir do seu computador para 
o rádio de seu quarto. Esse aparelho possui quatro 
chaves seletoras e cada uma pode estar na 
posição 0 ou 1. Cada escolha das posições 
dessas chaves corresponde a uma frequência 
diferente de transmissão. 
 
A quantidade de frequências diferentes que esse 
aparelho pode transmitir é determinada por 
 
a) 6. 
b) 8. 
c) 12. 
d) 16. 
e) 24. 
 
 
Questão 165 – ENEM 2018 Regular 
 
O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento 
no qual vários fabricantes expõem seus modelos 
mais recentes de veículos, mostrando, 
principalmente, suas inovações em design e 
tecnologia. 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 
(adaptado). 
 
Uma montadora pretende participar desse evento 
com dois estandes, um na entrada e outro na 
região central do salão, expondo, em cada um 
deles, um carro compacto e uma caminhonete. 
Para compor os estandes, foram disponibilizados 
pela montadora quatro carros compactos, de 
modelos distintos, e seis caminhonetes de 
diferentes cores para serem escolhidos aqueles 
que serão expostos. A posição dos carros dentro 
de cada estande é irrelevante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 153 – ENEM 2021 Regular 
 
Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando 
como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 
tipos distintos de pedras ornamentais. Essa 
pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes 
e 15 pedras ornamentais distintas. 
 
A quantidade de fantasias com materiais 
diferentes que podem ser produzidas é 
representada pela expressão 
 
 
 
 
Questão 157 – ENEM 2021 Reaplicação 
 
Um diretor esportivo organiza um campeonato no 
qual haverá disputa de times em turno e returno, 
isto é, cada time jogará duas vezes com todos os 
outros, totalizando 380 partidas a serem 
disputadas. 
 
A quantidade de times (x) que faz parte desse 
campeonato pode ser calculada pela equação 
 
a) x = 380 – x² 
 
b) x² – x = 380 
 
c) x² = 380 
 
d) 2x – x = 380 
 
e) 2x = 380 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 143 – ENEM 2017 Regular 
 
Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é 
formado por uma carreta e dez carrinhos nela 
transportados, conforme a figura. 
 
 
No setor de produção da empresa que fabrica 
esse brinquedo, é feita a pintura de todos os 
carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique 
mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, 
branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado 
apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem 
uma cor fixa. A empresa determinou que em todo 
caminhão-cegonha deve haver pelo menos um 
carrinho de cada uma das quatro cores 
disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no 
caminhão-cegonha não gera um novo modelo do 
brinquedo. 
 
Com base nessas informações, quantos são os 
modelos distintos do brinquedo caminhão-
cegonha que essa empresa poderá produzir? 
 
𝑎)	𝐶#,! 
	
𝑏)	𝐶%," 
	
𝑐)	𝐶&',! 
	
𝑑)	6! 
	
𝑒)	4# 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 160 – ENEM 2017 Regular 
 
O comitê organizador da Copa doMundo 2014 
criou a logomarca da Copa, composta de uma 
figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com 
mãos que se unem formando a taça Fifa. 
Considere que o comitê organizador resolvesse 
utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, 
amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, 
de forma que regiões vizinhas tenham cores 
diferentes. 
 
 
De quantas maneiras diferentes o comitê 
organizador da Copa poderia pintar a logomarca 
com as cores citadas? 
 
a) 15 
b) 30 
c) 108 
d) 360 
e) 972 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 177 – ENEM 2017 Regular 
 
Uma empresa construirá sua página na internet e 
espera atrair um público de aproximadamente um 
milhão de clientes. Para acessar essa página, será 
necessária uma senha com formato a ser definido 
pela empresa. Existem cinco opções de formato 
oferecidas pelo programador, descritas no quadro, 
em que “L” e “D” representam, respectivamente, 
letra maiúscula e dígito. 
 
 
 
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem 
como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se 
repetir em qualquer das opções. 
A empresa quer escolher uma opção de formato 
cujo número de senhas distintas possíveis seja 
superior ao número esperado de clientes, mas que 
esse número não seja superior ao dobro do 
número esperado de clientes. 
 
A opção que mais se adequa às condições da 
empresa é 
 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
 
Questão 178 – ENEM 2017 Regular 
 
Como não são adeptos da prática de esportes, um 
grupo de amigos resolveu fazer um torneio de 
futebol utilizando videogame. Decidiram que cada 
jogador joga uma única vez com cada um dos 
outros jogadores. O campeão será aquele que 
conseguir o maior número de pontos. Observaram 
que o número de partidas jogadas depende do 
número de jogadores, como mostra o quadro: 
 
 
 
 
 
 
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas 
partidas serão realizadas? 
 
a) 64 
b) 56 
c) 49 
d) 36 
e) 28 
 
 
Questão 149 – ENEM 2017 Reaplicação 
 
Desde 1999 houve uma significativa mudança nas 
placas dos carros particulares em todo o Brasil. As 
placas, que antes eram formadas apenas por seis 
caracteres alfanuméricos, foram acrescidas de 
uma letra, passando a ser formadas por sete 
caracteres, sendo que os três primeiros caracteres 
devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) 
e os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 
9). Essa mudança possibilitou a criação de um 
cadastro nacional unificado de todos os veículos 
licenciados e ainda aumentou significativamente a 
quantidade de combinações possíveis de placas. 
Não são utilizadas placas em que todos os 
algarismos sejam iguais a zero. 
 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 14 jan. 2012 
(adaptado) 
 
Nessas condições, a quantidade de placas que 
podem ser utilizadas é igual a 
 
𝑎)	26" + 9! 
	
𝑏)	26" ∗ 9! 
	
𝑐)	26"(10! − 1) 
	
𝑑)	(26" + 10!) − 1 
	
𝑒)	(26" ∗ 10!) − 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 147 – ENEM 2015 Regular 
 
Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV 
e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro 
quesitos são julgados, cada um por dois jurados, 
que podem atribuir somente uma dentre as notas 
6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que 
obtiver maior pontuação na soma de todas as 
notas emitidas. Em caso de empate, a campeã 
será a que alcançar a maior soma das notas 
atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e 
Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile 
desse ano no momento em que faltava somente a 
divulgação das notas do jurado B no quesito 
Bateria. 
 
 
 
Quantas configurações distintas das notas a 
serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria 
tornariam campeã a Escola II? 
 
a) 21 
b) 90 
c) 750 
d) 1 250 
e) 3 125 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 164 – ENEM 2015 Regular 
 
Uma família composta por sete pessoas adultas, 
após decidir o itinerário de sua viagem, consultou 
o site de uma empresa aérea e constatou que o 
voo para a data escolhida estava quase lotado. Na 
figura, disponibilizada pelo site, as poltronas 
ocupadas estão marcadas com X e as únicas 
poltronas disponíveis são as mostradas em 
branco. 
 
 
O número de formas distintas de se acomodar a 
família nesse voo é calculado por 
 
𝑎)
91
2!
 
	
𝑏)	
9!
7! ∗ 2!
 
	
𝑐)	7! 
	
𝑑)	
5!
2!
∗ 4! 
	
𝑒)	
5!
4!
∗
4!
3!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 147 – ENEM 2016 Regular 
 
O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo 
a ser adotada depende, entre outros fatores, de o 
adversário ser canhoto ou destro. 
 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 
4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube 
deseja realizar uma partida de exibição entre dois 
desses jogadores, porém, não poderão ser ambos 
canhotos. 
 
Qual o número de possibilidades de escolha dos 
tenistas para a partida de exibição? 
 
𝑎)	
10!
2! ∗ 8!
−
4!
2! ∗ 2!
 
	
𝑏)	
10!
8!
−
4!
2!
 
	
𝑐)	
10!
2! ∗ 8!
− 2 
	
𝑑)	
6!
4!
+ 4 ∗ 4 
	
𝑒)	
6!
4!
+ 6 ∗ 4 
 
 
Questão 168 – ENEM 2016 Regular 
 
Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa 
escolher uma senha composta por quatro 
caracteres, sendo dois algarismos e duas letras 
(maiúsculas ou minúsculas). As letras e os 
algarismos podem estar em qualquer posição. 
Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por 
vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere 
da minúscula em uma senha. 
 
O número total de senhas possíveis para o 
cadastramento nesse site é dado por 
 
𝑎)	10( ∗ 26( 
	
𝑏)	10( ∗ 52( 
	
𝑐)	10( ∗ 52( ∗
4!
2!
 
	
𝑑)	10( ∗ 26( ∗
4!
2! ∗ 2!
 
	
𝑒)	10( ∗ 52( ∗
4!
2! ∗ 2!
 
 
 
 
Questão 172 – ENEM 2016 2° Aplicação 
 
Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez 
o seguinte desenho e o entregou à criança 
juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele 
deseja que a menina pinte somente os círculos, de 
modo que aqueles que estejam ligados por um 
segmento tenham cores diferentes. 
 
 
 
De quantas maneiras diferentes a criança pode 
fazer o que o pai pediu? 
 
a) 6 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
e) 72 
 
 
Questão 142 – ENEM 2022 Regular 
 
Uma montadora de automóveis divulgou que 
oferta a seus clientes mais de 1 000 configurações 
diferentes de carro, variando o modelo, a 
motorização, os opcionais e a cor do veículo. 
Atualmente, ela oferece 7 modelos de carros com 
2 tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em relação aos 
opcionais, existem 3 escolhas possíveis: central 
multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro, 
podendo o cliente optar por incluir um, dois, três 
ou nenhum dos opcionais disponíveis. 
 
Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade 
mínima de cores que a montadora deverá 
disponibilizar a seus clientes é 
 
a) 8. 
b) 9. 
c) 11. 
d) 18. 
e) 24. 
 
 
 
Questão 155 – ENEM 2022 Regular 
 
Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 
quartos por andar, está com todos os seus 
apartamentos à venda. Os apartamentos são 
identificados por números formados por dois 
algarismos, sendo que a dezena indica o andar 
onde se encontra o apartamento, e a unidade, um 
algarismo de 1 a 8, que diferencia os 
apartamentos de um mesmo andar. Quanto à 
incidência de sol nos quartos desses 
apartamentos, constatam-se as seguintes 
características, em função de seus números de 
identificação: 
 
• naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os 
quartos recebem sol apenas na parte da manhã; 
• naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas 
um dos quartos recebe sol na parte da manhã; 
• naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os 
quartos recebem sol apenas na parte da tarde. 
 
 
Uma pessoa pretende comprar 2 desses 
apartamentos em um mesmo andar, mas quer 
que, em ambos, pelo menos um dos quartos 
receba sol na parte da manhã. 
 
De quantas maneiras diferentes essa pessoa 
poderá escolher 2 desses apartamentos para 
compra nas condições desejadas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 158 – ENEM 2020 Regular 
 
Este exercício quer saber quantas formas 
diferentes André tem para chegar na casa de 
Bernardo, sem passar pelacasa de Carlos. 
 
Logo, para fazermos uma análise como esta a 
forma mais fácil é você contabilizar todas as 
formas possíveis (incluindo aquelas que passam 
por Carlos) e depois descontar as possibilidades 
que passam pela casa de Carlos. 
 
Portanto, no primeiro momento vamos calcular as 
possibilidades totais. Este é um exercício claro de 
permutação com repetição. Para os casos totais 
vamos ter 4 deslocamentos para a direita e 3 
deslocamentos pra cima, sendo assim em nossa 
permutação: 
 
 
Portanto, temos 35 possibilidades no total. Agora, 
vamos ter que calcular quantas são as 
possibilidades que passam pelo Carlos. Para isso, 
primeiro calculamos os caminhos de A até C, 
depois calculamos os caminhos de C até B, pois 
com essas duas contas vamos saber os caminhos 
totais que passam por C, uma vez que os 
caminhos até C não representam as 
possibilidades até B, que é o solicitado pelo 
exercício. 
 
Para A até C, temos 2 deslocamentos a direita e 2 
para cima, logo: 
 
 
 
Agora, para C até B, temos 2 deslocamentos pra 
a direita e 1 para cima, logo: 
 
 
Agora, para sabermos as possibilidades totais 
multiplicamos um pelo outro: 
 
𝑃! → 𝐶 → 𝐵 = 6 ∗ 3 = 18 
 
Por fim, descontamos os casos que passam por C 
dos casos totais, logo: 
 
35 − 18 = 17 
 
Sendo assim, a alternativa correta é C. 
 
 
Questão 163 – ENEM 2020 Regular 
 
para calcular o número de anagramas com a frase 
“I AM POTTER”, sendo que vogais e consoantes 
aparecessem sempre intercaladas. 
 
Para isso podemos analisar que temos: 
 
• 4 Vogais: I, A, O e E 
• 5 Consoantes: M, P, T, T e R 
 
Para formar um anagrama intercalando vogais e 
consoantes podemos fazer da seguinte forma: 
 
𝐶	𝑉	𝐶	𝑉	𝐶𝑉	𝐶𝑉	𝐶 
 
Para sabermos as quantidades de variações de 
vogais nessas 4 posições podemos fazer uma 
permutação. Como não temos repetição de vogais 
a nossa permutação não terá repetição. Logo: 
 
𝑃" = 4! 
 
Esse é o valor de possibilidades nas posições das 
vogais. 
 
Para as consoantes fazemos a mesma coisa, 
poremos temos repetição do elemento “T”. 
Portanto será uma permutação com repetição: 
 
𝑃!" =
!!
"!
 
 
Esse é o número de possibilidades diferentes das 
variações das consoantes. 
 
Para as possibilidades totais basta multiplicar um 
pelo outro, logo: 
 
4 ∗
5!
2!
=
4! ∗ 5!
2!
 
 
Logo, a resposta é a alternativa E. 
 
 
Questão 143 – ENEM 2020 Reaplicação 
 
este sistema de pontos corridos do enunciado é o 
mesmo adotado nas séries A e B do Brasileirão 
(Campeonato Brasileiro de Futebol). 
Primeiramente, vamos calcular a quantidade total 
de partidas (P) desta competição da seguinte 
forma: 
 
P = [Número de partidas em cada Rodada] X 
[Quantidade de Rodadas] 
 
Uma rodada é um dia onde todos os times da 
competição se enfrentam. Não precisam jogar 
necessariamente no mesmo dia. Em cada rodada, 
 
como temos 20 times jogando entre si, então 
teremos um total de 10 partidas. 
 
A quantidade de rodadas é igual ao número de 
times, menos um, vezes dois turnos. Ou seja, vale 
(20 -1) x 2 = 19 x 2 = 38 rodadas. É só pensar que 
o seu time nesta competição, por exemplo, só terá 
outros 19 times para enfrentar, e como vai 
enfrentá-los duas vezes, então o resultado é 19 x 
2 = 38. 
 
P = 10 x 38 = 380 partidas no total. 
 
Como ocorreram 126 empates, então o número de 
partidas onde houve ganhador foi de 380 - 126 = 
254. 
 
Alternativa correta é a letra C. 
 
 
Questão 173 – ENEM 2020 Reaplicação 
 
temos claramente um exercício de análise 
combinatória. Nesse exercício vamos precisar 
encontrar quantas formas diferentes de formarem 
trios com as flores nos canteiros. 
 
Segundo o enunciado: 
 
• Cinco tipos de flores; 
• Três tipos possíveis de flores; 
 
Sabendo essas informações, já conseguimos 
definir que será um arranjo ou uma combinação. 
Para saber qual dos dois será é fácil: a ordem das 
flores importa? Não, então é uma combinação. 
 
Se eu colocar margarida, lírio e petúlia vai ser a 
mesma coisa que se eu colocar lírio, margardia e 
petúlia. Portanto temos uma combinação de 5 
elementos agrupados 3 a 3. 
 
𝐶#$ =
5!
3! ∗ (5 − 3)!
 
 
Logo, a alternativa correta é a letra E. 
 
 
Questão 175 – ENEM 2020 Reaplicação 
 
O exercício quer saber “ A expressão que 
representa a quantidade de maneiras distintas das 
três agentes serem distribuídas nos vagões“. 
 
Se liga na dica: temos um exercício de análise 
combinatória. Para solucionar este exercício 
vamos ter de analisar as possibilidades de 
posições das agentes. 
 
Observando o enunciado temos que: 
 
• São 6 vagões; 
• São 3 agentes; 
• As agentes não podem estar em vagões 
adjacentes; 
 
Sendo assim, podemos representar as formas das 
agentes estarem distribuídas entre os vagões: 
 
 
 
Logo, temos quatro possibilidades de 
representação das agentes. 
 
Para identificar se é um arranjo ou uma 
combinação é simples: se eu pegar a primeira 
representação e trocar com a segunda muda 
alguma coisa? No caso considere a próxima 
representação: 
 
 
Note que trocamos a primeira e segunda 
possibilidade. Não muda nada, continuam sendo 4 
possibilidades. Sendo assim temos uma 
combinação de 4 elementos agrupados 3 a 3: 
 
𝐶"# 
 
Para finalizar as agentes podem ser trocadas 
entre si, temos então uma permutação de 3 
agentes, que irá multiplicar a combinação: 
 
𝐶"# ∗ 3! 
 
A alternativa correta é a letra C. 
 
 
 
Questão 156 – ENEM 2019 Regular 
 
Vamos começar calculando de quantas maneiras 
podemos formar quatro duplas, sem a restrição de 
que nenhuma dupla pode ser formada por dois 
canhotos. 
 
Se colocarmos os 8 amigos em uma fila, podemos 
organizar as duplas da seguinte maneira: 
 
O primeiro e o segundo da fila formam uma dupla. 
O terceiro e o quarto formam outra dupla. 
O quinto e o sexto formam outra dupla. 
O sétimo e o oitavo formam outra dupla. 
 
Para continuar, precisamos calcular de quantas 
maneiras podemos dispor os 8 amigos numa fila. 
Ou seja, de quantas maneiras podemos permutar 
os 8 amigos numa fila. 
 
Mas isso é um resultado conhecido. Podemos 
permutar os 8 amigos numa fila de 8! maneiras 
diferentes. 
 
Agora, temos que prestar atenção em um detalhe. 
Algumas das permutações levam a divisões 
idênticas dos amigos em duplas. 
 
Por exemplo, essas duas permutações abaixo 
acabam levam à mesma divisão dos amigos em 
duplas: 
 
AB CD EF GH 
CD GH AB EF 
 
O que concluímos: quando calculamos 8!, a gente 
acabou incluindo várias vezes a mesma divisão 
em duplas. 
 
Bom, mas quantas vezes a gente contou 
repetidamente cada divisão em duplas? Vamos 
ver isso agora. 
 
Considere a divisão em duplas: AB CD EF GH. 
Qualquer permutação desses 4 elementos geram 
a mesma divisão em duplas. Por exemplo: 
 
CD AB GH EF 
EF GH AB CD 
GH CD AB EF 
EF CD AB GH 
… 
 
E, de quantas maneiras podemos permutar 4 
elementos? Isso é um resultado conhecido. De 4! 
maneiras. 
 
Conclusão: No valor de 8!, contamos 
repetidamente 4! vezes a mesma divisão em 
duplas. Logo, o número de maneira que podemos 
dividir 8 amigo em duplas é: 
 
8! / 4! 
 
Isso equivale a: 
 
8.7.6.5.4.3.2.1 / 4.3.2.1 = 8.7.6.5 = 1680. 
 
Ah, ainda não acabou! Nesse valor de 1680, ainda 
estamos contando repetidamente a mesma 
divisão em duplas. Olha só o exemplo abaixo: 
 
AB CD EF GH 
BA CD EF GH 
AB DC EF GH 
BA DC EF GH 
AB CD FE HG 
… 
 
Todas essas configurações dos 8 amigos 
equivalem à mesma divisão em duplas. 
 
Mas quantas configurações desse tipo existem, 
que seja equivalente a: 
 
AB CD EF GH 
 
Cada dupla pode ficar disposta de duas maneiras 
diferentes: 
 
AB e BA 
CD e DC 
EF e FE 
GH e HG 
 
Então existem 2.2.2.2 configurações diferentes 
que equivalem à mesma divisão em duplas. 
 
Logo o número de maneiras de dividir os 8 amigos 
em 4 duplas é: 
 
1680 / 2.2.2.2 = 1680 / 16 = 105 
 
Agora, vamos calcular de quantas maneiras 
podemos dividir os amigos em duplas de modo 
que os dois canhotos fiquem juntos. 
 
Bom, nesse caso, os dois canhotos já estão 
definidos na mesma dupla. Então, a gente só 
precisa calcular de quantas maneiras podemosdividir os 6 amigos restantes em 3 duplas. Se a 
gente repetir o mesmo raciocínio, a gente a chegar 
em: 
 
6! / 3!.2.2.2 
 
Isso equivale a: 
 
6.5.4.3.2.1 / 3.2.1.2.2.2 
 
= 6.5.4 / 2.2.2 = 15 
 
Agora, vamos voltar para a questão do enunciado: 
 
De quantas maneiras podemos formar quatro 
duplas, sem que tenham dois canhotos juntos? 
 
Bom, basta subtrair os dois valores que a gente já 
calculou. 
 
Há 105 maneiras de formar quatro duplas. 
Há 15 maneiras de formar quatro duplas, de modo 
que os dois canhotos fiquem juntos. 
 
Subtraindo fica: 105 – 15 = 90 
 
 
Questão 159 – ENEM 2019 Regular 
 
Para esse exercício, é necessário perceber uma 
pequena sacada. 
 
Em vez de começar pela pergunta do enunciado, 
vamos estudar a probabilidade de que um 
motorista não perceba nenhuma das placas. 
 
Por que fazer isso? A resposta está na expressão 
abaixo. 
 
P(motorista perceber pelo menos uma placa) = 1 
– P(motorista não perceber nenhuma placa) 
 
Vamos estudar o caso em que o dono do 
restaurante colocou apenas uma placa na rodovia. 
 
A probabilidade de um motorista perceber a placa 
é 1/2. Mas a probabilidade do motorista não 
perceber também é 1/2. 
 
Agora, vamos estudar o caso que o dono do 
restaurante colocou duas placas na rodovia. 
 
A probabilidade do motorista não perceber 
nenhuma delas é 1/2 x 1/2 = 1/4 
 
Caso de 3 placas na rodovia: 
 
A probabilidade do motorista não perceber 
nenhuma delas é 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8 
 
É necessário continuar com esse raciocínio até 
que a probabilidade fique menor do que 1/100. Por 
que? Pois se P menor que 1/100, nós temos que 
1 – P > 99/100 
 
A gente chega nisso com 7 placas, pois: 
 
Se multiplicarmos 1/2 por sete vezes, o resultado 
fica 1/27 = 1/128. E esse valor é menor do que 
1/100. 
Agora, vamos voltar para aquela expressão do 
começo: 
 
P(motorista perceber pelo menos uma placa) = 1 
– P(motorista não perceber nenhuma placa) 
 
No caso de haver 7 placas na rodovia: 
 
P(motorista perceber pelo menos uma placa) = 1 
– 1/128 > 1 – 1/100 = 99/100. 
 
Logo, devem haver 7 placas na rodovia, ou seja, o 
dono do restaurante deve acrescentar mais 6 
novas placas. 
 
Alternativa D. 
 
 
Questão 171 – ENEM 2019 Regular 
 
Vamos começar pela cor vermelha. Dentre os 12 
vagões, nós temos que escolher 4 para pintar de 
vermelho. De quantas maneiras podemos fazer 
essa escolha? 
 
Bom, podemos fazer a escolha de 𝐶%&" maneiras 
distintas (Esse resultado vem do conceito de 
combinações, que é um tema muito conhecido de 
análise combinatória). 
 
Beleza, nesse ponto já escolhemos 4 vagões para 
pintar de vermelho. Se no total são 12, e já 
pintamos 4, então ainda faltam 12 – 4 = 8 vagões 
para pintar. 
 
Vamos partir para a cor azul. O enunciado fala que 
3 vagões devem ser pintados de azul. Ainda temos 
8 vagões sem pintar. Destes 8, temos que 
escolher 3 para colorir de azul. De quantas 
maneiras podemos fazer isso? 
 
Podemos fazer essa escolha de 𝐶'#	maneiras 
distintas. 
 
Ótimo, agora quantos vagões ainda sobraram sem 
pintar? Haviam 8, e pintamos 3 de azul. Então 
sobraram 8 – 3 = 5 vagões para pintar. 
 
Vamos partir para a cor verde. O enunciado fala 
que 3 vagões tem que ser pintados de verde. 
Então, dos 5 vagões que sobraram, temos que 
escolher 3 para pintar de verde. De quantas 
maneiras podemos fazer essa escolha? 
 
Podemos fazer de 𝐶$#maneiras distintas. 
 
Perfeito! Haviam 5 vagões, e pintamos 3 de verde. 
Ainda sobram 5 – 3 = 2 vagões para pintar. 
 
 
Agora vamos para a última cor, amarela. Do nosso 
raciocínio no parágrafo anterior, ainda tem 2 
vagões sem pintar. E também sabemos, pelo 
enunciado, que 2 vagões devem ser pintados de 
amarelo. Então, dentre os 2 vagões que sobraram, 
de quantas maneiras podemos escolher 2 para 
pintar de amarelo? 
 
Bom, só sobraram 2 vagões, e temos que pintar 2 
de amarelo. Então obrigatoriamente temos que 
pintar os 2 vagões de amarelo. Conclusão, a gente 
só tem 1 maneira de fazer a escolha, que é 
justamente escolhendo os 2 vagões que sobraram 
para pintar de amarelo. 
 
Mas, para o nosso resultado ficar igual a uma das 
alternativas do enunciado, vou dizer que podemos 
fazer essa escolha de 𝐶&& maneiras. Lembrando 
que 𝐶&& é igual a 1. 
 
Pronto, agora pra concluir, de quantas maneiras 
podemos pintar o trem? 
 
Temos 𝐶%&" maneiras de escolher os vagões a 
serem pintados de vermelho. 𝐶'#	maneiras de 
escolher os azuis. 𝐶$#	maneiras de escolher os 
verdes. E 𝐶&&	maneiras de escolher os amarelos. 
 
Então, multiplicando esses valores, nós temos 
𝐶%&" 	𝑥	𝐶'#	𝑥	𝐶$#	𝑥	𝐶&&	de maneiras de pintar o trem. 
 
Alterativa E. 
 
 
Questão 147 – ENEM 2019 Reaplicação 
 
Dados: 
 
- O aparelho referido no exercício possui 4 chaves 
seletores, e cada uma delas pode estar na posição 
0 ou 1. 
 
- Cada escolha das posições dessas chaves 
seletoras relaciona-se a uma frequência diferente 
de transmissão. 
 
Logo, temos: 
 
2 frequências 
 
4 chaves seletoras 
 
Calculando: 
 
2⁴ = 16 
 
Alternativa D. 
 
 
 
Questão 165 – ENEM 2018 Regular 
 
Combinação simples é um tipo de agrupamento da 
análise combinatória, ou seja, subconjuntos que 
podem formar com uma quantidade de elementos 
de um conjunto maior. 
 
Na combinação a ordem dos elementos não 
importa, só precisamos calcular a quantidade de 
agrupamentos não ordenados que é possível 
formar escolhendo uma quantidade de elementos 
de um conjunto. 
 
Na questão, precisamos escolher 2 carros em um 
total de 4. Portanto, 𝐶",&. Agora precisamos 
escolher 2 caminhões de 6, portanto, 𝐶),&. Então, 
existem duas formas de colocarmos os caminhões 
que são entrada e centro e duas formas de 
colocarmos os carros, sendo também entrada e 
centro, ou seja 𝐶"&	𝑥	𝐶)&	𝑥	2	𝑥	2. 
 
Logo, a alternativa correta é a letra C. 
 
 
Questão 153 – ENEM 2021 Regular 
 
O comando deste exercício é: A quantidade de 
fantasias com materiais diferentes que podem ser 
produzidas é representada pela expressão . 
 
O exercício quer saber qual é a expressão correta 
para a quantidade de fantasias diferentes que 
podem ser produzidas. 
 
Segundo o enunciado temos que: 
 
• Serão usados 2 tecidos e 5 tipos diferentes 
de pedras; 
• Ela tem 6 tecidos de opção; 
• Ela tem 15 pedras de opção. 
 
Logo, temos claramente um exercício de análise 
combinatória. 
 
Esse é um exercício de combinação. Uma vez que 
a ordem das escolhas das pedras, ou dos tecidos, 
não interfere. Por exemplo; 
 
Se ela escolher pedras VERDE, AMARELA E 
AZUL é a mesma coisa que AZUL, AMARELA E 
VERDE. Logo, como a ordem não interfere, é uma 
combinação. 
 
Desta forma, temos que: 
 
Para as pedras: 5 pedras escolhidas dentre 15. 
Uma combinação de 15 agrupadas 5 a 5. 
 
Para os tecidos: 2 escolhidos dentre 6 opções. 
Uma combinação de 6 agrupados 2 a 2. 
 
 
Sendo assim, temos que as possibilidades totais 
serão: 
 
𝑇𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 ∗ 𝑝𝑒𝑑𝑟𝑎𝑠 
 
𝐶)& ∗ 𝐶%$$ 
	
6!
4! ∗ 2!
∗
15!
10! ∗ 5!
 
 
Logo, a alternativa correta é a letra A. 
 
 
Questão 157 – ENEM 2021 Reaplicação 
 
O comando deste exercício é: A quantidade de 
times (x) que faz parte desse campeonato pode 
ser calculada pela equação. 
 
Logo queremos saber qual a expressão correta 
que vai nos dar a quantidade corretas de times 
para termos 380 partidas em 2 turnos de 
campeonatos. 
 
Para isso, vamos começar eliminando algumas 
alternativas: 
 
Alternativa C) 
 
Para calcularmos a quantidade de times 
podemos passar o quadrado como raiz: 
 
𝑥 = √380 
 
Sabemos que não existe raiz exata de 380, logo 
essa pode ser descartada. 
 
Alternativa D) 
 
Basta solucionar a equação: 
 
2𝑥 − 𝑥 = 380	
𝑥 = 380 
 
Não tem como ser 380 times e ter 380 partidas 
em 2 turnos. 
 
Alternativa E) 
 
Solucionar a equação: 
 
2𝑥 = 380	
𝑥 =
380
2
	
𝑥 = 190	 
 
Também não tem como ser 380 partidas em 2 
turnos com 190 times, lembrando que cada time 
tem que jogar com cada outro time. 
Sobram apenas duas alternativas, A e B. Vamos 
solucionar elas então. 
 
Alternativa A) 
 
𝑥 = 380 − 𝑥&	
𝑥& + 𝑥 − 380 = 0 
 
Solucionando a equação:𝑥 =
−1 ± E1 − 4 ∗ 1 ∗ (−380)
2
=
−1 ± √1521
2
 
	
𝑥 =
−1 ± 39
2
 
	
𝑥* =
−1 + 39
2
= 19 
	
𝑥** =
−1 − 39
2
= −20 
 
Como não tem como ter quantidade de times 
negativo, vamos calcular os jogos apenas com o 
19. Podemos utilizar um arranjo, uma vez que a 
ordem interfere já que são dois turnos de jogos 
(Time A x Time B é diferente de Time B x Time A). 
 
Logo: 
 
𝐴%+& =
19!
17!
=
19 ∗ 18 ∗ 17!
17!
= 19 ∗ 18 = 342 
 
Logo, como são 342 partidas, a alternativa A 
também está descartada. Logo a alternativa 
correta é a letra B, pois já descartamos todas as 
outras. 
 
Mas vamos fazer a conta para confirmar: 
 
Alternativa B: 
 
𝑥& − 𝑥 = 380	
𝑥& − 𝑥 − 380 = 0 
 
Solucionando a equação: 
 
𝑥 =
1 ±E1 − 4 ∗ 1(−380)
2
=
1 ± √1521
2
 
	
𝑥 =
1 ± 39
2
 
	
𝑥* =
1 + 39
2
= 20 
	
𝑥" =
1 − 39
2
= −19 
 
 
 
Como não tem como ter quantidade de times 
negativo, vamos calcular os jogos apenas com o 
20. Podemos utilizar um arranjo, uma vez que a 
ordem interfere já que são dois turnos de jogos 
(Time A x Time B é diferente de Time B x Time A). 
 
Logo: 
 
𝐴&,& =
20!
18!
=
20 ∗ 19 ∗ 18!
18!
= 20 ∗ 19 = 380 
 
Logo como deu 380 jogos, a alternativa B 
realmente é a correta, com 20 times. 
 
 
Questão 143 – ENEM 2017 Regular 
 
Para fazer essa questão utilizaremos uma 
combinação simples com repetição. Cuja fórmula 
pode ser dada por: 
 
𝐶-./0%,/% =
𝑛 + 𝑟 − 1!
𝑛! (𝑟 − 1)!
 
 
As cores dos 10 carrinhos podem ser Amarelo , 
Branco, Laranja e Verde. 
 
Sabe-se que deve haver pelo menos um carrinho 
de cada cor então temos 4 carrinhos com cores A, 
B, L, V e 6 carrinhos que podem variar as cores . 
Dessa forma n=6 . Há 4 cores , então existem 4 
formas de acontecerem estes 6 eventos , então 
r=4 . Temos então: 
 
𝐶+,# =
(6 + 4 − 1)!
6! (4 − 1)!
 
 
Ou seja, 
 
𝐶+,# =
9!
6! 3!
 
 
Realizando os devidos cálculos encontramos que 
existem 504 modelos distintos a serem 
produzidos. Alternativa B. 
 
 
Questão 160 – ENEM 2017 Regular 
 
Para chegar ao resultado, é necessário supor que 
o examinador irá querer que as cores utilizadas 
sejam da bandeira do Brasil, não necessariamente 
todas as quatro cores, verde, amarelo, azul e 
branco. 
 
Com isso, podemos pegar uma área de qualquer 
figura, e dela faremos 4 opções de cores, e nessas 
áreas, as laterais não podem ter cores iguais, 
desta forma, serão apenas 3 opções. 
 
As demais áreas também não devem ter cores 
iguais. Portanto, podemos pensar da seguinte 
maneira: 
 
Com o número total de 6 áreas, vamos ter as 
possibilidades de: 4 alternativas de cores na 
primeira área, e 3 alternativas de cores para as 
demais áreas que sobrarem, que neste caso são 
5. 
 
Assim, a resolução fica: 
 
4 . 3. 3 . 3. 3 . 3 = 4.3 elevado a 5a potência, que 
é igual a 972. 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra E. 
 
 
Questão 177 – ENEM 2017 Regular 
 
Foi nos dado as seguintes informações: 
 
• L significa “Letras Maiúsculas”, que tem 26 
possibilidades. 
 
• D significa “Dígitos”, que tem 10 
possibilidades. 
 
• O número de senhas possíveis deve ser 
maior que 1 milhão e menor que 2 milhões. 
 
 O valor desejado equivale a n e deve estar no 
seguinte intervalo: 
 
10) < 𝑛 < 2 ∗ 10) 
 
Para saber qual melhor número se adequa ao 
intervalo, temos de calcular qual a quantidade total 
de possibilidades, que é o produto das 
possibilidades individuais de cada letra. Vamos 
aos cálculos. 
 
 
 
Inválido, por ser maior do que n. 
 
 
 
Inválido, por ser igual ao valor mínimo. 
 
 
 
 
 
Inválido, por ser maior do que n. 
 
 
 
Inválido, por ser menor que o valor mínimo. 
 
 
 
Esse valor supre corretamente o valor de n. 
 
Com base no que foi mostrado, podemos afirmar 
que a resposta correta está na alternativa E. 
 
 
Questão 178 – ENEM 2017 Regular 
 
Considerando um número N de jogadores, cada 
jogador poderá jogar com N-1 outros jogadores, 
ou seja, ele não jogará com ele mesmo. Além 
disso, precisamos eliminar as repetições e para 
isso vamos dividir a nossa fórmula por 2, para 
evitarmos que a combinação de jogares A + B e B 
+ A sejam computadas. Logo: 
 
Q = N x (N-1) / 2 
 
Para N igual a 8 jogadores, temos: 
 
Q = 8 (8 - 1) / 2 
Q = 8 x 7 / 2 
Q = 28 partidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 149 – ENEM 2017 Reaplicação 
 
O número total de placas pode ser dado pelo 
número 26# ∗ 10". 
 
Com o número 26# , temos todos as placas em que 
todos os algarismos utilizados são iguais a zero, 
portanto, a combinação de placas que terá 
algarismos diferentes de zero deve ser dada pela 
exclusão do número total de placas com 0. 
Portanto: 
 
26# ∗ 10" − 26# 
	
26#(10" − 1) 
 
 
Questão 147 – ENEM 2015 Regular 
 
Primeiro, as escolas I, III e V não podem ser 
campeãs, já que elas não conseguiriam ficar 
acima de 68 pontos. Em caso de empate, a 
campeã é a escola II, pois ganha no quesito 
enredo. A escola II é campeã em 6 casos 
possíveis e em cada um deles temos 5 possíveis 
maneiras de cada uma das outras escolas se 
colocarem. Assim, o número total de 
configurações será de 6 . 5 . 5 = 750. 
 
 
Questão 164 – ENEM 2015 Regular 
 
Geralmente, as resoluções que você encontra 
para ela na internet apenas jogam fórmulas ou 
utilizam métodos que, às vezes, mais confundem 
do que ajudam. Tentarei explicar de uma maneira 
bem interessante e EXTREMAMENTE 
MASTIGADA. É necessário, no entanto, ter algum 
conhecimento sobre análise combinatória. Vamos 
lá. Temos que a família é composta por 7 pessoas 
e há 9 assentos vazios no avião. O que podemos 
concluir com isso? Que após todos os integrantes 
dessa família se sentarem restarão 2 assentos 
vazios (supondo que ninguém mais entrará na 
aeronave). 
 
Para "matar" essa questão, deveremos saber 
QUANTAS POSSIBILIDADES EXISTEM PARA 
DOIS ASSENTOS VAZIOS. Vamos dar nomes a 
eles para facilitar o entendimento: 
 
A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9} | n(A) = 9 
 
Descobrindo quantas sequências de dois 
assentos distintos são possíveis: 
 
n . (n - 1) 
[por isso eu disse que era necessário ter algum 
conhecimento sobre AC] 
n = 9, logo 
 
 
9. (9 - 1) = 72 
 
Há 72 possibilidades, mas cuidado: dentre essas 
possibilidades temos, por exemplo, 
 
Assentos vagos: 
a1 e a7 
a7 e a1 
 
Note que os assentos serão os mesmos, qualquer 
que seja a ordem. Isso significa que temos, para 
cada conjunto de dois assentos, uma sequência a 
mais ("desnecessária"). Vamos dividir por 72 por 
2. 
 
72/2 = 36 
 
Pronto. Você pode estar perguntando, "Mas qual 
foi a sequência que restou quando você dividiu?". 
Não interessa. Isso não é importante. O 
importante é que você já tem as sequências de 
dois assentos. Simples. 
 
Continuando: 
 
Como temos 36 conjuntos possíveis de 2 assentos 
para ficarem livres, para cada um teremos os 7 
assentos restantes ocupados pelos membros da 
família. Perceba que se os assentos a3 e a8 
ficarem vazios, a família se acomodará nos outros 
(a1, a2, a4, a5, a6, a7, a9). 
 
A questão agora é saber DE QUANTAS 
MANEIRAS DISTINTAS AS PESSOAS PODEM 
OCUPAR ESSES ASSENTOS. Vamos lá: 
 
F = {f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7} | n(F) = 7 
 
n . (n - 1) . (n - 2) ... 3 . 2 . 1 = 
7 . 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 (ou 7!) = 5040 
 
Assim, há 5040 maneiras distintas dessas 
pessoas se acomodarem no avião QUANDO OS 
ASSENTOS a3 E a8 ESTIVEREM VAZIOS. Note 
que são 5040 apenas para a3 e a8 vazios. 
Lembre-se de que temos 36 possibilidades de dois 
assentos vazios. Logo, a resposta final da questão 
será dada pelo produto entre 5040 e 36. 
 
5040 . 36 = 181440 
 
O negócio agora é ir testando os itens. Felizmente, 
a resposta já está na letra A, pois 
 
9!
2!
= 181440 
 
 
 
Questão 147 – ENEM 2016 Regular 
 
O Exercício proposto pode ser definido através da 
análise de combinações. Sabendo que existem 10 
tenistas e que 4 deles são canhotos e 6 são 
destros a escolha para um dupla competir torna-
se limitada, já que não pode haver uma partida 
com dois canhotos. 
 
Primeira mente vamos calcular a análise 
combinatória total dos jogadores através da 
fórmula: 
 
Cn,p = n! / (p! x (n- p)!) 
 
Onde: 
 
Cn,p = Combinação dos elementos com o 
agrupamento 
n = Elementos 
p = Agrupamento 
 
Portanto: 
 
n = 10 jogadores 
p = 2 jogadores por partida 
 
C10,2 = 10! / (2! x ( 10 - 2)!) 
C10,2 = 10! / (2! x 8!) 
C10,2 = (10 x 9) / (2 x 1) 
C10,2 = 45 possibilidades 
 
Porém os dois jogadores não podem ser canhotos, 
então precisamos subtrair do total de 
combinações, as combinações que envolvem dois 
canhotos, logo: 
 
n = 4! Jogadores canhotos 
p = 2! Jogadores por partida 
 
C4,2 = 4! / (2! x (4 - 2)!) 
C4,2 = 4! / (2! x 2!) 
c4,2 = 12 / 2 = 6 combinações 
 
Portanto o total de possibilidades é de 45 - 6 = 39 
possibilidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 168 – ENEM 2016 Regular 
 
No total existem 10 algarismos possíveis (de 0 a 
9). 
 
Como as letras maiúsculas são diferentes das 
letras minúsculas, então no total existem 26 + 26 
= 52 letras. 
 
A senha deve ser composta por 2 letras e 2 
algarismos. Perceba que não há restrição. 
 
Portanto: 
 
10.10.52.52.4! 
 
Perceba que os quatro dígitos podem se permutar 
entre si. 
 
Por exemplo: a senha 12AB é diferente da senha 
1A2B. 
 
Por isso, devemos multiplicar por 4!. 
 
Porém, podem haver casos em que a senha tenha 
dois números iguais e duas letras iguais. 
 
Portanto, o número total de senhas possíveis para 
o cadastramento nesse site é dado por 
 
10 ∗ 10 ∗ 52 ∗ 52.
4!
2! 2!
= 10& ∗ 52& ∗
4!
2! 2!
 
 
Alternativa correta é a letra E. 
 
 
Questão 172 – ENEM 2016 2° Aplicação 
 
Temos aqui um exercício de Análise 
Combinatória. 
 
De acordo com o enunciado, existem três cores 
disponíveis para pintar os círculos A, B, C e D. 
 
Vamos supor que a criança comece pintando pelo 
círculo A. 
 
Para ele, existem 3 possibilidades de cores. 
 
Para os círculos B, C e D vamos separar em dois 
casos. 
 
1º caso: B e D possuem cores iguais 
Como B e D não podem ser pintados pelas cores 
do círculo A, então existem 2 possibilidades para 
os dois. 
 
O círculo C não poderá ser pintado das cores dos 
círculos B e D. Então, existem 2 possibilidades. 
 
Logo, no total temos 3.2.2 = 12 formas de pintar 
os círculos. 
 
2º caso: B e D possuem cores diferentes 
Neste caso, podemos dizer que B terá 2 opções e 
C e D terão 1 opção. 
 
Logo, no total temos 3.2.1.1 = 6 formas de pintar 
os círculos. 
 
Portanto, a quantidade de maneiras é 12 + 6 = 18. 
 
Alternativa correta é a letra C. 
 
 
Questão 142 – ENEM 2022 Regular 
 
Pelo texto, podemos notar que são 7 modelos de 
carros, 2 tipos de motores e 8 opcionais (pois 
podemos escolher 1, 2, 3 ou nenhum) e x cores. 
 
obs: Como são 3 tipos de opcionais e podemos 
escolher 1, 2, 3 ou nenhum, suponha que temos 
os opcionais A, B e C, as escolhas que podem ser 
feitas são A, B, C, AB, AC, BC, ABC ou nenhuma. 
Ou seja, 8 possíveis. 
 
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 
 
7	. 2	. 8	𝑥 = 1000 
	
112𝑥 = 1000 
	
𝑥 =
1000
112
≈ 8,9 
 
Como queremos a quantidade mínima, deverão 
ser 9 cores. Alternativa B. 
 
 
 
Questão 155 – ENEM 2022 Regular 
 
Do enunciado: "uma pessoa pretende comprar 2 
desses apartamentos em um mesmo andar, mas 
quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos 
receba sol na parte da manhã. " 
 
Quando ele diz que pelo menos (no mínimo) um 
dos quartos deve receber o sol da manhã, então o 
apartamento poderá ter um quarto que recebe o 
sol da manhã ou dois quartos que recebem o sol 
da manhã. Os apartamentos a seguir satisfazem 
esse requisito: 
 
• naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os 
quartos recebem sol apenas na parte da manhã; 
• naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas 
um dos quartos recebe sol na parte da manhã; 
 
Os apartamentos nos quais há pelo menos um 
quarto que recebe o sol da manhã são os 
apartamentos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Ou seja, por andar, 
existem 6 apartamentos que podem ser 
escolhidos pelo comprador. 
 
Outro detalhe importante: as compras dos dois 
apartamentos serão feitas sempre no mesmo 
andar, sendo assim, é necessário multiplicar 9 
andares pela quantidade de duplas de compras 
que são possíveis em cada andar. 
 
O comprador tem a disposição 6 apartamentos 
para "formar duplas" e comprar, atente para o fato 
de que a compra do apartamento 1 e o 2 é a 
mesma compra do apartamento 2 e o 1, a ordem 
não importa, nestes casos, usamos a fórmula da 
combinação. O que vamos calcular é uma C6,2 
(combinação de 6 tomados 2 a 2). 
 
Relembrando a fórmula da combinação: 
C n,p = n! / [(n-p)!p!] 
 
Finalmente, vamos calcular 9 x C6,2 
 
9 x 6! / [(6-2)! x 2!] 
 
Alternativa correta é a letra B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO ANO GABARITO 
147 2015 Regular C 
164 2015 Regular A 
147 2016 Regular A 
168 2016 Regular E 
172 2016 2° Aplic. C 
143 2017 Regular B 
160 2017 Regular E 
177 2017 Regular E 
178 2017 Regular E 
149 2017 Reaplic. C 
165 2018 Regular C 
156 2019 Regular C 
159 2019 Regular D 
171 2019 Regular E 
147 2019 Reaplic. D 
158 2020 Regular C 
163 2020 Regular E 
143 2020 Reaplic. C 
173 2020 Reaplic. E 
175 2020 Reaplic. C 
153 2021 Regular A 
157 2021 Reaplic. B 
142 2022 Regular B 
155 2022 Regular B