testes de aula 20

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32. **Integral**: \(\int \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx\) 
 **Resposta**: \(-\frac{\ln(x)}{x} + \frac{1}{x} + C\) 
 **Explicação**: Use a integração por partes. 
 
33. **Integral**: \(\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2} \left(x^2 - 1\right) \sqrt{x^2 + 1} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
34. **Integral**: \(\int \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}\) 
 **Resposta**: \(\frac{\arctan(x)}{2} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
35. **Integral**: \(\int \frac{e^x}{x^2} \, dx\) 
 **Resposta**: Não possui uma antiderivada elementar. 
 **Explicação**: A integral da função \(e^x/x^2\) não pode ser expressa em termos de 
funções elementares. 
 
36. **Integral**: \(\int x \cos^2(x) \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{x \sin(2x)}{4} + \frac{x^2}{2} + C\) 
 **Explicação**: Use a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\) e integre. 
 
37. **Integral**: \(\int \frac{x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{x^2 + 1} + \ln|x^2 + 1| + C\) 
 **Explicação**: Divida a integral em duas partes e use substituição. 
 
38. **Integral**: \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 4}} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - \sqrt{x^2 - 4}}{2} \right| + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(x = 2 \sec(\theta)\). 
 
39. **Integral**: \(\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
40. **Integral**: \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4 - x^2}}\) 
 **Resposta**: \(\frac{\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}\right)}{2} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(x = 2 \sin(\theta)\). 
 
41. **Integral**: \(\int e^{2x} \sin(x) \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{e^{2x}}{5} \left(2 \sin(x) - \cos(x)\right) + C\) 
 **Explicação**: Use a integração por partes duas vezes. 
 
42. **Integral**: \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{\pi \ln(x)}{8} - \frac{\ln(x^2 + 1)}{2} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
43. **Integral**: \(\int \frac{1}{x^2 \ln(x)} \, dx\) 
 **Resposta**: \(-\frac{\ln|\ln(x)|}{x} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
44. **Integral**: \(\int \frac{e^x \cos(x)}{x} \, dx\) 
 **Resposta**: Não possui uma antiderivada elementar. 
 **Explicação**: A integral da função \(e^x \cos(x)/x\) não pode ser expressa em termos de 
funções elementares. 
 
45. **Integral**: \(\int \frac{dx}{x^3 \sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Resposta**: \(-\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{2 x^2} + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(x = \sinh(t)\). 
 
46. **Integral**: \(\int \frac{x^3}{(x^2 + 1)^2} \, dx\) 
 **Resposta**: \(\frac{x^2}{2(x^2 + 1)} + \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C\) 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = x^2 + 1\).