Questões resolvidas
Encontre a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(2x) \).
Calcule a integral de \( \int \frac{dx}{x \ln(x)} \).
Determine a integral de \(\int x e^{-x} \, dx\).
Encontre a derivada de \(f(x) = \sin(x^2)\).
Calcule \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - a^2}} \, dx\).
Encontre a derivada de f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.
Calcule a integral de \( \int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 + 1}} \).
Determine a integral de \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx.
Encontre a derivada de \(f(x) = x^2 \ln(x)\).
Calcule \int \sin(2x) \, dx.
Determine a integral de \( \int e^{2x} \cos(x) \, dx \).
Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \).
Calcule a integral de \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx.
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10. **Problema:** Determine a integral de \( \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx \).
**Resposta:** \( \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C \).
**Explicação:** Use a substituição \( x = \sec(\theta) \) para simplificar a integral.
11. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(2x) \).
**Resposta:** \( f'(x) = \frac{2}{1 + (2x)^2} \).
**Explicação:** A derivada de \( \tan^{-1}(u) \) é \( \frac{u'(x)}{1 + u^2} \). Aqui, \( u = 2x \) e
\( u'(x) = 2 \).
12. **Problema:** Calcule a integral de \( \int \frac{dx}{x \ln(x)} \).
**Resposta:** \( \ln|\ln(x)| + C \).
**Explicação:** Use a substituição \( u = \ln(x) \).
13. **Problema:** Determine a integral de \( \int x e^{-x} \, dx \).
**Resposta:** \( -(x+1)e^{-x} + C \).
**Explicação:** Use integração por partes onde \( u = x \) e \( dv = e^{-x} \, dx \).
14. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \).
**Resposta:** \( f'(x) = 2x \cos(x^2) \).
**Explicação:** Use a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx}[\sin(u(x))] = \cos(u(x)) \cdot u'(x) \).
Aqui, \( u(x) = x^2 \) e \( u'(x) = 2x \).
15. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - a^2}} \, dx \).
**Resposta:** \( \frac{1}{a} \ln \left| \frac{\sqrt{x^2 - a^2} + x}{a} \right| + C \).
**Explicação:** Use a substituição \( x = a \sec(\theta) \) para simplificar a integral.
16. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \).
**Resposta:** \( f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \).
**Explicação:** Use a regra do quociente ou a regra da cadeia.
17. **Problema:** Calcule a integral de \( \int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 + 1}} \).
**Resposta:** \( \sqrt{x^2 + 1} + C \).
**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).
18. **Problema:** Determine a integral de \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx \).
**Resposta:** \( \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C \).
**Explicação:** Use a decomposição em frações parciais.
19. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \).
**Resposta:** \( f'(x) = 2x \ln(x) + x \).
**Explicação:** Use a regra do produto: \( (uv)' = u'v + uv' \). Aqui, \( u = x^2 \) e \( v = \ln(x)
\).
20. **Problema:** Calcule \( \int \sin^2(x) \, dx \).
**Resposta:** \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \).
**Explicação:** Use a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \).
21. **Problema:** Determine a integral de \( \int e^{2x} \cos(x) \, dx \).
**Resposta:** \( \frac{e^{2x}}{5} \left(2 \cos(x) - \sin(x)\right) + C \).
**Explicação:** Use integração por partes duas vezes e resolva o sistema.
22. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \).
**Resposta:** \( f'(x) = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \).
**Explicação:** Use a regra do quociente: \( \frac{u}{v}' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
23. **Problema:** Calcule a integral de \( \int \frac
{\ln(x)}{x} \, dx \).
**Resposta:** \( \frac{(\ln(x))^2}{2} + C \).
**Explicação:** Use a substituição \( u = \ln(x) \).
24. **Problema:** Determine a integral de \( \int \frac{e^{-x}}{x} \, dx \).Mais conteúdos dessa disciplina
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