estudos matica ab

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13. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \sqrt{x^2 + 1} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
14. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} = -\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \sec(\theta)\). 
 
15. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{\cos^2(x)}{1 + \sin(x)} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{\cos^2(x)}{1 + \sin(x)} \, dx = \sqrt{1 + \sin(x)} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = 1 + \sin(x)\). 
 
16. **Problema:** Encontre a integral \(\int e^{2x} \sin(3x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int e^{2x} \sin(3x) \, dx = \frac{e^{2x} (3 \sin(3x) - 2 \cos(3x))}{13} + C\). 
 **Explicação:** Use integração por partes duas vezes. 
 
17. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \, dx = \frac{x}{2(x^2 + 1)} + \frac{1}{2} \arctan(x) + 
C\). 
 **Explicação:** Use frações parciais e substituição. 
 
18. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{e^x}{x} \, dx = \text{Ei}(x) + C\) (onde \(\text{Ei}(x)\) é a função 
exponencial integral). 
 **Explicação:** Esta integral é representada pela função integral exponencial. 
 
19. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + 1}} \, dx = \sqrt{x^4 + 1} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^4 + 1\). 
 
20. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{1}{x \ln(x)^2} \, dx = -\frac{1}{\ln(x)} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
21. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \, dx = -\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 + 1\). 
 
22. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{e^{-x}}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{e^{-x}}{x} \, dx = -\text{Ei}(-x) + C\). 
 **Explicação:** Esta integral é representada pela função exponencial integral. 
 
23. **Problema:** 
 
 Determine a integral \(\int \frac{\sin(x)}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \text{Si}(x) + C\) (onde \(\text{Si}(x)\) é a função 
seno integral). 
 **Explicação:** Esta integral é representada pela função seno integral. 
 
24. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} \, dx = \sqrt{x^2 - 4} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \sqrt{x^2 - 4}\). 
 
25. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}} \, dx = -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = 2 \sec(\theta)\). 
 
26. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx = -\frac{\cos(x)}{x} + \int \frac{\cos(x)}{x} \, dx\). 
 **Explicação:** Use integração por partes e a função integral de cosseno. 
 
27. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \, dx = -\cot(x) + C\).