aula faculdade g

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13. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx = \frac{1}{\sqrt{9}} \arctan \left(\frac{x + 
2}{\sqrt{9}} \right) + C\). 
 **Explicação:** Complete o quadrado e use a fórmula para a integral de uma função 
racional. 
 
14. **Problema:** Calcule \(\int x e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int x e^{x^2} \, dx = \frac{e^{x^2}}{2} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\). 
 
15. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} \, dx = \ln \left| x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 2} 
\right| + C\). 
 **Explicação:** Complete o quadrado e use uma substituição adequada. 
 
16. **Problema:** Encontre a integral \(\int x \ln(x^2 + 1) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int x \ln(x^2 + 1) \, dx = \frac{x^2 \ln(x^2 + 1)}{2} - \frac{x^2}{4} + C\). 
 **Explicação:** Use a integração por partes. 
 
17. **Problema:** Calcule \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** A integral \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\) não pode ser expressa em termos de 
funções elementares, mas pode ser representada pela função integral exponencial \( 
\text{Ei}(x) \). 
 **Explicação:** A função integral exponencial é definida como \(\text{Ei}(x) = -\int_{-
x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} \, dt\). 
 
18. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \, dx = x - \arctan(x) + C\). 
 **Explicação:** Divida a fração e integre termo a termo. 
 
19. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx = -\frac{\ln(x)}{x} - \frac{1}{x} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \ln(x)\) e simplifique. 
 
20. **Problema:** Calcule \(\int \sin(x) \ln(\cos(x)) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \sin(x) \ln(\cos(x)) \, dx = -\cos(x) \ln(\cos(x)) - \cos(x) + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \cos(x)\). 
 
21. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{x \cos(x)}{x^2 + 1} \ 
 
, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{x \cos(x)}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \cos(x) - 
\frac{1}{2} \sin(x) + C\). 
 **Explicação:** Use integração por partes. 
 
22. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{e^{x}}{e^{2x} + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{e^{x}}{e^{2x} + 1} \, dx = \frac{1}{2} \arctan(e^x) + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = e^x\). 
 
23. **Problema:** Calcule \(\int x \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int x \sin^2(x) \, dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x \sin(2x)}{4} + \frac{\cos(2x)}{8} + 
C\). 
 **Explicação:** Use a identidade trigonométrica e a integração por partes. 
 
24. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x} + 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x} + 1}} \, dx = \sqrt{e^{2x} + 1} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = e^x\). 
 
25. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + 1}} \, dx = \frac{1}{3} \sqrt{x^4 + 1} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\). 
 
26. **Problema:** Calcule \(\int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \, dx = \frac{x}{2(x^2 + 1)} + \frac{1}{2} \arctan(x) + 
C\).