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41. **Problema:** Calcule \(\int \frac{x^3}{x^4 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{x^3}{x^4 + 1} \, dx = \frac{1}{4} \ln(x^4 + 1) + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^4 + 1\). 
 
42. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{\cos(x)}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** A integral \(\int \frac{\cos(x)}{x} \, dx\) não pode ser expressa em termos de 
funções elementares, mas é representada pela função integral de Cosseno \( \text{Ci}(x) \). 
 **Explicação:** A função integral de Cosseno é definida como \( \text{Ci}(x) = -\int_x^\infty 
\frac{\cos(t)}{t} \, dt\). 
 
43. **Problema:** Encontre a integral \(\int x \ln(x^2 + 1) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int x \ln(x^2 + 1) \, dx = \frac{x^2 \ln(x^2 + 1)}{2} - \int \frac{x^2}{x^2 + 1} \, 
dx\). 
 **Explicação:** Use integração por partes e simplifique. 
 
44. **Problema:** Calcule \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \sqrt{x^2 - 1}\). 
 
45. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + x + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + x + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln |x^2 + x + 1| + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 + x + 1\). 
 
46. **Problema:** Encontre a integral \(\int x \sqrt{x^2 - 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int x \sqrt{x^2 - 1} \, dx = \frac{(x^2 - 1)^{3/2}}{3} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 - 1\). 
 
47. **Problema:** Calcule \(\int \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \, dx = \frac{2 \sqrt{x}}{3} - \frac{2}{3} 
\arctan(\sqrt{x}) + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \sqrt{x}\). 
 
48. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{x \sin(x)}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{x \sin(x)}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \sin(x) \ln(x^2 + 1) - \frac{1}{2} 
\int \frac{\sin(x)}{x^2 + 1} \, dx + C\). 
 **Explicação:** Use integração por partes. 
 
49. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{e^x}{x^2 + 2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{e^x}{x^2 + 2} \, dx\) não pode ser expressa em termos de funções 
elementares. 
 **Explicação:** Este tipo de integral é frequentemente resolvido numericamente. 
 
50. **Problema:** Calcule \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx = \ln |\ln(x)| + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
51. **Problema:** Determine a integral \(\int x e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int x e^{-x^2} \, dx = -\frac{e^{-x^2}}{2} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = -x^2\). 
 
52. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{x^2}{x^2 - 2x + 2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{x^2}{x^2 - 2x + 2} \, dx = x + \ln |x - 1 + \sqrt{1}| + C\). 
 **Explicação:** Complete o quadrado e simplifique. 
 
53. **Problema:** Calcule \(\int \frac{x \cos(x)}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{x \cos(x)}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \cos(x) - 
\frac{1}{2} \sin(x) + C\). 
 **Explicação:** Use a integração por partes. 
 
54. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{e^x \sin(x)}{e^{2x} + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\int \frac{e^x \sin(x)}{e^{2x} + 1} \, dx = \frac{1}{2} \arctan(e^x) + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = e^x\).