Questões resolvidas
Encontre a integral \int x^3 \ln(x) \, dx.
Calcule \(\int \frac{x \cos^2(x)}{x^2 + 1} \, dx\).
Determine a integral \(\int \frac{x e^{x^2}}{1 + e^{2x}} \, dx\).
Encontre a integral \(\int \frac{1}{x^2 \ln(x)} \, dx\).
Calcule \(\int \frac{e^x}{x^2 + 2x + 2} \, dx\).
Determine a integral \(\int \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 1} \, dx\).
Encontre a integral \(\int \frac{e^x \cos(x)}{e^{2x} + 1} \, dx\).
Calcule \(\int \frac{x e^x}{x^2 + 1} \, dx\).
Determine a integral \(\int \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx\).
Encontre a integral \(\int \frac{x}{
\sqrt{x^2 + x + 1}} \, dx\).
Calcule \(\int \frac{x^2}{
\sqrt{x^4 + x^2}} \, dx\).
Determine a integral \(\int \frac{e^x}{x(x + 1)} \, dx\).
Encontre a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + x} \, dx\).
Calcule \(\int \frac{x \ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\).
Determine a integral \(\int \frac{\sqrt{x}}{x^2 + x + 1} \, dx\).
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55. **Problema:** Encontre a integral \(\int x^3 \ln(x) \, dx\).
**Resposta:** \(\int x^3 \ln(x) \, dx = \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{x^4}{16} + C\).
**Explicação:** Use a integração por partes.
56. **Problema:** Calcule \(\int \frac{x \cos^2(x)}{x^2 + 1} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{x \cos^2(x)}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \cos(x) -
\frac{1}{2} \sin(x) + C\).
**Explicação:** Use a integração por partes.
57. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{x e^{x^2}}{1 + e^{2x}} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{x e^{x^2}}{1 + e^{2x}} \, dx = \frac{1}{2} \arctan(e^x) + C\).
**Explicação:** Use a substituição \(u = e^x\).
58. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{1}{x^2 \ln(x)} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{1}{x^2 \ln(x)} \, dx = -\frac{1}{x \ln(x)} + C\).
**Explicação:** Use a substituição \(u = \ln(x)\).
59. **Problema:** Calcule \(\int \frac{e^{-x}}{x^2 + 2x + 2} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{e^{-x}}{x^2 + 2x + 2} \, dx\) não pode ser expressa em termos de
funções elementares.
**Explicação:** Este tipo de integral é frequentemente resolvido numericamente.
60. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 1} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 1} \, dx = x + \ln |x^2 + 1| + C\).
**Explicação:** Decomponha a fração e integre termo a termo.
61. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{e^x \cos(x)}{e^{2x} + 1} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{e^x \cos(x)}{e^{2x} + 1} \, dx = \frac{1}{2} \arctan(e^x) + C\).
**Explicação:** Use a substituição \(u = e^x\).
62. **Problema:** Calcule \(\int \frac{x e^x}{x^2 + 1} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{x e^x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} e^x \ln(x^2 + 1) - \frac{1}{2} e^x +
C\).
**Explicação:** Use a integração por partes.
63. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x +
1}{\sqrt{3}}\right) + C\).
**Explicação:** Complete o quadrado e use a fórmula da integral de funções racionais.
64. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \, dx = \sqrt{x^2 + x + 1} + C\).
**Explicação:** Use a substituição \(u = x + \frac{1}{2}\).
65. **Problema:** Calcule \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + x^2}} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + x^2}} \, dx = \frac{2}{3} \sqrt{x^4 + x^2} + C\).
**Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\).
66. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{e^x}{x(x + 1)} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{e^x}{x(x + 1)} \, dx = \text{Ei}(x) - \text{Ei}(x + 1) + C\).
**Explicação:** Use funções integradas exponenciais.
67. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + x} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + x} \, dx = \frac{\ln(x)}{x} - \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} + C\).
**Explicação:** Decomponha a fração e integre termo a termo.
68. **Problema:** Calcule \(\int \frac{x \ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\).
**Resposta:** \(\int \frac{x \ln(x)}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \ln(x) - \frac{1}{2}
\int \frac{\ln(x^2 + 1)}{x} \, dx + C\).
**Explicação:** Use integração por partes e simplifique.
69. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{\sqrt{x}}{x^2 + x + 1} \, dx\).Mais conteúdos dessa disciplina
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