Prévia do material em texto

**Resposta:** \(\frac{e^{2x} (2 \cos(x) - \sin(x))}{5} + C\). 
 **Explicação:** Usando integração por partes duas vezes, obtemos o resultado desejado. 
 
56. **Problema:** Resolva a equação \(x^2 - 4x + 4 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 2\). 
 **Explicação:** A equação é \((x - 2)^2 = 0\), então \(x = 2\) é a única solução. 
 
57. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** Usando substituição e a fórmula da integral de uma função quadrática, 
obtemos \(\frac{\pi}{4}\). 
 
58. **Problema:** Determine a transformada de Laplace de \(f(t) = \cosh(at)\). 
 **Resposta:** \(\frac{s}{s^2 - a^2}\). 
 **Explicação:** Usando a fórmula da transformada de Laplace para funções hiperbólicas, 
obtemos o resultado desejado. 
 
59. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 3y' + 2y = 0 \). 
 **Resposta:** \(y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}\). 
 **Explicação:** A equação característica é \((r + 1)(r + 2) = 0\), com raízes \(r = -1\) e \(r = -
2\). 
 
60. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^3(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{2}{3}\). 
 **Explicação:** Usando identidades trigonométricas e substituição, obtemos o resultado 
\(\frac{2}{3}\). 
 
61. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 2y' - 3y = 0 \). 
 **Resposta:** \(y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}\). 
 **Explicação:** A equação característica é \(r^2 - 2r - 3 = 0\), com raízes \(3\) e \(-1\). 
 
62. **Problema:** Resolva a equação \(x^3 - 4x = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -2\). 
 **Explicação:** Fatorando \(x(x^2 - 4) = 0\), obtemos as raízes \(x = 0\), \(x = 2\), e \(x = -2\). 
 
63. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Esta integral é a integral da função arco tangente, então o resultado é 
\(\frac{\pi}{2}\). 
 
64. **Problema:** Calcule a integral \(\int e^{x} \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{e^x ( \sin(x) - \cos(x) )}{2} + C\). 
 **Explicação:** Usando integração por partes duas vezes, obtemos o resultado desejado. 
 
65. **Problema:** Determine a solução da equação diferencial \( y'' + y = 0 \). 
 **Resposta:** \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\). 
 **Explicação:** A equação característica é \(r^2 + 1 = 0\), com raízes \(r = \pm i\). 
 
66. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \cos(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{2}{3}\). 
 **Explicação:** Usando a identidade e substituição, obtemos o resultado \(\frac{2}{3}\). 
 
67. **Problema:** Resolva a equação \(x^4 - 1 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = \pm 1\) e \(x = \pm i\). 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0\). 
 
68. **Problema:** Determine a transformada de Laplace de \(f(t) = t \sinh(at)\). 
 **Resposta:** \(\frac{a}{(s^2 - a^2)^2}\). 
 **Explicação:** Usando a fórmula da transformada de Laplace para \(t \sinh(at)\), obtemos 
o resultado desejado. 
 
69. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi} \cos^4(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{3\pi}{8}\).