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**Resposta:** Não existe uma antiderivada expressa em termos de funções elementares. 
**Explicação:** Esta integral é uma função especial chamada de integral de Fresnel. 
 
57. **Problema:** Determine o valor da integral \( \int_ 
 
0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{\pi}{8} \). **Explicação:** Usamos a substituição 
trigonométrica e integramos. 
 
58. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{dx}{x^2 + x + 1} \). 
 **Resposta:** \( \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C \). 
**Explicação:** Usamos a substituição \( u = \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} \). 
 
59. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \). 
 **Resposta:** \( 2x e^{x^2} \). **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
60. **Problema:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \). 
 **Resposta:** \( -\frac{1}{2} \). **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \cos(x) \). 
 
61. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 + 1}} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \sinh^{-1}(x) + C \). **Explicação:** Usamos a substituição \( x = \sinh(t) \). 
 
62. **Problema:** Encontre a integral \( \int e^{-x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** Não existe uma antiderivada expressa em termos de funções elementares. 
**Explicação:** A integral é conhecida como a função erro. 
 
63. **Problema:** Determine o valor da integral \( \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, dx \). 
 **Resposta:** Não é convergente. **Explicação:** A integral não converge no limite \( \infty 
\). 
 
64. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{dx}{x \sqrt{4 - x^2}} \). 
 **Resposta:** \( \arcsin \left( \frac{x}{2} \right) + C \). **Explicação:** Usamos a 
substituição trigonométrica. 
 
65. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). 
 **Resposta:** \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
66. **Problema:** Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{x^4} \). 
 **Resposta:** \( \infty \). **Explicação:** A função exponencial cresce mais rapidamente do 
que qualquer função polinomial. 
 
67. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5} \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x + 4}{\sqrt{3}} \right) + C \). 
**Explicação:** Usamos a substituição \( u = 2x + 4 \). 
 
68. **Problema:** Encontre o valor da integral \( \int \ln(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( x \ln(x) - x + C \). **Explicação:** Usamos a integração por partes. 
 
69. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \arctan(x^3) \). 
 **Resposta:** \( \frac{3x^2}{1 + x^6} \). **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. 
 
70. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} \). 
 **Resposta:** 1. **Explicação:** Esse limite representa a derivada de \( \sinh(x) \) em \( x = 
0 \). 
 
71. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 1}} \). 
 **Resposta:** \( \cosh^{-1}(x) + C \). **Explicação:** Usamos a substituição \( x = \cosh(t) 
\). 
 
72. **Problema:** Determine o valor da integral \( \int_0^\pi \sin(x) \cos(x) \, dx \). 
 **Resposta:** 0. **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) 
\) e integramos. 
 
73. **Problema:** Calcule a integral \( \int e^{x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** Não existe uma antiderivada expressa em termos de funções elementares. 
**Explicação:** Esta integral não pode ser expressa em termos de funções elementares.