aulas do desafio AA

Prévia do material em texto

68. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\sqrt{x^2 + 1} - \ln\left| x + \sqrt{x^2 + 1} \right| + C\). 
 **Explicação:** Use substituição \(x = \sinh(t)\) ou integração direta. 
 
69. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2}\). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \(\ln(1 + x^2)\). 
 
70. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{x^3}{e^x}\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{e^x}\). 
 **Explicação:** Use a regra do quociente e simplifique. 
 
71. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{e^{2x}}{1 + e^{4x}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{4} \arctan(e^{2x}) + C\). 
 **Explicação:** Use substituição \(u = e^{2x}\). 
 
72. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x \sin(x)}{e^x}\). 
 **Resposta:** 0. 
 **Explicação:** A função exponencial cresce mais rapidamente do que o produto \(x 
\sin(x)\). 
 
73. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \arctan(x) \cdot \ln(x)\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{\ln(x)}{1 + x^2} + \frac{1}{x} \cdot \arctan(x)\). 
 **Explicação:** Use a regra do produto e as derivadas das funções arcotangente e 
logarítmica. 
 
74. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - 1}}\). 
 **Resposta:** \(\ln \left| x + \sqrt{x^2 - 1} \right| + C\). 
 **Explicação:** Use substituição trigonométrica ou identidade hiperbólica. 
 
75. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{\ln(x)}\). 
 **Resposta:** 2. 
 **Explicação:** A expressão \(\ln(x^2 + 1)\) se comporta como \(2 \ln(x)\) para grandes 
valores de \(x\). 
 
76. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = e^x \cdot \cos(x)\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = e^x (\cos(x) - \sin(x))\). 
 **Explicação:** Use a regra do produto e as derivadas de \(\cos(x)\) e \(e^x\). 
 
77. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x + 2}{\sqrt{3}}\right) + C\). 
 **Explicação:** Complete o quadrado e use a fórmula da integral de arctan. 
 
78. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Usando a definição de limite ou a série de Taylor para \(\sin(x)\). 
 
79. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(\sqrt{x + 1})\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{1}{2 (x + 1)}\). 
 **Explicação:** Use a regra da cadeia e simplifique. 
 
80. **Problema:** Calcule a integral \(\int \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C\). 
 **Explicação:** Use a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\). 
 
81. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^k}\) onde \(k\) é 
qualquer constante positiva. 
 **Resposta:** \(\infty\). 
 **Explicação:** A função exponencial cresce mais rapidamente que qualquer polinômio. 
 
82. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). 
 **Explicação:** Use a regra da cadeia para a raiz quadrada.