aulas b cAB

Prévia do material em texto

**Resposta:** \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação:** Use coordenadas polares para simplificar. 
 
58. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} + 2y = 0\). 
 **Resposta:** \( y = C_1 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x) \) 
 **Explicação:** Encontre as raízes da equação característica associada. 
 
59. **Problema:** Determine a integral \(\int_{0}^{\pi} \cos(x) \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(0\) 
 **Explicação:** Use a identidade \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\) para simplificar. 
 
60. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Use substituição trigonométrica para resolver a integral. 
 
61. **Problema:** Resolva a equação \(x^4 - 4x^2 + 4 = 0\). 
 **Resposta:** \( x = \pm 1 \) e \( x = \pm 2 \) 
 **Explicação:** Fatorize o polinômio para encontrar as raízes. 
 
62. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Use a fórmula para a transformada de Laplace de \(\sin(x)\) para encontrar 
a integral. 
 
63. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 \) para resolver. 
 
64. **Problema:** Resolva o sistema \( \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ -x + 2y - z 
= 0 \end{cases} \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \), \( y = 1 \), \( z = 3 \) 
 **Explicação:** Use o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema. 
 
65. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{4}{15}\) 
 **Explicação:** Use a identidade para simplificar \(\sin^2(x)\) e integre. 
 
66. **Problema:** Calcule a série infinita \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2} - 1\) 
 **Explicação:** Use técnicas de séries e somas de integrais para encontrar o resultado. 
 
67. **Problema:** Encontre a transformada de Laplace de \( f(t) = \cos(at) \). 
 **Resposta:** \(\frac{s}{s^2 + a^2}\) 
 **Explicação:** Use a fórmula padrão da transformada de Laplace para \(\cos(at)\). 
 
68. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0 
\). 
 **Resposta:** \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} \) 
 **Explicação:** Encontre as raízes da equação característica associada. 
 
69. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação:** Use substituição para simplificar a integral. 
 
70. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} \frac{\ln(x)}{x+1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{\pi^2}{12}\) 
 **Explicação:** Use substituições apropriadas e técnicas de integração. 
 
71. **Problema:** Resolva o sistema de equações \( \begin{cases} x - 2y + z = 3 \\ 2x + y - 3z = 
0 \\ -x + 4y + 2z = -1 \end{cases} \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \), \( y = 1 \), \( z = 3 \) 
 **Explicação:** Use eliminação de Gauss para resolver o sistema. 
 
72. **Problema:** Calcule a série infinita \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\).