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40. **Problema:** Determine a integral \(\int_0^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 **Resposta:** \( \frac{8}{3} \). 
 **Explicação:** Integrando termo a termo e avaliando nos limites dados, obtemos \( 
\frac{8}{3} \). 
 
41. **Problema:** Encontre as raízes da equação \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm 1, \pm 2 \). 
 **Explicação:** Substituindo \( y = x^2 \), resolvemos a equação quadrática \( y^2 - 5y + 4 = 
0 \). 
 
42. **Problema:** Determine a integral \(\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação 
 
:** A integral é \( \arctan(x) \bigg|_0^1 = \frac{\pi}{4} \). 
 
43. **Problema:** Resolva o sistema de equações: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 x + y + z = 6 \\ 
 x - y + 2z = 4 \\ 
 2x + y - z = 3 
 \end{cases} 
 \] 
 **Resposta:** \( (x, y, z) = (2, 1, 3) \). 
 **Explicação:** Usando métodos de substituição ou eliminação, obtemos a solução para o 
sistema. 
 
44. **Problema:** Calcule o valor de \( \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx \). 
 **Resposta:** \( e^{x^2} + C \). 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 \), a integral é simplificada para \( e^u + C 
\). 
 
45. **Problema:** Determine o valor de \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \). 
 **Resposta:** \( 1 \). 
 **Explicação:** Usando a decomposição em frações parciais e somando a série telescópica. 
 
46. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 - 4x + 4 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \). 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (x - 2)^2 = 0 \). 
 
47. **Problema:** Encontre o valor de \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2} \). 
 **Resposta:** \( e^\infty = \infty \). 
 **Explicação:** A expressão tende ao infinito, pois a base é maior que 1 e o expoente tende 
ao infinito. 
 
48. **Problema:** Determine o valor de \( \int x \cos(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( x \sin(x) + \cos(x) + C \). 
 **Explicação:** Usando integração por partes. 
 
49. **Problema:** Calcule o valor de \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi^4}{90} \). 
 **Explicação:** Esta é a soma da série de Basel para \( s = 4 \), conhecida como \( \zeta(4) 
\). 
 
50. **Problema:** Resolva a equação \( \ln(x) + \ln(x - 1) = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \frac{1}{2} \). 
 **Explicação:** Usando as propriedades dos logaritmos, a equação se transforma em \( 
\ln(x(x - 1)) = 0 \), resultando em \( x(x - 1) = 1 \). 
 
51. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx\). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x + 4}{\sqrt{3}}\right) + C \).