estudos matica n

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7. **Problema:** Determine o valor da série infinita \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 **Explicação:** Esta é a série de Basel, cujo valor foi provado ser \(\frac{\pi^2}{6}\). 
 
8. **Problema:** Encontre a solução da equação \(x^3 - 3x + 2 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 1, x = -1, x = 2\). 
 **Explicação:** Fatorando o polinômio, obtemos \((x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0\). 
 
9. **Problema:** Calcule a integral \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\), então \(\left[\ln x\right]_{1}^{e} = \ln 
e - \ln 1 = 1\). 
 
10. **Problema:** Determine a matriz inversa de \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix}\). 
 **Resposta:** \(\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\). 
 **Explicação:** Usamos a fórmula para a matriz inversa \(\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d 
& -b \\ -c & a \end{pmatrix}\), onde o determinante é \(-2\). 
 
11. **Problema:** Resolva a integral \(\int e^{3x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{e^{3x}}{3} + C\). 
 **Explicação:** Usando a regra da integral de funções exponenciais, a integral de \(e^{ax}\) 
é \(\frac{e^{ax}}{a}\). 
 
12. **Problema:** Determine o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 3x + 1}\). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos \(\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 - 
\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}\), e tomando o limite quando \(x \to \infty\), o valor é 1. 
 
13. **Problema:** Encontre a solução da equação diferencial \(y' = y^2\). 
 **Resposta:** \(y = \frac{1}{C - x}\). 
 **Explicação:** Separando as variáveis e integrando, obtemos \(\int \frac{dy}{y^2} = \int 
dx\), resultando em \( -\frac{1}{y} = x + C\), e rearranjando, \(y = \frac{1}{C - x}\). 
 
14. **Problema:** Determine a integral definida \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral torna-se 
\(\int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx\), que resulta em \(\frac{\pi}{4}\). 
 
15. **Problema:** Encontre a raiz quadrada de \(\frac{7 + \sqrt{37}}{2}\). 
 **Resposta:** \(\sqrt{\frac{7 + \sqrt{37}}{2}}\). 
 **Explicação:** Para resolver isso, usamos o método de completar o quadrado ou usar uma 
calculadora para encontrar a raiz exata. 
 
16. **Problema:** Calcule a derivada de \(x \ln(x)\). 
 **Resposta:** \(\ln(x) + 1\). 
 **Explicação:** Usando a regra do produto: \(\frac{d}{dx}[x \ln(x)] = \ln(x) + x \cdot 
\frac{1}{x} = \ln(x) + 1\). 
 
17. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} x e^x \, dx\). 
 **Resposta:** \(e - 2\). 
 **Explicação:** Usando a integração por partes, onde \(u = x\) e \(dv = e^x dx\), resulta em 
\((x e^x - \int e^x dx)_{0}^{1}\), que é \(e - 2\). 
 
18. **Problema:** Resolva o sistema de equações lineares: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 x + 2y - z = 3 \\ 
 2x - y + 3z = 7 \\ 
 -x + 3y + 2z = -1 
 \end{cases} 
 \] 
 **Resposta:** \(x = 2\), \(y = 1\), \(z = 1\).