Física 1

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Randy Knight leciona Física básica há 25 anos na Ohio State University, EUA, e na California 
Polytechnic University, onde atualmente é professor de física. O professor Knight bacharelou-
se em Física pela Washington University, em Saint Louis, e doutorou-se em Física pela Univer-
sity of California, Berkeley. Fez pós-doutorado no Harvard-Smithsonian Center for Astrophy-
sics, antes de trabalhar na Ohio State University. Foi aí que ele começou a pesquisar sobre o 
ensino da física, o que, muitos anos depois, o levou a escrever este livro.
Os interesses de pesquisa do professor Knight situam-se na área de laser e espectroscopia, 
com cerca de 25 artigos de pesquisa publicados. Ele também dirige o programa de estudos am-
bientais da Cal Poly, onde, além de física introdutória, leciona tópicos relacionados a energia, 
oceanografia e meio ambiente. Quando não está em sala de aula ou na frente de um compu-
tador, o professor Knight está fazendo longas caminhadas, remando em um caiaque, tocando 
piano ou usufruindo seu tempo com a esposa Sally e seus sete gatos.
Sobre o AutorSobre o Autor
K71f Knight, Radall.
 Física 1 [recurso eletrônico] : uma abordagem estratégica /
 Randall Knight ; tradução Trieste Freire Ricci. – 2. ed. – Dados
 eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2009.
 Editado também como livro impresso em 2009.
 ISBN 978-85-7780-519-8
 1. Física – Mecânica. 2. Mecânica newtoniana. I. Título. 
CDU 531/534
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/1922
Uma corrida, seja entre corredores, ciclistas ou carros de corrida, exemplifica a idéia 
de movimento. Hoje em dia usamos cronômetros eletrônicos, gravadores de vídeo e ou-
tros instrumentos sofisticados para analisar os movimentos, mas não foi sempre assim ao 
longo da história. Galileu, que no início do século XVII foi o primeiro cientista a estudar 
experimentalmente o movimento, usava sua própria pulsação para medir o tempo!
Galileu fez uma distinção nítida entre a causa do movimento e a descrição do mesmo. 
A cinemática é o nome moderno para a descrição matemática do movimento sem consi-
derar sua causa. Ela se origina da palavra grega kinema, que significa “movimento”. Você 
conhece essa palavra pela variação portuguesa cinema � filmes! Neste capítulo sobre a 
cinemática, desenvolveremos as ferramentas matemáticas para descrever os movimentos. 
Depois, no Capítulo 5, voltaremos nossa atenção para a causa do movimento.
Iniciaremos nosso estudo da cinemática com o movimento em uma dimensão: isto 
é, o movimento em linha reta. Corredores, carros de corrida e esquiadores são apenas 
alguns exemplos de movimento unidimensional. A cinemática do movimento bidimen-
sional � movimento de projéteis e movimento circular � será abordada no Capítulo 4.
2.1 Movimento uniforme
Se você dirige seu carro a constantes 110 quilômetros por hora (km/h), percorrerá 110 
km durante a primeira hora de viagem, outros 110 km durante a segunda hora, mais 110 
km na terceira e assim por diante. Este é um exemplo do que se chama de movimento 
uniforme. Neste caso, 110 km não é sua posição, e sim, a variação de sua posição du-
rante cada hora, ou seja, seu deslocamento . Analogamente, uma hora é o intervalo de 
tempo , e não, um instante de tempo. Isso sugere a seguinte definição: o movimento 
em linha reta no qual deslocamentos iguais correspondam a intervalos de tempo 
sucessivos iguais é chamado de movimento uniforme.
2
Olhando adiante �
O objetivo do Capítulo 2 é que você 
aprenda a resolver problemas sobre 
o movimento em linha reta. Neste 
capítulo, você aprenderá:
Entender a matemática da posição, ■
da velocidade e da aceleração para 
movimentos em linha reta.
Usar uma representação gráfica de ■
um movimento.
Usar uma estratégia específica ■
para resolução de problemas de 
cinemática.
Compreender o movimento de ■
queda livre e o movimento em 
planos inclinados.
Em retrospectiva �
Cada capítulo deste livro foi elaborado 
com base em idéias e técnicas 
desenvolvidas nos capítulos anteriores. 
Cada Em Retrospectiva despertará 
sua atenção para seções específicas 
que são de importância maior para o 
presente capítulo. Uma breve revisão 
destas seções o ajudará em seu 
estudo do capítulo. Revise:
Seções 1.4-1.5 Velocidade e ■
aceleração
Seção 1.6 Movimento em uma ■
dimensão
Seção 1.7 Resolução de problemas ■
em física
Uma velocista de nível internacional 
desenvolve uma tremenda aceleração 
na arrancada de uma corrida.
Cinemática em uma 
Dimensão
Cinemática em uma 
Dimensão
CAPÍTULO 2 ■ Cinemática em uma Dimensão 35
O qualificativo “qualquer” é importante. Se durante cada hora você dirige a 110 
km/h por meia hora e pára por 30 minutos, você percorrerá 55 km em cada hora sucessi-
va. Mas você não realiza deslocamentos iguais durante intervalos sucessivos de 30 mi-
nutos, de modo que seu movimento não é uniforme. Quando você dirige o tempo todo a 
110 km/h está em movimento uniforme porque realiza deslocamentos iguais sem que 
importe como escolha os sucessivos intervalos de tempo.
A FIGURA 2.1 mostra como o movimento uniforme aparece em diagramas de movi-
mento e em gráficos da posição versus tempo. Observe que o gráfico posição versus 
tempo para o movimento uniforme é uma reta. Isso vem da exigência de que todos os 
 correspondentes ao mesmo sejam iguais. De fato, uma definição alternativa de 
movimento uniforme é: um objeto está em movimento uniforme se e somente se seu 
gráfico de posição versus tempo é uma linha reta.
A declividade de um gráfico em linha reta é definida com base em “quanto ele se 
eleva quando nos movemos na horizontal”. Uma vez que a posição é indicada no eixo 
vertical, a “elevação” de um gráfico posição-versus-tempo é o deslocamento do obje-
to, . O quanto “nos movemos na horizontal” corresponde ao intervalo de tempo . 
Conseqüentemente, a declividade é . A declividade de um gráfico em linha reta é 
constante, portanto todo objeto em movimento uniforme corresponde a um mesmo valor 
de durante qualquer intervalo de tempo .
No Capítulo 1 definiu-se a velocidade média como . Para o movimento unidi-
mensional isso equivale a, simplesmente,
 
(2.1)
Ou seja, a velocidade média é a declividade do gráfico da posição versus tempo. 
A velocidade tem unidades do tipo “comprimento por tempo”, como “quilômetros por 
hora” ou “milhas por segundo”. A unidade de velocidade do SI é metros por segundo, 
abreviada por m/s.
NOTA � O símbolo da Equação 2.1 significa “é definido como” ou “é equivalente 
a”. Isso é uma afirmação mais forte do que dizer que os dois lados são iguais. �
A Equação 2.1 nos permite associar a declividade de um gráfico de posição versus 
tempo, que é uma grandeza geométrica, a uma grandeza física que chamamos de velo-
cidade média vmed. Esta é uma idéia extremamente importante. No caso do movimento 
uniforme, onde a declividade é a mesma em todos os instantes, ela representa o 
fato de que a velocidade média é constante e não está variando. Conseqüentemente, uma 
definição final de velocidade média é: um movimento de um objeto é uniforme se e 
somente se sua velocidades vx e vy são constantes. Neste caso, não há necessidade al-
guma de usar o subscrito “média” para uma velocidade que, de fato, não varia, de modo 
que deixaremos de lado o subscrito e nos referiremos à velocidade média como vx ou vy.
Pedalar constantemente em um piso 
horizontal constitui um bom exemplo de 
movimento uniforme.
t
Deslocamentos 
iguais
O gráfico da posição é uma 
linha reta. A declividade 
da linha é v
med
.
Os deslocamentos entre quadros 
sucessivos são os mesmos. Os 
pontos estão igualmente 
espaçados e v
x
 é uma constante.
x
FIGURA 2.1 Diagrama de movimento e 
gráfico da posição versus tempo para o 
movimento uniforme.
EXEMPLO 2.1 Patinando com velocidade constante
O gráfico de posição versus tempo da FIGURA 2.2 representa os movi-
mentos de dois estudantes sobre patins de gelo. Determine suas velo-
cidades e descreva seus movimentos.
MODELO Representes os dois estudantescomo partículas.
VISUALIZAÇÃO A Figura 2.2 é uma representação gráfica dos movi-
mentos dos estudantes. Os dois gráficos são linhas retas, o que signi-
fica que os dois patinadores movem-se com velocidades constantes.
RESOLUÇÃO Podemos determinar as velocidades dos estudantes me-
dindo a declividade dos gráficos. O patinador A realiza um deslo-
camento � 2,0 m durante o intervalo de tempo � 0,40 s. 
Assim, sua velocidade é
,
,
, , , ,
,
,
,
,
,
declividade
declividade
FIGURA 2.2 Representações gráficas de dois estudantes sobre 
patins de gelo. Continua
36 Física: Uma Abordagem Estratégica
O Exemplo 2.1 apresenta vários pontos importantes que devem ser enfatizados. Eles 
estão resumidos no Box Tático 2.1.
BOX TÁTICO
2.1 Interpretando gráficos de posição versus tempo 
 Declividades maiores correspondem a velocidades com módulo maior.
 Declividades negativas correspondem a velocidades negativas e, daí, a movi-
mentos para a esquerda (ou para baixo).
 Declividade é uma razão entre intervalos, , e não, uma razão entre coorde-
nadas. Ou seja, a declividade não é, simplesmente, x/t.
 Faremos distinção entre a declividade real e a declividade com significado físico. 
Se você decidisse usar uma régua para medir a elevação vertical e o comprimento 
horizontal de um gráfico, poderia calcular a declividade real da linha desenhada na 
página. Mas esta não é a declividade da qual estamos falando quando igualamos a 
velocidade à declividade da linha. Em vez disso, tratamos de obter a declividade 
dotada de significado físico, medindo a elevação vertical e o comprimento hori-
zontal usando as escalas assinaladas nos eixos correspondentes. A “elevação” 
é apenas um número de metros; o “comprimento” horizontal é um determinado 
número de segundos. O significado físico desses dois valores inclui suas unidades, 
e a razão dessas unidades fornece as unidades de declividade.
Exercícios 1–3 
O que chamamos de rapidez (ou velocidade escalar) v de um objeto significa quão 
rapidamente ele se move, independentemente da orientação do movimento. Isto é igual a, 
simplesmente, v � |vx| ou v � |vy|, o valor absoluto ou módulo da velocidade do objeto. No 
Exemplo 2.1, por exemplo, o patinador B tem �2,0 m/s de velocidade, porém sua rapidez é 
de 2,0 m/s. A rapidez é uma grandeza escalar, e não, um vetor.
NOTA � Nossa análise matemática de movimento é baseada na velocidade, e não na 
rapidez. Os subscritos em vx e vy são parte essencial da notação, lembrando-nos de que, 
mesmo em uma dimensão, a velocidade é um vetor. �
A matemática do movimento uniforme
Necessitamos de uma análise matemática do movimento que seja válida sem considerar 
se o objeto se move ao longo do eixo x, do eixo y ou de qualquer outra linha reta. Conse-
qüentemente, será conveniente escrever as equações para um “eixo genérico” que cha-
maremos de eixo s. A posição de um objeto será representada pelo símbolo s, e sua velo-
cidade, por vs.
NOTA � As equações escritas em termos de s são válidas para qualquer movimento 
unidimensional. Em um problema específico, entretanto, você deve usar x ou y, que 
são mais apropriados do que s. �
Considere um objeto em movimento uniforme ao longo do eixo s com o gráfico de posi-
ção linear versus tempo mostrado na FIGURA 2.3. A posição inicial do objeto é si no instante 
ti. A expressão posição inicial refere-se ao ponto de partida de nossa análise ou ao ponto 
sf
ti tf
s
si
Posição 
inicial
Posição 
final
t
A declividade da 
linha é .
FIGURA 2.3 A velocidade é encontrada a 
partir da declividade do gráfico da posição 
versus tempo.
Precisamos ser mais cuidadosos com o patinador B. Embora ele 
percorra uma distância de 1 m em 0,50 s, seu deslocamento tem 
uma definição muito precisa:
É muito importante que se dê atenção redobrada aos sinais! Isso 
leva a
AVALIAÇÃO O sinal negativo indica que o patinador B está se movendo 
para a esquerda. Nossa interpretação do gráfico é que os dois estudan-
tes estão patinando em sentidos opostos. O patinador A parte de x � 
2,0 m e se move para a direita com 5,0 m/s de velocidade. O patinador 
B parte de x � 1 m e se move para a esquerda com �2,0 m/s de ve-
locidade. Os módulos de suas velocidades, de � 18 km/h e 7,2 km/h, 
são razoáveis para praticantes de skate e patinadores.
CAPÍTULO 2 ■ Cinemática em uma Dimensão 37
de partida em um problema; o objeto pode ou não ter estado em movimento anteriormente 
a ti. Em um instante posterior tf, o ponto final de nossa análise ou o ponto final de um 
problema, a posição final do objeto será sf.
A velocidade do objeto vs ao longo do eixo s pode ser determinada encontrando-se a 
declividade do gráfico:
 
(2.2)
A Equação 2.2 é facilmente rearranjada para
 (2.3)
A Equação 2.3 aplica-se a qualquer intervalo de tempo durante o qual a velocidade 
seja constante.
A velocidade de um objeto em movimento uniforme nos dá o valor da variação 
de sua posição durante cada segundo. A posição de uma partícula com velocidade de 
20 m/s varia em 20 m durante cada segundo de movimento: 20 m durante o primeiro 
segundo de seu movimento, outros 20 m durante o próximo segundo e assim por 
diante. Se o objeto parte de si � 10 m, ele estará em s � 30 m depois de 1 segundo de 
movimento, e em s � 50 m depois de 2 segundos. Pensar na velocidade desta manei-
ra o ajudará a desenvolver uma compreensão da conexão existente entre velocidade 
e posição.
EXEMPLO 2.2 Almoço em Cleveland?
Bob sai de casa, em Chicago, EUA, às 9h e viaja para leste a constantes 
60 mph. Susan, 400 milhas a leste de Pittsburg, sai no mesmo horário 
e viaja para oeste a constantes 40 mph. Onde eles se encontrarão para 
um almoço?
MODELO Eis um problema onde, pela primeira vez, podemos pronta-
mente pôr em ação todos os aspectos de nossa estratégia para resolução 
de problemas. Para começar, represente Bob e Susan como partículas.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 2.4 mostra a representação física (o diagrama 
de movimento) e a representação pictórica. Os espaçamentos iguais en-
tre os pontos do diagrama de movimento indicam que se trata de movi-
mento uniforme. Ao avaliar a informação fornecida, percebemos que o 
instante de partida, 9h, não é relevante para a resolução do problema. 
Conseqüentemente, o tempo inicial é escolhido como, simplesmente, t0 
� 0 h. Bob e Susan estão viajando em sentidos opostos, portanto a ve-
locidade de um dos veículos deve ser negativa. Escolhemos um sistema 
de coordenadas em que Bob parte da origem e se move para a direita 
(leste), enquanto Susan move-se para a esquerda (oeste). Assim, Susan 
terá uma velocidade negativa. Note como indicamos os símbolos usados 
para a posição, a velocidade e o tempo em cada ponto do movimento. 
Preste especial atenção à maneira como os subscritos são usados para 
diferenciar os diferentes pontos do problema e para distinguir os sím-
bolos de Bob dos de Susan.
Uma dos objetivos com a representação pictórica é estabele-
cer o que precisamos descobrir. Bob e Susan encontram-se quando 
possuem a mesma posição no mesmo instante t1. Assim, queremos 
encontrar (x1)B no instante em que (x1)B � (x1)S. Note que (x1)B e (x1)
S são as posições de Bob e Susan, respectivamente, que são iguais 
quando eles se encontram, e não, as distâncias que eles percorre-
ram.
RESOLUÇÃO O objetivo da representação matemática é partir da repre-
sentação pictórica para uma solução matemática do problema. Podemos 
começar usando a Equação 2.3 para determinar as posições de Bob e de 
Susan no instante t1 em que se encontram:
Note duas coisas. Primeiro, iniciamos escrevendo o conteúdo 
todo da Equação 2.3. Somente depois é que simplificaremos, abando-
nando os termos que sabemos serem nulos. Você terá menos chance 
de cometer erros acidentais se seguir este procedimento. Segundo, 
substituímos o símbolo genérico s pelo símbolo x específico para a 
posição horizontal e substituímos os subscritos genéticos i e f pelos 
símbolos específicos 0 e 1, respectivamente, que definimos em nossa 
representaçãopictórica. Esta também é uma boa técnica para resolu-
ção de problemas.
Encontram-se aqui
Conhecido
Determinar
(x1)B
(x0)B = 0 mi (vx)B = 60 mph
(x0)S = 400 mi (vx)S = –40 mph
t0 = 0 h t, é quando (x1)B = (x1)S
(x0)S, (vx)S, t0(x1)B, (vx)B, t1
(x1)S, (vx)S, t1
0
(x0)B, (vx)B, t0
Chicago
Susan
X
Pittsburgh
Bob
vB
a = 0 a = 0
vS
FIGURA 2.4 Representação pictórica do Exemplo 2.2. Continua
38 Física: Uma Abordagem Estratégica
É instrutivo olhar para este exemplo de um ponto de vista gráfico. A FIGURA 2.5 mos-
tra os gráficos da posição versus tempo para Bob e Susan. Note a declividade negativa 
do gráfico de Susan, indicando sua velocidade negativa. O ponto de interesse é a inter-
secção das duas linhas; é este o ponto onde Bob e Susan têm a mesma posição no mesmo 
instante. Nosso método de solução, em que igualamos (x1)B e (x1)S, é realmente a solução 
matemática exata do problema de determinar a intersecção de duas linhas.
PARE E PENSE 2.1 Qual gráfico da posição versus tempo representa o movimento mostrado 
no diagrama de movimento abaixo?
t t t t
x
x
x x x
Diagrama de movimento
(b) (c) (d) (e)
0
0t
x
(a)
0 0 0 0
t (h)
x (mi)
0 2 4 6
400 
300 
200 
100 
0
Susan
Bob
Bob e Susan 
encontram-se aqui.
FIGURA 2.5 Os gráficos da posição versus 
tempo para Bob e Susan.
A condição para que Bob e Susan se encontrem é
Igualando os dois lados direitos das equações anteriores, obtemos
Isolando t1, obtemos o instante do encontro
Finalmente, inserindo este tempo de volta na equação para (x1)B, 
obtemos
Embora isto seja um número, ele não é a resposta para a questão. 
A frase “240 milhas” por si só não fornece nenhum significado. Uma 
vez que este é o valor da posição de Bob, e que ele estava dirigindo 
para leste, a resposta à questão é “eles se encontram 240 milhas a 
leste de Chicago”.
AVALIAÇÃO Antes de parar, devemos testar se esta resposta parece 
razoável ou não. Certamente esperávamos uma resposta entre 0 mi-
lha e 400 milhas. Também sabíamos que Bob estava dirigindo mais 
rapidamente do que Susan, de maneira que esperávamos que o lo-
cal de seu encontro estivesse mais próximo de Chicago do que de 
Pittsburg. Nossa avaliação significa que 240 milhas é uma resposta 
aceitável.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.