analitica a a AR

Prévia do material em texto

**Resposta:** \( x = 3 \) ou \( x = 4 \). 
 **Explicação:** Se \( \log_b(a) = a \) e \( \log_b(c) = b \), então \( ab = 1 \). Usando \( 
\log_6(x) = a \), temos \( \log_6(x - 2) = \frac{1}{a} \). Resolva \( x = 3 \) ou \( x = 4 \). 
 
50. **Problema:** Encontre \( x \) tal que \( \log_{10}(x^2 - x) = 2 \). 
 **Resposta:** \( x = 11 \) ou \( x = -1 \). 
 **Explicação:** Usando \( \log_b(a) = c \implies a = b^c \), temos \( x^2 - x = 10^2 = 100 
Claro! Aqui estão 100 problemas de matemática em nível de ensino superior, abrangendo 
cálculo e análise numérica, com suas respectivas respostas e explicações. 
 
### Problemas de Cálculo e Análise Numérica 
 
1. **Problema:** Calcule a integral definida \(\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{10}{3}\). 
 **Explicação:** A integral é calculada como: 
 \[ 
 \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^3 + x^2 + x + C. 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[ x^3 + x^2 + x \right]_0^1 = 1 + 1 + 1 - 0 = 3. 
 \] 
 
2. **Problema:** Determine a derivada da função \(f(x) = e^{2x} \sin(x)\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x))\). 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: 
 \[ 
 f'(x) = e^{2x} \cdot \sin(x) + e^{2x} \cdot 2\cos(x) = e^{2x}(\sin(x) + 2\cos(x)). 
 \] 
 
3. **Problema:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\). 
 **Resposta:** 5. 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \implies \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5. 
 \] 
 
4. **Problema:** Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y^2\) com \(y(0) = 1\). 
 **Resposta:** \(y(x) = \frac{1}{1 - x}\). 
 **Explicação:** Separando variáveis, obtemos: 
 \[ 
 \int \frac{1}{y^2} dy = \int dx \implies -\frac{1}{y} = x + C \implies y = \frac{1}{C - x}. 
 \] 
 Usando a condição inicial, encontramos \(C = 1\). 
 
5. **Problema:** Calcule a série de Taylor de \(f(x) = \ln(1+x)\) em torno de \(x = 0\). 
 **Resposta:** \(f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots\). 
 **Explicação:** A série é dada por: 
 \[ 
 f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}. 
 \] 
 
6. **Problema:** Calcule \(\int e^{-x^2} \, dx\) de 0 a \(\infty\). 
 **Resposta:** \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\). 
 **Explicação:** A integral de Gauss fornece essa solução quando avaliada. 
 
7. **Problema:** Resolva a equação \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 1, 2, 3\). 
 **Explicação:** Usando a fatoração, obtemos: 
 \[ 
 (x-1)(x-2)(x-3) = 0. 
 \]