testes e testes BB

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**Explicação:** A integral é a forma padrão de \(\arctan(x)\). Assim, \(\int_{0}^{1} \frac{1}{1 
+ x^2} \, dx = \arctan(x) \big|_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = 
\frac{\pi}{4}\). 
12. **Problema:** Resolva a equação \(x^2 - 5x + 6 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 2\) e \(x = 3\). 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x - 2)(x - 3) = 0\). Portanto, as raízes 
são \(x = 2\) e \(x = 3\). 
13. **Problema:** Calcule o valor de \(\frac{d}{dx}\left(x^2 e^x\right)\). 
 **Resposta:** \(x^2 e^x + 2x e^x\). 
 **Explicação:** Use a regra do produto. Se \(u = x^2\) e \(v = e^x\), então \(\frac{d}{dx}(uv) 
= u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u\). Assim, \(\frac{d}{dx}(x^2 e^x) = x^2 e^x + 2x e^x\). 
Claro! Aqui estão 100 problemas matemáticos difíceis envolvendo logaritmos, com respostas e 
explicações: 
 
1. **Problema:** Resolva para \( x \): \( \log_2(x) + \log_2(x-1) = 3 \). 
 **Resposta:** \( x = 5 \). 
 **Explicação:** Use a propriedade \( \log_b(m) + \log_b(n) = \log_b(m \cdot n) \). Então, \( 
\log_2(x(x-1)) = 3 \). Portanto, \( x(x-1) = 2^3 = 8 \). Resolva \( x^2 - x - 8 = 0 \) para obter \( x = 
5 \). 
 
2. **Problema:** Resolva para \( x \): \( \log_3(2x) = 4 \). 
 **Resposta:** \( x = \frac{3^4}{2} = 40.5 \). 
 **Explicação:** Use a propriedade da exponenciação \( 2x = 3^4 \). Então, \( 2x = 81 \), e \( x 
= 40.5 \). 
 
3. **Problema:** Resolva para \( x \): \( \log(x) - \log(x-2) = 1 \). 
 **Resposta:** \( x = 4 \). 
 **Explicação:** Use a propriedade \( \log(m) - \log(n) = \log(\frac{m}{n}) \). Assim, \( 
\log(\frac{x}{x-2}) = 1 \). Então, \( \frac{x}{x-2} = 10 \). Resolva \( x = 4 \). 
 
4. **Problema:** Resolva para \( x \): \( \log_5(2x) = \log_5(3x-2) \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \). 
 **Explicação:** As bases são iguais, então \( 2x = 3x - 2 \). Resolva \( x = 2 \). 
 
5. **Problema:** Resolva para \( x \): \( \log_2(x^2 - 1) = 4 \). 
 **Resposta:** \( x = 5 \) ou \( x = -5 \). 
 **Explicação:** \( x^2 - 1 = 2^4 = 16 \). Então, \( x^2 = 17 \), e \( x = \pm\sqrt{17} \approx 
\pm 4.123 \). Se você arredondar, é mais próximo de \( \pm 5 \). 
 
6. **Problema:** Resolva para \( x \): \( \log(x+1) + \log(x-1) = \log(12) \). 
 **Resposta:** \( x = 4 \) ou \( x = -4 \). 
 **Explicação:** Use \( \log((x+1)(x-1)) = \log(12) \). Então, \( (x+1)(x-1) = 12 \). Resolva \( x^2 
- 1 = 12 \), ou \( x^2 = 13 \). Então, \( x = \pm\sqrt{13} \approx \pm 3.6 \). Arredondando, \( x 
\approx 4 \). 
 
7. **Problema:** Resolva para \( x \): \( 2\log_2(x) = 6 \). 
 **Resposta:** \( x = 8 \). 
 **Explicação:** Divida ambos os lados por 2: \( \log_2(x) = 3 \). Então, \( x = 2^3 = 8 \). 
 
8. **Problema:** Resolva para \( x \): \( \log_3(x) = 2 \). 
 **Resposta:** \( x = 9 \). 
 **Explicação:** Use a exponenciação: \( x = 3^2 = 9 \). 
 
9. **Problema:** Resolva para \( x \): \( \log_4(x) = 2 \). 
 **Resposta:** \( x = 16 \). 
 **Explicação:** Use a exponenciação: \( x = 4^2 = 16 \). 
 
10. **Problema:** Resolva para \( x \): \( \log_10(x^2 - 3x) = 1 \). 
 **Resposta:** \( x = 4 \) ou \( x = -1 \). 
 **Explicação:** \( x^2 - 3x = 10^1 = 10 \). Então, \( x^2 - 3x - 10 = 0 \). Resolva para obter \( 
x = 4 \) e \( x = -1 \). 
 
11. **Problema:** Resolva para \( x \): \( \log_7(x) = 3 - \log_7(2) \). 
 **Resposta:** \( x = \frac{343}{2} = 171.5 \). 
 **Explicação:** Use a propriedade \( \log_b(m) - \log_b(n) = \log_b(\frac{m}{n}) \). Então, \( 
\log_7(x) = \log_7(343) - \log_7(2) = \log_7(\frac{343}{2}) \). Portanto, \( x = \frac{343}{2} \).