Integração Numérica e Resolução Numérica De Edo

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1 Marcar para revisão
Os métodos de Runge-Kutta de segunda ordem (RK2) utilizam uma
combinação linear de duas inclinações para avançar a solução de
uma EDO: $y_{n+1} = y_n + a k_1 + b k_2$, em que $k_1 = h f(x_n,
y_n)$ e $k_2 = h f(x_n + \alpha h, y_n + \beta k_1)$. Quais relações
os parâmetros $a, b, \alpha$ e $\beta$ devem satisfazer para
garantir precisão de segunda ordem?
$a + b = 1$, $a \alpha = \frac{1}{2}$ e $b \beta = \frac{1}
{2}$
$a + b = 1$, $b \alpha = \frac{1}{2}$ e $b \beta = \frac{1}
{2}$
$a + b = 2$, $\alpha = 1$ e $\beta = 1$
$a - b = 1$, $b \alpha = 1$ e $b \beta = 1$
$a + b = 1$, $\alpha + \beta = 1$ e $a b = \frac{1}{4}$
Questão 1
de
10
Corretas (7)
Incorretas (3)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Integração… Sair
08/11/2026, 20:04 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6af0fddae7936857efae7dce/gabarito/
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A
B
C
D
E
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A expansão em série de Taylor comparada à estrutura do
método de Runge-Kutta de segunda ordem resulta em um
sistema indeterminado com três equações para quatro
incógnitas: $a + b = 1$, $b \alpha = \frac{1}{2}$ e $b \beta =
\frac{1}{2}$.
2 Marcar para revisão
Para a aplicação da regra 1/3 de Simpson composta na integração
numérica de uma função $f(x)$ sobre um intervalo $[a, b]$, o
número de subintervalos $n$ deve obrigatoriamente satisfazer a
qual condição?
Ser um número ímpar.
Ser um número primo.
Ser um número par (múltiplo de 2).
Ser um múltiplo de 3.
Ser uma potência de 2 estrita.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta.
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A
B
C
D
E
Gabarito Comentado
A regra 1/3 de Simpson baseia-se na aproximação por
polinômios quadráticos que necessitam de grupos de três
pontos sucessivos (dois subintervalos), exigindo que a
quantidade total de subintervalos $n$ seja um número par
(múltiplo de 2).
3 Marcar para revisão
Dada a tabela a seguir os coeficientes do polinômio interpolador
Newton será?
-5.4283   7.5310   -10.7850   103.2833   -556.0000
5.4283   -7.5310   -10.7850   103.2833   556.0000
5.4283   7.5310   10.7850   -103.2833   -556.0000
5.4283   7.5310   10.7850   103.2833   -556.0000
5.4283   7.5310   -10.7850   103.2833   -556.0000
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta.
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Gabarito Comentado
Gabarito: 5.4283   7.5310   -10.7850   103.2833   -556.0000
Justificativa: O algoritmo:
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https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6af0fddae7936857efae7dce/gabarito/ 3/12
Obtendo-se:
4 Marcar para revisão
Para integrar uma função $f(x)$ em um intervalo genérico $[a, b]$
utilizando a quadratura de Gauss-Legendre, realiza-se uma
mudança de variável para transformar o intervalo de integração
para o domínio $[-1, 1]$ da variável $t$. A transformação linear
correta para a variável $x$ e seu respectivo elemento diferencial
$dx$ são dados por:
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A
B
C
D
E
$x = \frac{(b-a)t + (a+b)}{2}$ e $dx = \left(\frac{b-a}
{2}\right)dt$
$x = \frac{(b+a)t + (b-a)}{2}$ e $dx = \left(\frac{b+a}
{2}\right)dt$
$x = (b-a)t + a$ e $dx = (b-a)dt$
$x = \frac{(b-a)t}{2}$ e $dx = \left(\frac{b-a}{2}\right)dt$
$x = \frac{b-a}{2}t + b$ e $dx = dt$
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta.
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Gabarito Comentado
A transformação de variáveis padrão para mapear linearmente
o intervalo $t \in [-1, 1]$ no intervalo $x \in [a, b]$ é dada pela
relação $x = \frac{(b-a)t + (a+b)}{2}$, o que implica a
diferenciação $dx = \left(\frac{b-a}{2}\right)dt$.
5 Marcar para revisão
Dada a tabela a seguir calcule o valor a derivada retroativa para
 com . Com 6 casas decimais a derivada será
aproximadamente igual a?
x = 2, 87 h = 0, 001
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A
B
C
D
E
-0.6941051
-0.4760154
-0.4929251
-0.2214578
-0.3187452
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta.
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Gabarito Comentado
Gabarito: -0.4929251
Justificativa: Para resolver o problema primeiro devemos
encontrar o polinômio interpolador para então calcular a
derivada. O algoritmo será:
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Obtendo-se:
6 Marcar para revisão
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A
B
C
D
E
Dado , utilizando o método de Runge-Kutta de quarta
ordem para , , , qual o valor aproximado de 
será:
f(x) = 2y + x
a = 0 b = 1 h = 0.1 f(0, 3)
1.8776331
1.9515784
1.5147724
1.7451002
1.8470451
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Gabarito: 1.8776331
Justificativa: Veja o algoritmo:
Obtendo-se
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A
B
C
D
E
7 Marcar para revisão
Na quadratura gaussiana de Gauss-Legendre com $n$ pontos, as
abscissas (nós) e os pesos são escolhidos de maneira ideal para
maximizar a precisão da integração numérica. Para um método
com $n$ pontos em um intervalo padronizado $[-1, 1]$, a fórmula
fornece o valor exato da integral para qualquer polinômio de grau
até:
$n - 1$
$n$
$2n - 2$
$2n - 1$
$2n + 1$
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A fórmula de quadratura de Gauss-Legendre com $n$ pontos
possui $2n$ graus de liberdade (compostos por $n$ nós e
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$n$ pesos), o que permite integrar exatamente qualquer
polinômio de grau menor ou igual a $2n - 1$.
8 Marcar para revisão
No estudo de equações diferenciais ordinárias com valor inicial $y
= f(t, y)$ e $y(t_0) = y_0$, o método explícito de Euler aproxima a
solução no passo subsequente através de qual equação de
recorrência?
$y_{n+1} = y_n + h f(t_{n+1}, y_{n+1})$
$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} [f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_n)]$
$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$
$y_{n+1} = y_{n-1} + 2h f(t_n, y_n)$
$y_{n+1} = y_n + \frac{h^2}{2} f(t_n, y_n)$
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta.
Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O método de Euler projeta o valor da função ao longo da reta
tangente no ponto inicial do subintervalo, gerando a fórmula
iterativa clássica de primeira ordem $y_{n+1} = y_n + h f(t_n,
y_n)$.
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C
D
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9 Marcar para revisão
No contexto da diferenciação numérica, as fórmulas de
aproximação por diferenças finitas para a primeira derivada
utilizam avaliações da função em pontos vizinhos. Qual é a
expressão matemática para a aproximação por diferença finita
central de $f(a)$ com passo $\Delta x$?
$\frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$
$\frac{f(a) - f(a-\Delta x)}{\Delta x}$
$\frac{f(a+\Delta x) - f(a-\Delta x)}{2\Delta x}$
$\frac{f(a+\Delta x) + f(a-\Delta x)}{2\Delta x}$
$\frac{f(a+2\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta.
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Gabarito Comentado
A aproximação por diferença finita central para a primeira
derivada de uma função $f(x)$ no ponto $x = a$ é obtida pela
média entre a diferença progressiva e a regressiva, resultando
na expressão $\frac{f(a+\Delta x) - f(a-\Delta x)}{2\Delta x}$.
10 Marcar para revisão
A derivada numérica central de  em ef(x) = e
cos(x)
x = 1, 5
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A
B
C
D
E
 é?h = 10
−2
-1.070216
-0.871783
-0.823337
-1.020792
-1.070610
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Gabarito: -1.070610
Justificativa: O algoritmo será:
E a solução:
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