matematica financeira B

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**Explicação:** Fatorando a equação quadrática em \(x^2\). 
 
29. **Problema 29:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}\). 
 **Resposta:** \(1\) 
 **Explicação:** Usando a definição da derivada de \(e^x\). 
 
30. **Problema 30:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
31. **Problema 31:** Determine o valor de \(c\) para que a função \(f(x) = cx^2 - 4x + 1\) 
tenha um máximo em \(x=2\). 
 **Resposta:** \(c = 0\) 
 **Explicação:** Para ter um máximo, a derivada deve ser zero. 
 
32. **Problema 32:** Calcule \(\int \tan(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\ln|\cos(x)| + C\) 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). 
 
33. **Problema 33:** Encontre a integral \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(1\) 
 **Explicação:** \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = \ln(e) - \ln(1) = 1\). 
 
34. **Problema 34:** Resolva a equação \(2\sin(x) - 1 = 0\) para \(0 \leq x < 2\pi\). 
 **Resposta:** \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\) 
 **Explicação:** Resolvendo a equação para \(\sin(x) = \frac{1}{2}\). 
 
35. **Problema 35:** Calcule a integral \(\int \sec^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\tan(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral da função secante ao quadrado. 
 
36. **Problema 36:** Determine a derivada de \(f(x) = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = 5x^4 + 20x^3 + 30x^2 + 20x + 5\) 
 **Explicação:** Derivando cada termo. 
 
37. **Problema 37:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral da função que resulta em arco tangente. 
 
38. **Problema 38:** Encontre a solução da equação \(x^2 + y^2 = 1\) no primeiro quadrante. 
 **Resposta:** \(y = \sqrt{1 - x^2}\) 
 **Explicação:** A equação representa um círculo. 
 
39. **Problema 39:** Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\). 
 **Resposta:** \(0\) 
 **Explicação:** Aplicando a regra de L'Hôpital. 
 
40. **Problema 40:** Resolva a integral \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{12}\) 
 **Explicação:** Calculando a integral definida. 
 
41. **Problema 41:** Determine a derivada de \(f(x) = e^{3x} \sin(2x)\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = e^{3x} (3 \sin(2x) + 2 \cos(2x))\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto. 
 
42. **Problema 42:** Calcule \(\int_0^1 x^2 e^x \, dx\). 
 **Resposta:** \(e - 2\) 
 **Explicação:** Usando integração por partes. 
 
43. **Problema 43:** Encontre a raiz da equação \(x^2 - 5x + 6 = 0\). 
 **Resposta:** \(x = 2, 3\) 
 **Explicação:** Fatorando a equação quadrática.