aprendendo matematica etc 31

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**Resposta:** \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\) 
**Explicação:** Usamos a diferenciação implícita. 
 
### 30. Cálculo de Potências 
**Problema:** Calcule \(2^{10} - 2^5\). 
**Resposta:** 960 
**Explicação:** \(1024 - 32 = 992\). 
 
### 31. Cálculo de Logaritmos 
**Problema:** Calcule \(\log_2(32)\). 
**Resposta:** 5 
**Explicação:** \(2^5 = 32\). 
 
### 32. Cálculo de Somatórios 
**Problema:** Calcule \(\sum_{n=1}^{5} n^2\). 
**Resposta:** 55 
**Explicação:** \(\sum_{n=1}^{5} n^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2\). 
 
### 33. Cálculo de Raízes 
**Problema:** Resolva \(x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0\). 
**Resposta:** \(x = 1\) (tripla raiz) 
**Explicação:** O polinômio pode ser fatorado como \((x-1)^3\). 
 
### 34. Cálculo de Matrizes 
**Problema:** Encontre a inversa da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\). 
**Resposta:** \(\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\) 
**Explicação:** Usamos a fórmula da inversa de uma matriz \(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} 
adj(A)\). 
 
### 35. Análise de Limites 
**Problema:** Calcule \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{x^2 - 5}\). 
**Resposta:** 3 
**Explicação:** Dividimos numerador e denominador por \(x^2\). 
 
### 36. Interpolação Polinomial 
**Problema:** Encontre o polinômio de Lagrange que passa pelos pontos \((1, 1)\), \((2, 4)\) e 
\((3, 9)\). 
**Resposta:** \(f(x) = x^2\) 
**Explicação:** Usamos a fórmula do polinômio interpolador. 
 
### 37. Teorema de Rolle 
**Problema:** Verifique se existe um \(c\) em \((a,b)\) tal que \(f'(c) = 0\) para \(f(x) = x^2 - 4x 
+ 3\) em \([1, 3]\). 
**Resposta:** \(c = 2\) 
**Explicação:** \(f(1) = f(3) = 0\), então pelo teorema de Rolle, existe um \(c\). 
 
### 38. Cálculo de Superfícies 
**Problema:** Calcule a área da superfície da curva \(y = x^2\) entre \(x = 0\) e \(x = 1\). 
**Resposta:** \(\frac{5}{3}\) 
**Explicação:** Área = \(\int_0^1 \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx\). 
 
### 39. Cálculo de Números Complexos 
**Problema:** Resolva \(z^2 + 1 = 0\). 
**Resposta:** \(z = i\) e \(z = -i\) 
**Explicação:** A solução é obtida pela raiz quadrada de \(-1\). 
 
### 40. Equações Diferenciais 
**Problema:** Resolva a equação \(y'' + 4y = 0\). 
**Resposta:** \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
**Explicação:** É uma equação diferencial linear de segunda ordem. 
 
### 41. Cálculo de Volume de Revolução