analitica 5

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**Resposta**: \( (x, y) = (3, 4) \) ou \( (4, 3) \). 
 **Explicação**: Substitua \( y = 7 - x \) na primeira equação para obter \( x^2 + (7 - x)^2 = 25 
\). Resolva a equação quadrática para \( x \) e então encontre \( y \). 
 
4. **Problema**: Determine a soma dos ângulos internos de um dodecágono regular. 
 **Resposta**: \( 1800^\circ \). 
 **Explicação**: A fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono é \( (n-2) \times 
180^\circ \), onde \( n \) é o número de lados. Para um dodecágono (12 lados), a soma é \( (12-
2) \times 180^\circ = 1800^\circ \). 
 
5. **Problema**: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 \) com a condição 
inicial \( y(0) = 0 \). 
 **Resposta**: Não há solução explícita simples. 
 **Explicação**: Esta é uma equação diferencial não linear e geralmente requer métodos 
numéricos ou soluções aproximadas para resolver. 
 
6. **Problema**: Calcule a raiz quadrada de \( 18 + 12\sqrt{2} \). 
 **Resposta**: \( 3 + 2\sqrt{2} \). 
 **Explicação**: Escreva \( 18 + 12\sqrt{2} \) como \( (a + b\sqrt{2})^2 \) e resolva para \( a \) 
e \( b \). Você obterá \( a = 3 \) e \( b = 2 \). 
 
7. **Problema**: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos \( (2, 3) \) e \( (4, 7) \). 
 **Resposta**: \( y = 2x - 1 \). 
 **Explicação**: Calcule o coeficiente angular \( m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = 2 \). Use o ponto \( 
(2, 3) \) para encontrar o termo constante, obtendo \( b = -1 \). 
 
8. **Problema**: Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 **Explicação**: Esta é a série de Basilea, cuja soma foi encontrada por Euler. 
 
9. **Problema**: Resolva o determinante de uma matriz \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{bmatrix} \). 
 **Resposta**: \( -2 \). 
 **Explicação**: O determinante é calculado como \( 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \). 
 
10. **Problema**: Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 5x}{x^3 - 4} \)? 
 **Resposta**: \( 2 \). 
 **Explicação**: Divida o numerador e o denominador por \( x^3 \) e use o limite das frações 
de maior grau. 
 
11. **Problema**: Encontre a soma dos quadrados dos primeiros 10 números naturais. 
 **Resposta**: \( 385 \). 
 **Explicação**: Use a fórmula \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) onde \( n = 10 \). 
 
12. **Problema**: Calcule a integral \( \int_0^\pi \sin^2 x \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{2} \). 
 **Explicação**: Use a identidade \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \) e integre. 
 
13. **Problema**: Resolva a equação \( \log_2 (x - 1) = 3 \). 
 **Resposta**: \( x = 9 \). 
 **Explicação**: Reescreva a equação como \( x - 1 = 2^3 \), então \( x = 9 \). 
 
14. **Problema**: Determine a derivada de \( f(x) = e^{2x} \). 
 **Resposta**: \( f'(x) = 2e^{2x} \). 
 **Explicação**: Use a regra da cadeia para derivar \( e^{2x} \). 
 
15. **Problema**: Qual é o valor de \( \sqrt{50} \)? 
 **Resposta**: \( 5\sqrt{2} \). 
 **Explicação**: Decompose \( 50 \) como \( 25 \times 2 \) e extraia a raiz quadrada. 
 
16. **Problema**: Resolva a equação \( x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \). 
 **Resposta**: \( x = 1 \), \( x = 1 \pm \sqrt{3} \). 
 **Explicação**: Use substituições e fatoração para resolver a equação cúbica. 
 
17. **Problema**: Calcule o valor de \( \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx \).