Primeira_lista_de_exercicios (1)

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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática — IE
Campus Universitário Darcy Ribeiro, 70.910-900 – Brasília – DF Fone: (61) 3107-7236 FAX: (61) 3273-2737
08.03.2017
Primeira lista de exercícios
Cálculo 3 / Turma J
Depto. de Matemática – UnB
1 – Descreva as matrizes A :=
�
a i j
�
i :=1..5
j :=1..4
∈ M5×4(R) e sua transposta AT, para as entradas definidas
abaixo:
(i) a i j := i + j
(ii) a i j := i − j
(iii) a i j := 2j − i 2
(iv) a i j :=



1, se
�
�i − j
�
�> 1
0, se
�
�i − j
�
�= 1
−1, se
�
�i − j
�
�< 1
2 – Sejam as matrizes doM4×3(R):
A :=





0 −1 1
2 0 −1
0 1 1
2 1 0





B :=





1 0 0
−1 2 1
0 −2 1
3 0 0





C :=





5 −2 6
5 4 1
0 2 7
15 2 −2





.
a) Calcule as matrizes:
(i) 3
�
A/2−2B
�
+2
�
C −3A + B
�
=
(ii) 3CT+1/2
�
3BT−4CT+2AT
�
− BT/2 =
b) Ache a matriz X , tal que:
X −2A = 3
�
B +X
�
−C
c) Forneça as matrizes (linha, ou coluna/vetor) abaixo:
A (3), A (2),
�
C (2)
�(3),
�
C (2)
�
(3), B(2)T, B T (2), B (3)T, B T
(3)
d) Calcule os produtos escalares abaixo:
(i) C (3) ·
�
1,−1, 0, 3
�
= (ii) C (4) T ·
�
−2, 1, 3
�
=
3 – Para as matrizes
A :=
�
−1 1 −1 1
�
e B :=
�
2, −1, 0, −2
�
,
verifique se os produtos A B , BA, AT BT e BTAT estão bem-definidos e a seguir calcule eles.
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4 – Para dois vetores do mesmo espaço ~v :=
�
v1 , · · · , vn
�
, ~w :=
�
w1 , · · · , wn
�
∈ Rn , lembremos que o
produto escalar entre ambos e a norma de um deles são definidos respectivamente por
~v · ~w :=




v1
...
vn




·




w1
...
wn




:=
n
∑
i :=1
vi w i := v1 w1 + · · · + vn wn ∈ R

 ~v

 :=
p
~v · ~v :=
s
n
∑
i :=1
vi
2 :=
Æ
v1
2+ · · · + vn
2 ∈ R.
A ortogonalidade entre estes vetores também é definida como sendo
~v ⊥ ~w ⇐⇒ ~v · ~w = 0.
Sejam assim os escalares s := 3, r :=−2 ∈R e os vetores do R4:
~a :=





0
2
1
1





~b :=





−2
2
−1
1





~c :=





2
−1
2
0





.
a) Calcule:
(i) s
�
2~a − ~c/r +3~b
�
− r
�
~b −2~a
�
=
(ii) (~a · ~b ) · ~c =
(iii) ~a · (~b · ~c ) =
(iv) r ~c · ~a =
(v) 2s
~b

 + r

s ~c
2
=
(vi) s ~a · ~c + 2s
~b
2
=
b) Verifique se existe um vetor não-nulo ~0 6= ~v ∈ R4 que satisfaça, ao mesmo tempo, todas as con-
dições de cada um dos itens abaixo:
(i) ~a ⊥ ~v , ~b ⊥ ~v e ~c ⊥ ~v (ii) ~a ⊥ ~v e ~c ⊥ ~v
(iii) ~a · ~v = −1, ~b · ~v = 1, e ~c ⊥ ~v
(iv) ~b · ~v = r, e ~c · ~v = −s .
c) Calcule agora todos os vetores ~v que satisfaçam todas as condições de cada um dos itens acima.
d) Forneça as matrizes abaixo:
(i) A :=
�
~a ~b ~c
�
4×3
(ii) B :=
�
~b ~c ~a
�
4×3
.
5 – Para ~a := (1, 2)∈R2, forneça todos os vetores ~v ∈R2 que satisfaçam:
(i) ~a · ~v ≥ 0 (ii) ~a · ~v ≤ 0.
Interprete geometricamente ambas regiões do R2 obtidas em cada um dos itens acima.
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6 – Sejam dois vetores ~v , ~w ∈Rn . Verifique as seguintes propriedades:
(i) (~v + ~w ) · (~v − ~w ) = ‖~v ‖2−‖ ~w ‖2
(ii) ‖~v + ~w ‖2+ ‖~v − ~w ‖2 = 2‖~v ‖2+2‖ ~w ‖2
(iii) ‖~v + ~w ‖2−‖~v − ~w ‖2 = 4 ~v · ~w
(iv) ~v ⊥ ~w ⇐⇒ ‖~v + ~w ‖ = ‖~v − ~w ‖ ⇐⇒ ‖~v + ~w ‖2 = ‖~v ‖2+ ‖ ~w ‖2
(v) (~v + ~w ) ⊥ (~v − ~w ) ⇐⇒ ‖~v ‖ = ‖ ~w ‖
7 – Sejam dois vetores ~v , ~w ∈Rn e as matrizes
A := ~v ~w T− ~w ~v T e B := ~v T ~w − ~w T ~v .
a) Verifique se as matrizes A e B estão bem-definidas e, caso afirmativo, quais são as suas dimen-
sões.
b) Verifique que B = 0 (a matriz zero) e que A é anti-simétrica, i.e., A =−AT.
8 – Sejam dois vetores ~v , ~w ∈Rn , o primeiro não-nulo ~v 6=~0. Assim a projeção ortogonal de ~w sobre ~v é
dada pelo vetor
π~v ( ~w ) :=
~w · ~v
‖ ~v ‖2
~v :=
~w · ~v
~v · ~v
~v ∈ Rn .
Verifique que:
a) decompomos o vetor ~w em duas componentes, a primeira é a projeção π~v ( ~w ) e a segunda é o
seu complemento ~w −π~v ( ~w ).
b) a projeção π~v ( ~w ) é paralela a ~v , i.e., π~v ( ~w ) || ~v .
c) e o seu complemento ~w −π~v ( ~w ) é ortogonal a ~v , i..e.,
�
~w −π~v ( ~w )
�
⊥ ~v .
9 – Para um ângulo θ ∈ R, defina a matriz rotação anti-horária por θ
como sendo
Qθ :=
�
cosθ −senθ
senθ cosθ
�
.
(i) Verifique graficamente no plano R2 que a matriz Qθ age sobre
um vetor ~x := (x , y ) ∈ R2 realizando uma rotação de ângulo
θ no sentido anti-horário (com centro na origem ~0), ou seja,
a multiplicação à esquerda de Qθ gera o vetor ~x ′ := (x ′, y ′) :=
Qθ ~x que é a rotação θ do vetor ~x .
(ii) Seφ ∈R é outro ângulo, deduza (utilizando identidades trigonométricas se necessário) que
Qθ Qφ = Q(θ+φ) :=
�
cos (θ +φ) −sen (θ +φ)
sen (θ +φ) cos (θ +φ)
�
,
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portanto, ambas matrizes comutam Qθ Qφ =Qφ Qθ e as suas potências são da forma
Qθ
n =Qnθ :=
�
cos (nθ ) −sen (nθ )
sen (nθ ) cos (nθ )
�
,
e também que
Qθ
−1 = Qθ
T = Q−θ =
�
cosθ senθ
−senθ cosθ
�
,
ou seja, QθQ−θ =Q−θQθ = I2, sendo Q−θ a rotação horária por θ . Disso concluímos que Qθ é
uma matriz ortogonal, i.e., Qθ −1 =Qθ T (logo ela realiza uma transformação rígida).
(iii) Verifique geometricamente que a matriz que age realizando a rotação anti-horária do sistema
de coordenadas por um ângulo θ é igual a matriz da rotação no sentido oposto −θ , ou seja,
Rθ := Q−θ :=
�
cosθ senθ
−senθ cosθ
�
.
10 – (opcional) Uma matriz quadrada Q ∈Mn×n (R) é dita ortogonal se
Q−1 = QT,
ou seja, Q QT =QTQ = In . Nesse caso, Q preserva produto escalar, ou seja,
~x · ~y = (Q ~x ) · (Q ~y ).
para quaisquer vetores ~x , ~y ∈Rn . Isso porque
~x · ~y = ~x T ~y = ~x T(QTQ)~y = (~x TQT)Q ~y = (Q ~x )TQ ~y = (Q ~x ) · (Q ~y ),
sendo os dois produtos das pontas produtos escalares e os demais, produtos matriciais. Verifique que
matrizes quadradas que preservam produtos escalares, também preservam norma e ângulo,
‖~x‖ :=
p
~x · ~x e cosθ :=
~x · ~y
‖~x‖

~y
.
11 – Forneça a solução geral e uma particular, caso existam (i.e., se~b ∈ S(A)), para o sistema linear
R : A ~x = ~b ,
com incógnita/variável ~x ∈Rn e matriz de coeficientes A ∈Mm×n (R) e vetor cte~b ∈Rm abaixo:
(i) A :=



1 2
0 −1
2 0



~b :=



−3
2
2



(ii) A :=
�
3 4 2
1 1 2
�
~b :=
�
−2
−3
�
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(iii) A :=





1 −1 2
−1 −2 1
1 0 1
−2 1 0





~b :=





2
1
1
−2





(iv) A :=





−2 0 −4 2
1 −1 3 −3
−1 −2 0 −3
2 1 3 0





~b :=





0
0
0
0





(v) A :=





−2 0 −4 2
1 −1 3 −3
−1 −2 0 −3
2 1 3 0





~b :=





−2
2
−3
3





12 – A cada item abaixo, verifique se ~v
?
∈ S(A), i.e., se o vetor ~v é gerado pelo conjunto de vetores A :=
( 1 ~a 2 ~a . . .
k
~a )⊆Rn . Em caso positivo, forneça um vetor de coeficientes ~r := ( r1, r2, . . . , rk ) ∈ R
k
da combinação linear A~r = ~v (i.e., um sistema linear!) e analise se o vetor de coeficientes ~r é ou não
único:
(i)





−3
2
2
3





?
∈ S





1 2
0 −1
2 0
−1 −2





(ii)





1
−1
−4
1





?
∈ S





1 2
0 −1
2 0
−1 −2





(iii)



−3
−2
0



?
∈ S



1 0 −2
3 −1 1
0 2 −1



(iv)





−2
2
−3
3





?
∈ S





−2 0 −4 2
1 −1 3 −3
−1 −2 0 −3
2 1 3 0





(v)



−1
−1
−1


?
∈ S



1 0 −2
3 −1 1
0 2 −1



+



2
1
−1



(vi)





−1
4
−2
5





?
∈ S





−2 0 −4 2
1 −1 3 −3
−1 −2 0 −3
2 1 3 0





+





1
2
1
2





.
13 – Verifique se existe escalar t ∈R (se ele é único ou se existe mais que um) tal que:
(i)



−1
t
−7



∈ S



1 2
−3 4
2 −1



(ii)



−1
0
−7



∈ S



1 2
−3 t −1
2 −1



+



1
−1
1



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14 – As figuras geométricas α descritas pelas equações abaixo são regiões do R3, assumindo-se o sistema
de coordenadas como sendo ~x := (x , y , z ). Estas regiões são pontos (dimensão 0), retas (dimensão 1),
planos (dimensão 2), ou todo espaço R3 (dimensão 3). Descreva-as como espaço afim (um espaço
vetorial V := S(A) e uma translação ~p ) no formato
α := S(A) + ~p .
Por fim, represente-as graficamente no R3.
(i) α : ~x := r



1
−2
1



−



−1
1
1



, com r ∈R variando
(ii) α : ~x := (2−3r )



1
−2
1



+



−1
1
1



, com r ∈R variando
(iii) α : ~x :=



1
1−2r
r



−



r −1
r
r +1



, com r ∈R variando
(iv) α : ~x := (2r −1)



1
−2
1



− (3r −2)



−1
1
1



+



0
−1
2



, com r ∈R variando
(v) α : ~x := r



1
−2
−1



+ s



2
−2
1



+



−3
2
−1



, com r, s ∈R variando
(vi) α : ~x := r



1
−2
−1



+ s



−3
6
3



−



−3
2
−1



, com r, s ∈R variando
(vii) α : ~x := (1+2r − s )



1
−2
−1



− (1− s )



−3
6
3



, com r, s ∈R variando
(viii) α : 3x +2y −3z = 4
(ix) α :
(
4z −2x = 1
2y − z = 2
(x) α :
(
1−2x = 2−4z
y −1− z = 1− y
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(xi) α :



2z = 4y −4
8y −2 = 2x
4z −2x = 1
(xii) α :



x := 1+3r −6s
y := −2r −3+4s
z := −2s +4+ r, com r, s ∈R variando
(xiii) α : espaço ortogonal ao vetor



−1
1
1



e passando por



0
−1
0



(xiv) α : espaço ortogonal aos vetores



−1
1
1



e



0
−1
2



e passando por



−1
0
1



Atenção: Toda solução precisa estar inteiramente descrita em cada exercício, não apenas o “resultado
final”. Certifique-se de que você está justificando tudo com precisão e cuidado. É importante!
Claus
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