Quinta_Lista_de_Exercicios

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Quinta Lista de Exercícios
Cálculo I
1. Encontre a derivada usando a definição
(a*) f(t) =
3t
t+ 2
(b) g(x) =
3 + 2x
1− 2x
(c) f(x) = x4 − 5x (d) g(x) = 5x2 − 4x+ 2
2. Usando a definição de derivada, calcule a derivada das funções dadas nos pontos indicados:
(a) f(x) = 3
√
5x− 3 , x0 = 1 (b*) g(x) = sen 3x , x0 =
π
2
3. Determine a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto correspondente
ao valor x indicado.
(a) f(x) = x2 ln x , x = 1 (b) g(x) = ln(x3 − 7) , x = 2
(c*) f(x) =
2
1 + e−x
, x = 0 (d) h(x) =
√
x
x+ 1
, x = 4
(e) g(x) =
√
x+ 1 , x = 8 (f) f(x) = 2x ex , x = 0
4. Em quais pontos as seguintes funções possuem tangentes horizontais
(a*) f(x) = 2x3+3x2−12x (b) g(x) = x3+3x2+x+3 (c) f(x) =
cos x
2 + senx
5. Determine a primeira e segunda derivada de
(a) f(t) = (1− 7t)8 (b*) g(x) = sen (x3ex) (c) g(t) = t3e6t
(d) f(z) = ez(z − 1)(z2 + 1) (e) h(x) = ex
2
+ 7x3
6. Em quais pontos sobre a curva y = 1 + 2ex − 3x está a reta tangente paralela à reta
3x− y = 5?
7. Encontre as equações de retas tangentes à curva y =
x− 1
x+ 1
paralelas à reta x− 2y = 2.
8. Em quais números as seguintes funções são diferenciáveis?
(a*) f(x) =
{
3− x se x ≤ 1
2x2 − 2x+ 2 , se x > 1
(b) g(x) =



−1− 2x se x < −1
x2 se − 1 ≥ x ≤ 1
x se x > 1
9. * Decida se a função abaixo dada é diferenciável no ponto x0 = 2.
f(x) =
{
3− x+ ln(x+ 1) se 0 ≤ x ≤ 2
x2 − 4x+ 5 se 2 < x < ∞
10. Mostre que
(a) * A derivada de uma função par é uma função ímpar.
(b) A derivada de uma função ímpar é uma função par.
1
11. * Suponha que f é uma função que satisfaz a equação f(x+ y) = f(x)+ f(y)+x2y+xy2
para todos os números reais x e y. Suponha também que lim
x→0
f(x)
x
= 1
(a) Encontre f(0) (b) Encontre f ′(0) (c) Encontre f ′(x)
12. * Se h(2) = 4 e h′(2) = −3, encontre
d
dx
(
h(x)
x
)∣
∣
∣
∣
x=2
13. (a) Escreva |x| =
√
x2 e use a Regra da Cadeia para mostrar que
d
dx
|x| = x
|x|
(b) Se f(x) = |senx|, encontre f ′(x).
(c) Se g(x) = sen |x|, encontre g′(x).
14. Verifique que y = e−3x satisfaz a equação y′′ + 2y′ − 3y = 0 enquanto que y = 5xe−4x
satisfaz y′′ + 8y′ + 16y = 0.
15. Encontre os valores de λ para os quais y = eλx satisfaz a equação y + y′ = y′′.
16. Use a derivação implícita para determinar
dy
dx
nas seguintes funções
(a) x3y + xy2 = 5 (b) (3xy + 7)2 = 6y (c) x+ sen y = xy
(d) ln y = eysenx (e) xy = yx (f) x sen y − y cos x = π/2
(g) sen (xy + 47) + x arctg 2y = 4 (h*) x
√
y = y
√
x− x− y (i) arctg x = arctg (2y + 3)
(j) x ln(cos y)− xy2 = 4 (k) ln y − cos(x+ y) = 2 (l) y(1 + ex)− xy2 = 7
(m*) ey − sen (x+ y) = 2 (n) x cos y = ex+y (o) tg (x− y) =
y
1 + x2
17. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da equação dada no ponto indicado:
(a) y = x2 sen (2− x) , (2, 0) (b) y3 + 2xy2 + x = 4 , (1, 1)
(c*) x2 + x arctg y = 4 , (2, 0) (d) x3y − y − 7x = 0 , (1, 2)
18. * Encontre os pontos da curva (x2 + y2)2 = 2x2 − 2y2 onde as retas tangentes são hori-
zontais.
19. Encontre todos os pontos sobre a curva 2xy2 − 3x2y = 9 onde o coeficiente angular da
reta tangente é
3
2
.
20. Se g(x) + x sen (g(x)) = x2 e g(1) = 0, ache g′(1).
21. Resolver os seguintes problemas
(a) A função posição de uma partícula é dada por y = t3 − 4, 5t2 − 7t, t ≥ 0. Quando a
partícula atinge a velocidade de 5m/s?
2
(b) t segundos após decolar, a altura de um foguete é 7t2 pés. Qual a velocidade de
ascensão do foguete dez segundos após a decolagem?
(c) Qual é a taxa de variação da área de uma circunferência (A = πr2) em relação ao
raio quando este é r = 8
(d) * O número de galões de agua em um tanque, t minutos depois de iniciar seu esva-
ziamento, é dado por Q(t) = 150(25− t)2. A que taxa de água escoará ao fim de 10
min? Qual a taxa média de saída da água durante os 10 primeiros minutos?
(e) * A equação do movimento de uma partícula, é dada por y = t4 − 4t3 + 2, t ≥ 0,
onde y está em metros e t, em segundos. Encontre
i. O instante em que a aceleração é 0.
ii. O deslocamento e a velocidade nesse instante.
(f) Uma escada com 7 metros de comprimento esta apoiada em uma parede vertical.
Seja θ o ângulo entre o topo da escada e a parede, e x a distância da base da escada
até a parede. Se a base da escada escorregar para longe da parede, com que rapidez
x variará em relação a θ quando θ =
π
3
?
(g) O deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante é dado pela equação
y(t) = 10 +
1
4
sen (10πt)
onde y é medido em centímetros e t em segundos. Encontre a velocidade da partícula
após t segundos.
(h) A equação do movimento de uma partícula, é dada por y = 2t3 − 7t2 +4t+1, t ≥ 0,
onde y está em metros e t, em segundos. Encontre
i. a velocidade e a aceleração como funções em t,
ii. a aceleração depois de 1 segundo,
iii. a aceleração no instante em que a velocidade é 0.
22. Determinar a primeira derivada das seguintes funções
3
1. f(x) =
x2 + 3 ex
2 ex − x
2. g(θ) = ln(cos θ) 3. h(x) =
1 + x− 5
√
x
x
4. f(θ) = esec 4θ 5. h(x) = x2cotg x− 1
x2
6. g(t) = 8−t + 93t
7. f(x) =
4
cos 2x
+
1
tg x
8. g(θ) = ln(sen2θ) 9. h(t) =
1 + csc t
1− csc t
10. f(x) = sen(tg
√
senx) 11. h(x) =
(
1− x
7
)−7
12. g(x) = ln(x2 + 4)− x arctg
(x
2
)
13. f(t) = sen
(
t√
t+ 1
)
14.* g(x) = x arcsen x+
√
1− x2 15. h(x) = cos(e−x2
)
16. f(t) = arcsen
(
3
t2
)
17. h(t) = cotg
(
sen t
t
)
18. g(x) = arccsc (ex)
19. f(x) = 5 cos−4 x 20. g(x) = arccotg (
√
x) 21. h(θ) = (csc θ + cotg θ) − 3
22. f(x) = arccsc(x2 + 1) 23. h(t) =
(
esen (t/2)
)3
24. g(x) = 7
√
x
25.* f(x) = 4sen (
√
1 +
√
x) 26. g(x) = 3−x − 4−
√
x 27. h(t) =
√
ln
√
t
28. f(x) = log8(2 + senx) 29. h(x) = ln
√
(x+ 1)2
(x+ 2)
30. g(t) = log2(8t
2)
31. f(x) =
ln x
1 + ln x
32. g(x) = log4(e
x) 33. h(t) = t(ln t)2
34. f(t) =
log9 t
2
ln t
35. g(x) = xe
√
x
36. h(x) =
arctg log3 3x
arccotg log5 5x
37. f(x) = xx 38. g(x) = (senx)cosx 39.* h(x) = (cos x)secx
40. f(x) = sen(x+ sen 2x) 41. g(θ) = arccos(tg θ)
4